波动率模型ARCHGARCH

1、波动率模型 波动率模型ARCHGARCH -0.05 -0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 1 7 13 19 25 31 37 43 49 55 61 67 73 79 85 91 97 103 109 115 121 127 133 139 145 151 157 163 169 175 181 187 193 199 205 211 217 223 229 235 241 247 系列1 Dow Jones指数对数收益率折线图 (2010年) 波动率模型ARCHGARCH 波动率模型ARCHGARCH 波动率模型ARCHGA

2、RCH 波动率模型ARCHGARCH 波动率聚集； 波动率以连续方式随时间变化，即波动率跳跃是很 少见的； 波动率不发散到无穷，即波动率在固定的范围内变 化，从统计学的角度说，这意味着波动率往往是平 稳的； 波动率对价格的大幅上升和价格的大幅下降的反应 不同。 波动率模型ARCHGARCH 对金融资产的收益率作折线图可以容易看到，收益率 的波动呈现出一段时间收益率波动比较大，一段时间 波动率收益率比较小，这种现象被称为波动率聚集 性。这说明方差随着时间的变化而变化，此时异方差 就不是一个可以忽略的问题。 波动率模型在金融领域主要有两个方面的重要作用： 衍生证券定价 风险管理 波动率模型ARCH

3、GARCH 波动率模型ARCHGARCH ARCH模型的定义：Engle(1982) ARCH(p)：p-阶自回归条件异方差过程 其中： 是未知参数。为了保证计算出的 条件方差是正数，要求 。为了保证 平稳，要求 。 ,1, j jp 0 0,0,1, j jp 2 t 1 1 p 2 2 0 1 . . .(0,1) ()0,()1 ttt t tt p tjtj j h v vi i d N E vE v h 波动率模型ARCHGARCH 以ARCH(1)为例：假设vt服从正态分布。令v1，v2 是独立高斯白噪声过程，标准差为1。所以： 过程 是ARCH(1)过程，如果 满足下式： 12

4、12 (|,)0 (|,)1 ttt ttt E vvv Var vvv t t 2 011 01 0,01. ttt tt h v h 其中， 波动率模型ARCHGARCH 因为 是独立标准化白噪声过程，并且和 相互独 立，很容易证明 的无条件均值等于0，并且不相 关。 的无条件均值： 因为 t v 1t t 2 0 1 ( )()() ( ) ()0 P ttttjtj j tt EEh vE v E v Eh t ()0 tt i E v v ()( ) ()0 ttt it ittt it i Eh vh vE v Ehh v 波动率模型ARCHGARCH t 的无条件方差： t均值等

5、于0，不同时刻不相关，方差是常数，所 以ARCH(1)过程是弱白噪声过程。 22 22 22 01 22 01 2 01 ()( ) () ()() /(1) ttt ttt t hv EE h E v EE 波动率模型ARCHGARCH t 的条件均值： 条件方差： ARCH(1)过程t的条件期望仍然是常数，但是条件 方差不再是常数。这样的过程根据定义是不相关的， 但是并不独立。 21/2 1111011 ( )(|)( )()0 tttttttt EEFEv E 22 222 111 22 0111 222 011011 ()(|)() ()| ()() ttt ttttttt ttt t

6、tt hv EEFEhv EvF E v 波动率模型ARCHGARCH ARCH模型表明，如果t-1异常地偏离它的条件期望， 那么t的条件方差ht要比通常情况下大，所以有理由 预期t会比较大，这样使得ht+1比较大；反之，如果 t-1异常地小，那么条件方差ht要比通常情况下小，所 以有理由预期t会比较小。这样使得ht+1比较小。虽然 方差大或小会持续一段时间，但是不会一直持续下 去，会回到无条件方差上去。无条件方差或者说边际 方差是一个常数。所以ARCH过程反应了金融资产聚 类的特点。 波动率模型ARCHGARCH 令 ，代入ARCH(1)的表达 式： 可以证明 是白噪声过程： 所以 的形式类

