综合测试题-第7讲联赛班教师版

1、期末考试（二期）第一试、选择题（每小题7分，共42分）2.如果自然数。是一个完全平方数，那么与之差最小，且比。小的一个完全平方数是（）A. a 2/a 4-1B“-1C a2 1D a2 2xi +1【解析】很显热，这个完全平方数为a的下一个完全平方数（亦-1尸=。-2亦+1,选A.3 已知 x + y = -l,则 x4 + 5x3y + x2y + 8x2y2 + 5q + y4 的值等于()A. 3B. 0C. -1D. 1x4 + 5x3y + x2y + Sx2y2 + xy2 + 5小+ y4 = x4 + 2x2y2 + y4 + 5xy + 5xy + x2y +，+ 6x2y

2、2=(x2 + y2 )2 + 5xy(x2 + y2) + 6x2y2 + xy(x + y) = (x + y)2(x2 + 3y + y2) + q(x + y)x+y = -l=(x+y)2 =1 ,故原式= 1 + q 目=1,选 D4. 若加+a(a + l)2+(a + l),贝U加()A.不是完全平方数，但是偶数B.是完全平方数，还是奇数C.是完全平方数，还是偶数D不是完全平方数，但是奇数【解析】原式= (a2+a + )2 9 x2+x为偶数，所以选B. -已知2“祈-2”。S。），则;:鳥器的值是学习改变命运2ooeA. B.-C. -D.273925【解析】2.v-3av

3、-2y = 0 ,所叫長一2血)(血 + 2長)=0 ( x0 ),所以 y/x = 2/y ,令 yfx = 2yjy=k ,B. 2f + 4y _ 16)广16 vq .八山貝x = k已知实数 a, b , x , y 满足 “ + b = x + y = 3 , av + 0y = 7,贝 |J (a2 + b2 )xy + ab(x2 + y2).【解析】(“ + b)Ay + ab(x2 + y2) = (ax + by)(ay + bx) a + b = x + y = 3=(a + b)(x + y) = 9 , ax + by = 7 , 故 + 加=一2 从而可知，(a2

4、 +h2 )xy + ab(x2 + 于)=一14 9 y =,所以一；一: =: =,所以选 A.42x2+xy-9y2* 网 27+才一苍2/?-1P4q都是整数，并p且Pq , p + q的值为B.7C. 8g的对称性，假设pWg 则2p-l2W2qA. 10【解析】由p,沁l , PPP P = 3、7 = 2/? 1 =5 , /? +1/ = 8 D. 9二、填空题(每小题7分，共28分)1. 已知展工0,且a + b + c = 09则代数式+ + 的值为be ca ub【解析】将a=(b + c)2, b = (a + c) c = (n+Z?)2.贝a2 b2 c2 + +

5、be ac abbeac土 + 土 + 三 + 6b2 + c2 + 2bc a2 +c2 + lac a2 +h2 + lab =+beacaba+c a+b b+c / 小 + 6 = 3 b c a已知-lr/ 0, “ 3IA 2=12l4(A-2),同理.12I3(A-1) 故 12l4(A-2)-3(A-l),即 12IA-5=A5(modl2).第二试一、求证是有理数.【解析】4448885刃个WT)个=444x10”+888 + 11一 1 托心 c ,1T1=x4xl0“ + 2x4x+ 199= 1(4x102j,-4x10/,+8x10/,+1)= 1(4X10+4x10

6、+1)=l(2xr+i)22x10“+ 1Y14448885（”打）个144.48885（”“个33、32xl(T+1可表示成邑的形式该数为有理数P二、如果正数，b, c满足a + c = 2Jy.求证:1 1 2+=ci +yfb y/b +/c Jc + /a【解析】由t/ + c = 2Z?,可彳寻到ub = bc该ab = b c = k01 u = b + k ,c=bk等式左边=学习改变命运2OOS寒假Jb + k -五 血 _Jb_k Jb + k -Jb-k =d1 | 1/h + k + y/b y/b + Jb k等式右边时则左边=右边，得证.三、(25分)2+ 1)(, + 2)5 + 3) + 12是否可表示为2个正整数的平方和？证明你的结论.【解析】2n(n + l)(n + 2)(/?+ 3)+ 12 = 2(/r + 3n)(n2 + 3n + 2) + 12设n2+3n + = k9易知氏为奇数，不妨设k=2t + (f为正整数)，则有2n(n + l)(/i + 2)(/? + 3) + 12 = 4(2 尸 + 2/ + 3)不妨设 2n(n +1)(7? + 2)(? + 3) + 2 = a2 + b2 9 可知 方同为偶数，不妨设 a = 2c9 b = 2d 则有 4？+2/ + 3) = 4(疋+2)=疋+