2019年北京市石景山区高考数学一模试卷(文科)

1、2019 年北京市石景山区高考数学一模试卷（文科）副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共8 小题，共40.0 分）1. 已知集合 P= xR|x 1，Q=1 ， 2 ，则下列关系中正确的是（A.P=QB.P?QC.Q?P2.设 i 是虚数单位，若复数z=1+ i，则复数z的模为（）A.1B.C.3. 某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（）A. 2B. 4C. 6D. 124. 若 x0 y，则下列各式中一定正确的是（）A.B.（）C.x eylnxln-yesinx siny）D. PQ=RD. 2D.5.中国南宋时期的数学家秦九韶提出了一种多项式简化算法，如图是实现该算法的程序

2、框图，如输入的n=2，x=1 ，依次输入的a 为 1，2，3，运行程序，输出的s的值为（）第1页，共 16页A. 1B. 2C. 3D. 66.已知平面向量，则 k=2 是 与 同向的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7.已知，则 f （0） +f（ 1） +f（ 2）+f（3） + +f （ 2019） =（）A. 0B. 505C. 1010D. 20208.当x 01时，下列关于函数y=（mx-1）2 的图象与的图象交点个数说 ，法正确的是（）A. 当 m0 ， 1时，有两个交点B. 当 m（ 1， 2时，没有交点C. 当 m（ 2， 3

3、时，有且只有一个交点D. 当 m（ 3， +）时，有两个交点二、填空题（本大题共6 小题，共30.0 分）9. 在平面直角坐标系 xOy 中，角 和角 均以 Ox 为始边，它们的终边关于 x 轴对称若，则 sin =_10. 若变量x，y满足约束条件则z=2x-y的最小值为_11.已知抛物线y2=2pxp0ll与双曲线的渐近线分别交于A，（ ）的准线为，B 两点若 |AB|=4，则 p=_12.九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏在某种玩法中， 用 an 表示解下 n（ n9， nN* ）个圆环所需的最少移动次数，已知a1=1， an=，则解下 4 个圆环所需的最少移动次数a4 为 _1

4、3. 已知集合 A=-5 ， -1， 2，4， 5 ，请写出一个一元二次不等式，使得该不等式的解集与集合A 有且只有一个公共元素，这个不等式可以是_第2页，共 16页14. 在直角坐标系 xOy 中，点 A（ x1，y1）和点 B（x2 ，y2）是单位圆 x2+y2=1 上两点，|AB|=1，则 AOB=_； |y1+2|+|y2+2|的最大值为 _三、解答题（本大题共6 小题，共80.0 分）15. 设数列 an 的前 n 项和为 Sn，若 a1=2 且 Sn=Sn-1+2n（ n2， nN* ）（ ）求 Sn；（ ）若数列 bn 满足，求数列 bn 的前 n 项和 TnABC中，角ABC的

5、对边分别为a bc，c=3，16. 在， ，（ ）求 sinC 的值；（ ）求 ABC 的面积17. 如图，在四棱锥 E-ABCD 中，平面 ABCD 平面 AEB，且四边形 ABCD 为矩形 BAE=90， AE=4， AD =2，F，G，H 分别为 BE， AE， AD 的中点（ ）求证： CD平面 FGH ；（ ）求证：平面 FGH 平面 ADE ；（ ）在线段 DE 求一点 P，使得 APFH ，并求出AP 的值18. 已知某单位全体员工年龄频率分布表为：年龄（岁）25 ， 30） 30， 35） 35，40）40， 45） 45， 50） 50， 55） 合计人数（人）6185031

6、1916140经统计，该单位 35 岁以下的青年职工中，男职工和女职工人数相等，且男职工的年龄频率分布直方图和如图：第3页，共 16页（ ）求 a；（ ）求该单位男女职工的比例；（ ）若从年龄在 25， 30）岁的职工中随机抽取两人参加某项活动，求恰好抽取一名男职工和一名女职工的概率19. 设函数a0， （ ）若曲线y=f（x）在点（ 1， f（ 1）处的切线与x 轴平行，求 a；（ ）当 x 1时，函数 f（ x）的图象恒在 x 轴上方，求 a 的最大值20.已知椭圆的离心率为，右焦点为 F（ c，0），左顶点为A，右顶点 B 在直线 l ： x=2 上（ ）求椭圆C 的方程；（ ）设点 P