7、似于AR(1)。虽然过程t不相关，但 是过程 ，在 时的自相关函数为： 2 t 222 1( ), ttttttt Eh 22 1 22 1 22 ()()0 ()()()() ()()0 tttt tsstssstssttt sstst EEE EE EEEEEE EEE t 22 011 22 011 ttt ttt 2 t 2 t 1 1 2 | | 1 ( ), h hh 波动率模型ARCHGARCH 更高阶次的矩： 容易证明： 根据峰度的计算公式可以有两个结论： 4阶矩是正的，所以必须有 无条件峰度大于3，所以 的分布的尾巴比正态分 布的尾巴厚。条件高斯ARCH过程比高斯白噪声过 程

8、产生更多的异常值。ARCH(1)过程的分布不是正 态分布。 t 422 1011 422 0111 22 422 011 22 110 ()3() ()3(1)/(1)(1 3) 3(1)(1) ()/() (1)(1 3) ttt t tt E E EE 峰度 2 1 1/3 t 波动率模型ARCHGARCH 波动率模型ARCHGARCH AR(1)-ARCH(1)过程： AR(1)过程如下： 当 时， 是平稳过程。随机变量 的条件期望 是： 无条件期望为： 条件方差等于 减去条件期望，然后平方后求期望： 无条件方差等于： 11 2 . . . ( )0,var( ) ttt t tt Yc

9、Y ii d E | 1 t Y t Y 111 (|,) ttt E Y YcY 1 ( )/(1) t E Yc t Y 222 11111 ()() ttttt EYcYE 2 2 1 var( ) 1 t Y 波动率模型ARCHGARCH AR(1)-ARCH(1)过程： 条件期望为： 无条件期望为： 条件方差为： 11ttt YcY 2 2 011 . . . (0,1) ( )0,()1 ttt t tt tt h v vii d N E vE v h 111 (|,) ttt E Y YcY 1 ( )/(1) t E Yc 222 111111011 var ( )()() t

10、ttttttt YEYcYE 波动率模型ARCHGARCH 无条件方差为： AR(1)-ARCH(1)过程的条件均值和条件方差都随着 时间的变化而变化，但是无条件均值和方差是常数。 11 1 22 11 1 2 00 22 11 1 var( )()() 1 ()/(1) var( ) 11 ttt tttt t t c Y c YE YE E Y 波动率模型ARCHGARCH 为了保证方差为正， 的无条件方差： 的条件方差： 的条件分布是正态分布，但边际分布是非正态分 布，峰度大于3。 P越大，波动率自相关程度大。 值越大， 波动率自相关程度越大。 01 0,0,1,2,ip t 01 /(

11、1) p 22222 1011 (|,) tttptptp E t t (1,2, ) i ip 波动率模型ARCHGARCH 建立收益率序列的计量模型（如ARMA模型），去 掉任何线性关系，使用估计的残差检验是否存在条 件异方差； 识别ARCH模型的阶数，估计模型； 检验ARCH模型的残差是否满足独立同分布条件， 根据情况修改模型。 波动率模型ARCHGARCH 方法一：检验残差平方是否存在自相关。 计算出估计的残差值 或 ， 计算残差的无条件方差： 计算样本的自相关系数： 计算Q统计量。 t t yX ( ) ( ) tt L uy L 22 1 / T t i T 2222 1 222

12、1 ()() () T tt i t i iT t t 波动率模型ARCHGARCH ARCH-LM检验（自回归条件异方差-拉格朗日乘子 检验）Engle (1982) 计算残差用 表示，进行下面的回归分析： 零假设 ，即不存在条件异方差。 对立假设 ：某个 即存在条件异 方差。 检验统计量： T是样本个数。 用拟合优度。 LM服从 分布。 t 222 011 ttptpt 012 :0 p H 1 H0, 1,2, i ip 2 LMTR 2 R 2 ( )p 波动率模型ARCHGARCH 确定阶数的方法可以观察时间序列 的自相关系数 和偏自相关系数。使用建立ARMA模型时确定p和q的 方法

