高考数学一轮复习第6章不等式第4讲基本不等式学案练习

1、.高考数学一轮复习第6 章不等式第4 讲基本不等式学案练习板块一知识梳理自主学习 必备知识 考点 1重要不等式a2b22ab(a ，bR)( 当且仅当ab 时等号成立 ) 考点 2基本不等式a2 b1基本不等式成立的条件：a0， b0；2等号成立的条件：当且仅当ab 时等号成立；3其中叫做正数a，b 的算术平均数，叫做正数a，b 的几何平均数考点 3利用基本不等式求最大、最小值问题1如果 x，y(0 ， ) ，且 xy P(定值 ) ，那么当 xy 时， xy 有最小值 2.( 简记：“积定和最小”)2如果 x，y(0 ， ) ，且 xyS(定值 ) ，那么当 xy 时， xy 有最大值 .(

2、 简记：“和定积最大”) 必会结论 常用的几个重要不等式(1)a b2(a0， b0) ；(2)ab 2(a ，bR)；(3)2 (a ，bR)；(4) 2(a ， b 同号 ) 1/13.以上不等式等号成立的条件均为ab. 考点自测 1判断下列结论的正误( 正确的打“”，错误的打“”)(1) 函数 yx的最小值是 2.()(2) 函数 f(x) cosx， x的最小值等于 4.()(3)x0 ，y0 是2的充要条件 ()(4) 若 a0，则 a3的最小值为 2.()(5)a2 b2c2ab bcca(a ，b，cR) ()答案 (1) (2) (3) (4) (5) 2 课本改编 已知 a，

3、bR，且ab1，则 ab 的最大值为()2A1 B. C. D.2答案B解析a，bR， 1 ab2， ab，当且仅当ab时等号成立3 课本改编 已知a0， b0， ab 2，则 y 的最小值是()A.B4C.D5答案C解析y(a b) ，故选 C.42018 苏州模拟 若 0x6，则 f(x) 的最大值为 ()A.B4C.D.5答案B解析0x6， 8 x0， f(x) 4，当且仅当x8x，即 x4 时，等号成立故f(x) 的最大值为 4.5 课本改编 若 f(x) x(x2) 在 x n 处取得最小值，则n2/13.()A.B3C.D4答案B解析由 f(x) x (x 2) 24，当且仅当 x

4、20，即 x3 时，取得等号故选B.62018 上海模拟 若实数 x，y 满足 xy1，则 x22y2 的最小值为 _答案2 2解析x22y22 2，当且仅当xy 时取“”， x22y2的最小值为 2.板块二典例探究考向突破考向利用基本不等式求最值例 1 2017 山东高考 若直线 1(a0，b0) 过点 (1,2) ，则2ab 的最小值为 _答案8解析直线 1(a0，b0) 过点(1,2) ， 1，2ab(2a b) 4 42 8，当且仅当，即 a2，b4 时，等号成立故 2ab 的最小值为 8.本例条件不变，求ab 的最小值解1 2，当，即a2，b4 时， ab8， ab 的最小值为 8.

5、若 4a2b1，求 2ab 的最大值解 4a2b2 2，3/13.21， 2ab 2，2ab 的最大值为 2.若 log2a log2b 1，求 2ab 的最小值解 log2ab 1， ab2， 2ab24，当 a1，b2 时， 2ab 的最小值为 4.触类旁通利用基本不等式求最值问题的解题策略(1) 利用基本 ( 均值 ) 不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”(2) 在利用基本 ( 均值 ) 不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本 ( 均值 ) 不等式【变式训练1】(1) 已知 0x1，则 x(3 3x) 取得最大值时x 的值

6、为()A. B. C. D.23答案C解析 0x0，则函数 yx的最小值为 _答案 0解析yx 22 20，当且仅当x，即x时等号成立所以函数的最小值为0.考向条件最值问题例 2 2018 大同检测 若正数 a，b 满足 abab3，求：(1)ab 的取值范围；(2)a b 的取值范围解 (1) ab ab32 3，4/13.令 t 0， t2 2t 30， (t 3)(t 1) 0. t 3 即 3，ab9，当且仅当 ab3 时取等号(2) ab ab3， ab32.令 t ab0， t2 4t 120， (t 6)(t 2) 0. t 6 即 ab6，当且仅当 ab3 时取等号触类旁通求条

7、件最值注意的问题(1) 要敏锐的洞察到已知条件与要求式子的联系，并能灵活进行转化；(2) 常用的技巧有：“ 1”的代换，配凑法，放缩法，换元法【变式训练 2】 (1)2018 珠海模拟 已知 x0，y0，x3yxy9，则 x3y 的最小值为 ()A2 B4 C6 D8答案C解析解法一：由已知得xy 9 (x 3y) ，即 3xy 27 3(x 3y) 2，当且仅当x3y，即 x3，y1 时取等号，令x 3yt ，则t0 ，且 t2 12t 1080，得 t 6. 即 x3y6.解 法 二 ： x 3y 9 xy2， ()2 2 90， (3) ( ) 0， 00，b0，若 a0，b0， b0，