7、 是椭圆 C 上异于 A， B 的点，直线 AP 交直线 l 于点 D，当点 P 运动时，判断以 BD 为直径的圆与直线 PF 的位置关系，并加以证明第4页，共 16页答案和解析1.【答案】 C【解析】解：集合P=x R|x1，是数轴上 x1的点的集合，Q=1 ，2 ，是数轴上的两个点的集合，是集合 P 的子集，即 Q? P故选：C直接利用集合的元素的关系判断两个集合的关系即可本题的考点是集合的包含关系，考 查两个集合的子集关系，解 题的关键是正确判断集合的含 义2.【答案】 B【解析】解：z=1+i，|z|=故选：B利用复数模的 计算公式即可得出本题考查了复数模的 计算公式，属于基础题3.【

8、答案】 C【解析】解：由三视图还原原几何体如 图：该几何体为直四棱柱，底面为直角梯形，则其体积为=6故选：C由三视图还原原几何体，可知原几何体 为直四棱柱，底面为直角梯形，从而可求几何体的体 积本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档 题4.【答案】 D【解析】解：x0，0，y0，0，第5页，共 16页故选：D0本题考查了不等式的基本性 质，属基础题5.【答案】 D【解析】解：第一次 a=1，s=1，k=1，k2 不成立，第二次，a=2，s=1+2=3，k=2，k2 不成立，第三次，a=3，s=3+3=6，k=3，k2 成立，输出 s=6，故选：D根据条件 进行模拟计算

9、即可本题主要考查程序框图的识别和判断，利用模拟运算法是解决本 题的关键比较基础6.【答案】 C【解析】解：若与同向，则 =m ，（m 0），即（k，2）=m（1，1），则，得m=2，k=2，即 k=2 是 与 同向的充要条件，故选：C根据向量共 线的条件，建立方程关系 进行求解即可本题主要考查充分条件和必要条件的判断， 结合向量共 线的等价条件是解决本题的关键7.【答案】 A【解析】解：根据题意，其周期为=5，又由 f （0）=sin0=0，f（1）=sin，f（2）=sin，f（3）=sin，f（4）=sin，则 f（0）+f（1）+f （2）+f（3）+f（4）=0；又由函数 f（x）的周

10、期为 5，第6页，共 16页则 f（5）=f （10）=f （2015）=f（0），f （6）=f（11）+f（2016）=f（1），f （7）=f（12）+f（2017）=f（2），f （8）=f（13）+f（2018）=f（3），f （9）=f（14）+f（2019）=f（4），则 f（0）+f （1）+f（2）+f（3）+ +f （2019）=403f （0）+f（1）+f （2）+f（3）+f（4）=0；故选：A根据题意，求出函数 f（x）的周期，结合正弦函数的性 质求出 f（0）+f（1）+f （2）+f（3）+f（4）=0，结合函数的周期性分析可得答案本题考查函数值的计算，注意结合

11、正弦函数的周期性 进行分析，属于基础题【答案】 B8.【解析】解：当x=1 时 设 y=fx = mx-12g x =，（）（），（）2 g（1）=，则 f（1）=（m-1）f （0）=1，g（0）=，2若，=（m-1），则 m=0 或 m=a，（2a3），2A 若 m0，1，则（m-1），1，此时两个函数只有一个交点，故A 错误 时为时，2，B当 m（1，2） ，因 当 x=1（m-1）且 g（0）=1，第7页，共 16页则x 0 1时y= mx-12的图象与的图象如图所示，当，函数） ，（即当m1 2时，函数y= mx-12图象与的图象在x 01（，（）的，无交点，故 B 正确，C当 m（

12、2，3时，g（0）=时2时图象交，此 两个1，此 若（m-1）点，2若（m-1），此时两个图象有 1 个交点，即 C 不一定正确时时时图象只D当 m（3，+） ，g（0）= 1，此f（1）g（1），此 两个函数有一个交点，故 D 错误，故选：B2设 =f（x）=（mx-1），g（x）=，结合函数的 单调性，分别比较 f （0）=1与 g（0）第8页，共 16页= ，的大小，以及f （1）与g（1）的大小，利用数形结合进行判断即可本题考查了函数图象的作法及函数 图象的位置关系，通过讨论 m 的范围，结合 f（0）与g（0），以及f（1）与g（1）的大小关系，利用数形结合是解决本 题的关键综合性较

13、强，有一定的难度9.【答案】【解析】解：在平面直角坐 标系 xOy 中，角与角 均以 Ox 为始边，它们的终边关于x 轴对称，sin =sin（-）=-sin =- ，故答案为：-由题意可得 sin =sin（-），由此能求出结果本题考查角的正弦 值的求法，考查对称角、诱导公式，正弦函数等基 础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是基础题10.【答案】 -1【解析】约作出可行域如图，解：由 束条件由图优解为A ，可知，最联立，解得A （0，1）z=2x-y 的最小值为 20-1=-1故答案为：-1由约束条件作出可行域，由 图得到最优解，求出最优

