2020学年高中数学第3章三角恒等变形1同角三角函数的基本关系学案北师大版必修4(2021-2022学年)

1、1同角三角函数的基本关系学 习 目标核 心 素 养1.理解同角三角函数的基本关系式:in2cos2=1,=tan。(重点）2。会利用这两个公式求三角函数式的值，化简三角函数式或证明三角恒等式(难点)1。通过学习同角三角函数基本关系式提升数学抽象素养2。通过运用同角三角函数基本关系化简或证明三角恒等式,培养逻辑推理素养.同角三角函数基本关系式()关系式平方关系:n+o_1_;商数关系:a_.(2）文字叙述同一个角的正弦、余弦的平方和等于1,商等于角的正切(3)变形形式1sinos;sin=1-cos2;co21-sn2；sin ；cos = ；n =cs tan；(in cos)2=12sico

2、s_。思考：sin+co245等于1吗？有意义吗？提示 不等于1,分母为，无意义1已知sin =,是第三象限角，则tan 等于( ) b c. 因为sn=,且是第三象限角.所以co =。所以tan =.已知3sin co 0,则an _。因为3sn cs =0,所以cos =-3n ，所以an =。3.已知sin ,s=,则m_.或8由sn2o21得，m=或8。.cos2x=( )a.an x .sin xcc xd. 原式cos2xcosx。利用同角基本关系式求值【例】已知cos =,求sin,an 的值解 co=0,是第二或第三象限的角如果是第二象限角,那么sin = =，t =-。如果是

3、第三象限角,同理可得si ，n.已知角的某一种三角函数值,求角的其余三角函数值时，要注意公式的合理选择，一般是先选用平方关系, 再用商数关系.另外也要注意“”的代换，如“1=s2+os2”.本题没有指出是第几象限的角,则必须由co 的值推断出所在的象限,再分类求解已知tn =且为第三象限角，求n ，cs 的值.解 由tan=,得sin =cos 。又sincs2,由得cos2cos=1,即cos=,又是第三象限角，-,sin =。利用n cos ，si ，co 之间的关系求值【例2】已知,i cos=,求tan的值.解 由sn cos =，得incos -0,又00，cs 0，则sin -co

4、s,si -cos = ，由解得i =,c =-,tan=-si cos ，sin -co ,in s 三个式子中,已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”,它们之间的关系是:（sin cos )2=1n cos ,利用此关系求s +os 或sics 的值时，要注意判断它们的符号.si c ,且，则ossn的值为（ ）a. (os si)2=i2-sin co +c=1-2，cos-sn。又cos,cos si =-。利用同角三角函数关系化简、证明探究问题平方关系对任意r均成立，对吗?商数关系呢?提示 平方关系中对任意r均成立，而商数关系中k（z)2.证明三角恒等式常用哪些技巧？提示 切弦

5、互化，整体代换,“1”的代换.3.证明三角恒等式应遵循什么样的原则?提示由繁到简.【例3】(1）化简ta,其中是第二象限角；（2)求证:。思路探究 ()先确定in ,s 的符号，结合平方关系和商数关系化简()逆用平方关系结合tn =化简.解(1)因为是第二象限角,所以sin0,co 0故tan a t =1.(2)证明:左边=右边.所以原式成立.将例3（1）变为“,试对该式进行化简解原式=1.2.将例3()变为试证“证明 左边=右边,所以等式成立.化简过程中常用的方法有:(1）化切为弦，即把非正弦、余弦函数都化为正弦、余弦函数从而减少函数名称，达到化简的目的.(2)对于含有根号的，常把根号下化

6、成完全平方式,然后去根号达到化简的目的（3）对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin+os1，以降低函数次数，达到化简的目的.2证明三角恒等式常用的方法有：(1）从一边开始，证得它等于另一边;（2)证明左右两边都等于同一个式子；（3)变更论证,即通过化除为乘、左右相减等,转化成证明与其等价的等式.“同角”有两层含义:一是“角相同；二是“任意性”,即关系式恒成立,与角的表达形式无关.如:sin3co=1等.2已知角的一个三角函数值，求的其他两个三角函数值时，要特别注意角所在的象限，以确定三角函数值的符号3计算、化简或证明三角函数式时常用的技巧:(1)“的代换为了解题的需要,有

7、时可以将1用“sn2cs”代替(2）切化弦.利用商数关系把切函数化为弦函数(3)整体代换.将计算式适当变形使条件可以整体代入,或将条件适当变形找出与算式之间的关系1判断（正确的打“”,错误的打“”）（1）sn2+o=。（ ）（2)对任意角,tan 。()(3）利用平方关系求sin 或cos 时，会得到正负两个值.( )（4）若in =,则cs。（ )答案（1) （2） (3) （4)2若sin =,且是第二象限角，则n的值等于( )ab.c.d 为第二象限角，si =,cs -，t 。已知角a是三角形的一个内角,sin +cos,则这个三角形是（ )锐角三角形 b.钝角三角形c.直角三角形等腰直角三角形b n cs=,1+inos a,sin