13、来确定 的滞后长度。也可以使用AIC和BIC准 则来确定适当的滞后长度。 2 t 2 t 波动率模型ARCHGARCH 假设对误差项建立ARCH(q)模型，ARCH模型是关于 参数的非线性模型，可以使用极大似然法估计系数， 似然函数如下： 由于边际分布的情况比较复杂，通常把它从上述似然 函数中去掉，特别是当样本量很大时。 111211 2 1 1 ( ,| )(|) (|)(|) ( ,| ) 1 exp ( ,| ) 22 TTTTTqqq t q t q t t ffFfFfFf f hh 波动率模型ARCHGARCH 这就导出条件似然函数： 把条件似然函数求自然对数得到对数条件似然函数：

14、 因为第一项不包括任何参数，所以对数条件似然函数 可以简单表示为： 2 11 1 1 (,|, )exp 22 t qTq t q t t f hh 2 1 11 ( )(ln(2 )ln( ) 222 T t t t q t lh h 2 1 1 ( )(ln( ) 22 T t t t q t lh h 波动率模型ARCHGARCH ARCH模型的残差是 ，称之为标准化的残差，因为 。 标准化后的参数应该是独立同分布白噪声过程。 检验方法：对 进行Q检验，再对平方后的 进行Q 检验，如果两次都不能拒绝零假设，说明这时的 ARCH模型满足标准。 t v / ttt vh t v t v 波动

15、率模型ARCHGARCH 可以用迭代计算条件方差的h步预测。预测公式如 下： 其中： ，当 时。 22 011 22 0122 0 1 (1) (2)(1) ( )() TTqTq TTTqTq q TiT i h hh h lh li 2 () TT l i h li 0li 波动率模型ARCHGARCH 只用很少的参数就能对实际数据拟合得很好。 描述了金融时间序列波动性聚类的特点。 该模型被广泛地应用于股票，汇率和利率数据的分 析。 有许多变形来拟合波动性的不同特点。 波动率模型ARCHGARCH ARCH模型假定正的抖动和负的抖动对波动率有相 同的影响，因为波动率依赖于以前抖动的平方。实

16、 际中，众所周知，金融资产的价格对正的抖动和负 的抖动的反应是不同的。 ARCH模型对参数的限制是相当严格的。 对于弄清一个金融时间序列变化的来源，ARCH模 型不能提供任何新见解。它只是提供一个机械的方 式来描述条件方差的状态，而对由什么引起这种变 化没有给出任何启示。 ARCH模型会过高估计波动率。因为它对收益率序 列大的孤立的抖动反应缓慢。 波动率模型ARCHGARCH ) 波动率模型ARCHGARCH Bollerslev (1986) 称为广义自回归条件异方差过程，简称GARCH过 程，记为 。 22 01111 2 . . . ( )0,()1 ttt ttptptqt q t t

17、t h v hhh vii d E vE v t GARCH( , ) t p q 波动率模型ARCHGARCH 当p=0时，GARCH退化为ARCH过程。 GARCH过程的含义是条件方差ht是ht-1，ht-2，ht- p和t-1，t-q的函数。 参数i (i=1,2,q)和i (i=1,2,p)非负是保证条件方 差为正的充分条件，而不是必要条件。 t GARCH(p,q)时， t 2ARMA(r,p)过程， r=max(p,q)。 t 2平稳的条件是 ，这时t 也是宽平稳的。 11 1 qp 波动率模型ARCHGARCH ht是条件方差，随着时间的变化而变化。 无条件方差通过两边求期望得到

18、 。 平稳条件为 。 把GARCH(1,1)过程递推展开，等价于一个无穷阶的 ARCH过程。 2 01111 ttt ttt h v hh 011 /(1) 11 1 222 0112233tttt h 波动率模型ARCHGARCH 如果过程t 是GARCH过程，那么过程t 2是一个 ARMA过程。 证明：对于GARCH(p,q)， 整理得： 22 1111 . . . ttt ttptptqt q t h v hhh vii d 2222 1111 222 111 22222 1111 ()() tttptptqt qt ttttptptp tptptqt qt hhh hhh 波动率模型ARCHGARCH 合并同类项，令 r=max(p,q)。 可以证明， 为鞅差序列，即 2 ttt wh 222 11111 ()() tttpt ptrrt r www t w 0 cov(,)0,0 t tt s E w w ws 波动率模型ARCHGARCH 对于GARCH过程，若 ，则不存在厚尾现象。 2 422 1 22 11