14、 解的坐标，数形结 合得答案本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题11.【答案】 8【解析】第9页，共 16页线y2（ ）的准线为 ：，解：抛物=2px p 0l x=-双曲线的两条渐近线方程为 y= x，可得 A（-，-），B（-， ），|AB|=4，可得 p=8故答案为：8求得抛物 线的准线方程和双曲 线的渐近线方程，联立求得 A ，B 的坐标，可得|AB|，解方程可得 p 的值本题考查抛物线和双曲线的方程和性 质，主要是准线方程和渐近线方程，考查方程思想和运算能力，属于基 础题12.【答案】 7【解析】解：由题意，可知：a2=2a1-1=2 1-1=1，a3=2

15、a2+2=21+2=4，a4=2a3-1=2 4-1=7故答案为：7本 题可根据 递推式逐步 计 算，但要注意 n 的奇偶性，代入不能搞 错本题可根据递推式逐步 计算，属基础题13.【答案】 （ x+4）（ x-6） 0；（答案不唯一）【解析】解：由题意知写出的一元二次不等式的解集与集合A 有且只有一个公共元素，等式解集中的整数解只有一个在集合A 中即可为或 x-4 解集中只有-5 在故不等式可以是 （x+4）（x-6）0解集 x|x 6集合 A中故答案为：（x+4）（x-6 ）0由题意知写出一个一元二次不等式，使得该不等式的解集与集合A 有且只有第10 页，共 16页一个公共元素，故不等式解

16、集中的整数解只有一个在集合A 中即可本题考查一元二次不等式解集，属于 简单题14.【答案】【解析】解：由|AB|=1，单位圆的半径为 1，则 AOB 为等边三角形，故AOB=；设 A （cos，sin ），知B（cos（+ ），sin（+ ），则；|y1+2|+|y2+2|=4+sin +sin（+ ）=，故；|y1+2|+|y2+2|的最大值为故答案为：若 |AB|=1，单位圆的半径为 1，则 AOB 为等边三角形，可得出 AOB 的值；设A （cos ，sin ），根据AOB=；，可知B（cos（+ ），sin（+ ），进而化简|y1+2|+|y2+2|来求解本题考查了圆的参数方程以及 圆

17、的性质，属于中档题15.【答案】 （本小题 13 分）解：（ ）因为Sn=Sn-1+2n（ n2， nN* ），所以 an n n*）=S -S -1=2 n（ n2， nN又因为 a1=2，所以 an=2n（nN* ）所以（ ），所以【解析】（）利用数列的递推关系式推出数列是等差数列，然后求解Sn；b满足，推出数列b n 是等比数列然后求解数列的前 n项（）数列 n和 Tn本题考查数列的递推关系式以及数列求和的应用，考查计算能力16.【答案】 （本小题 13 分）解：（ ）在 ABC 中，第11 页，共 16页， c=3，由正弦定理得，（ ）由余弦定理b2=a2+c2-2accosB 得，a

18、2+2a-3=0 ，解得 a=1 或 a=-3 （舍）=【解析】（）在ABC 中，求出正弦函数值，利用正弦定理 转化求解即可b222（）由余弦定理=a +c -2accosB得 a，然后求解三角形的面 积本题考查正弦定理以及余弦定理的 应用，考查三角形的解法，考查计算能力17.【答案】 （本小题 14 分）（ ）证明：在矩形ABCD 中， CDAB，F ， G 分别为 BE， AE 的中点，FG AB，且 FG =，CD FG ，CD ? 平面 FGH ， FG? 平面 FGH ，CD 平面 FGH （ ）证明：在矩形ABCD 中， ADAB，又 BAE=90，ABAE，又 AD AE=AAB

19、平面 ADE ，又 GFABGF 平面 ADE ，GF ? 平面 FGH ，平面 FGH 平面 ADE （ ）解：作 APDE 于 P，第12 页，共 16页GF 平面 ADE ，且 AP? 平面 ADE， GF AP，G，H 分别为 AE， AD 的中点，GH APGF GH =G，AP平面 FGH ，FH ? 平面 FGH ，APFH ，矩形 ABCD 平面 AEB，且平面 ABCD 平面 AEB =AB ，AE平面 ABCD ，AEAD ，在直角三角形AED 中，AE =4， AD =2，可求得故 AP 的值为： 【解析】（1）由中位线和平行的 传递性易得 CDGF，得证；（2）先证 G