8、再运用基本不等式求解3“当且仅当ab 时等号成立”的含义是“ab”是等号成立的充要条件，这一点至关重要，忽略它往往会导致解题错误.板块三启智培优破译高考易错警示系列8连续应用基本不等式时切记等号成立的条件2017 天津高考 若 a，bR， ab0，则的最小值为 _错因分析两次使用基本不等式时，忽视等号的一致性易出错解析a44b42a22b2 4a2b2( 当且仅当 a22b2 时“”成立)， 4ab，由于 ab0， 4ab 2 4，故当且仅当时，的最小值为4.答案4答题启示 连续运用基本不等式应注意等号成立的条件：连续使用基本不等式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致

9、因此尽量不要连续两次以上使用基本不等式，若使用两次时应保证两次等号成立的条件同时相等跟踪训练已知 ab0，求 a2的最小值解ab0， a b0.8/13. b(a b) 2. a2 a2 216.当 a2且 bab，即 a2，b时等号成立 a2的最小值为 16.板块四模拟演练提能增分A 级基础达标 12018 浙江模拟 已知 x0，y0，则“ xy1”是“ xy2”的()B必要不充分条件A充分不必要条件D既不充分也不必要条件C充要条件答案A解析若 xy 1，由基本不等式，知xy2 2；反之，取x3， y 1，则满足xy2，但xy 31，所以“ xy1”是“ xy2”的充分不必要条件故选A.2当

10、 x0 时，函数 f(x) 有 ()B最大值 1A最小值 1D最大值 2C最小值 2答案B解析x0， f(x) 1. 故选 B.32015 湖南高考 若实数a，b 满足，则ab 的最小值为()A. B2 C2 D4答案C解析由 2，得 ab2，当且仅当时取“”选C.42018 人大附中模拟 ( 6a3) 的最大值为 ()A9B.C 3D.3229/13.答案B解析因为 6a3，所以3a0， a60. 由基本不等式，可知，当且仅当a时等号成立52018 秦皇岛模拟 函数 y(x1) 的最小值是 ()A22 B 22 C 2 D 2答案A解析x1， x 10， y x 1 x 1 222( 当且仅

11、当 x1时取“” ) 选 A.6设x0，y0 ，且x 4y 40，则lg x lg y的最大值是()A40 B 10 C 4 D 2答案D解析 x 4y40，且 x0， y0，x4y24( 当且仅当 x4y 时取“” ) ， 440. xy100.lg x lg y lg (xy)lg 100 2.lg x lg y的最大值为 2.72018 山西模拟 已知不等式 (x y) 9对任意正实数 x，y 恒成立，则正实数a 的最小值为 ()A2 B4 C6 D8答案B解析(x y) 1a a1 a 2( 1)2 ，当且仅当 a，即 ax2y2 时“”成立 (x y) 的最小值为 ( 1)2 9.

12、a4.82017 江苏高考 某公司一年购买某种货物600 吨，每次购买x 吨，运费为 6 万元 / 次，一年的总存储费用为4x 万元要使一年的总10/13.运费与总存储费用之和最小，则x 的值是 _答案30解析一年的总运费为6 ( 万元 ) 一年的总存储费用为4x 万元总运费与总存储费用的和为万元因为 4x2 240，当且仅当 4x，即 x30 时取得等号，所以当 x30 时，一年的总运费与总存储费用之和最小9函数 y2x(x1) 的最小值为 _答案22解析因为 y2x(x1) ，所以y2x 2(x 1) 22 222.当且仅当 x1时取等号，故函数y2x(x1) 的最小值为22.102018

13、 正定模拟 若正数 x，y 满足 x3y5xy，则 3x4y的最小值是 _答案5解析由 x3y5xy，可得 1，所以 3x4y(3x 4y)135y5x 2 5，当且仅当 x1，y时取等号，故3x4y 的最小值是 5.B 级知能提升 1若两个正实数 x，y 满足 1，且不等式 x0，y0， x 2 4， min4，11/13. m23m4，解得 m4.选 B.2设 a0，b1，若 ab2，则的最小值为 ()B6A32D2 2C4答案A解析由题可知 ab2，ab11， (a b1) 213 2，当且仅当，即a2， b时等号成立故选A.32018 湖北八校联考 已知正数a，b 满足 2a2b23，

14、则 a的最大值为 _答案2解析a a (2a2 b21) (3 1) ，当且仅当 a，且 2a2b23，即 a21，b21 时，等号成立故 a 的最大值为 .42018 郑州模拟 若 a0，b0，且 .(1) 求 a3b3 的最小值；(2) 是否存在 a，b，使得 2a3b 6？并说明理由解 (1) 因为 a0，b0，且，所以 2 ，所以 ab2，当且仅当 ab时取等号因为 a3b322 4，当且仅当 ab时取等号，所以 a3b3 的最小值为 4.(2) 由(1) 可知， 2a3b2246，故不存在 a，b，使得 2a3b6 成立5已知 lg (3x)lg y lg (xy1) (1) 求 xy 的最小值；12/13.(2) 求 xy 的最小值解由