20、F 与平面 AED 垂直，进而得面面垂直；（3）只需过 A 作 DE 的垂线 AP，不难证明 AP 与平面 FGH 垂直，从而满足APFH，在直角三角形 ADE 中易得 AP此题考查了线面平行，面面垂直，线面垂直等，难度适中18.13 分）【答案】 （本小题解：（ ）由男职工的年龄频率分布直方图可得：（ a+0.01+0.04+0.08+0.025+0.025 ）5=1所以 a=0.02（ ）该单位 25 ，35）岁职工共24 人，由于 25，35）岁男女职工人数相等，所以 25，35）岁的男职工共 12人由（ ）知，男职工年龄在25 ，35）岁的频率为0.15，所以男职工共有人，所以女职工有

21、140-80=60 人，所以男女比例为4：3（ ）由男职工的年龄频率分布直方图可得： 男职工年龄在 25，30）岁的频率为 0.05由（ ）知，男职工共有 80 人，所以男职工年龄在 25 ，30）岁的有 4 人，分别记为 A1，A2， A3， A4又全体员工年龄在 25， 30）岁的有 6 人，所以女职工年龄在 25， 30）岁的有 2 人，分别记为 B1，B2从年龄在25 30 岁的职工中随机抽取两人的结果共有（A1 ，A2），（ A1， A3），（ A1，A4），（ A1， B1），（ A1 ，B2），（ A2，A3），（ A2，A4），（ A2， B1 ），（ A2，B2），（ A3，

22、 A4 ），（ A3，B1），（ A3，B2），（ A4， B1），（ A4， B2），（ B1，B2） 15 种情第13 页，共 16页况，其中一男一女的有（A1， B1），（ A1，B2），（ A2，B1），（ A2， B2），（ A3， B1），（ A3， B2 ），（ A4，B1），（ A4，B2） 8 种情况，所以恰好抽取一名男职工和一名女职工的概率为【解析】（）利用频率和为 1 可得，（）由（）中求出a的及频率分布直方 图可以求出 35 岁以下男职工的数量，进而得到所有男 职工的数量，即可求男女 职工比例（）求出该组男女职工的数量，然后代入古典概型 计算可得本题主要考查了频率分布直

23、方 图、古典概型的概率计算等知识，采用列举事件包含的基本事件的个数的方法时，要做到不重不漏本题属于基础题19.【答案】 解：（ ） ， f（ x） =ex-a， f（ 1） =e-a，由题设知 f（ 1） =0，即 e-a=0，解得 a=e经验证 a=e 满足题意（ ）方法一：令 f（ x） =0，即 ex=a，则 x=ln a，（ 1）当 lna 1 时，即 0 a e对于任意 x（ -， ln a）有 f（x） 0，故 f（ x）在（ -， lna）单调递减；对于任意 x（ lna， 1）有 f（ x） 0，故 f（ x）在（ lna， 1）单调递增，因此当 x=lna 时， f （ x）

24、有最小值为成立（ 2）当 lna1时，即 ae对于任意x（ -， 1）有 f（ x） 0，故 f（ x）在（ -， 1）单调递减，所以 f（ x） f（ 1）因为 f（ x）的图象恒在x 轴上方，所以 f（ 1） 0，因为 f（ x） 0，所以 f（ 1） 0，即 a2e，综上， a 的最大值为 2e方法二：由题设知，当x1 时，（ 1）当时，设，则，故 g（ x）在（ 0， 1）单调递减，因此， g（ x）的最小值大于 g（ 1） =2e，所以 a2e（ 2）当时，成立第14 页，共 16页（3）当时，因为，所以当a=2e 时成立综上， a 的最大值为2e【解析】（），可得 f（x ）=ex

25、-a，可得 f（1）=0，解得 a（）方法一：令f（x）=0，即 ex，则x=lna，对lna分类讨论，利用单调性即可=a得出题设知，当 x 1时，对x 分类讨论过方法二：由，通 分离参数，利用导数研究其 单调性即可得出本题考查了利用导数研究函数的 单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与 计算能力，属于难题【答案】 解：（ ）依题可知 B（ a， 0）， a=220.因为，所以 c=1 ，故椭圆 C 的方程为（ ）方法一：以 BD 为直径的圆与直线PF 相切证明如下：由题意可设直线AP 的方程为 y=k（x+2）（ k0）则点 D 坐标为（ 2， 4k）， BD 中点