2014年高考北京文科数学试题及答案(word解析版)(总5页

1、2014年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（文科）第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项（1）【2014年北京，文1，5分】若集合，则（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】因为，故选C【点评】本题考查交集及其运算，是基础题（2）【2014年北京，文2，5分】下列函数中，定义域是且为增函数的是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】B【解析】对于选项A，在R上是减函数；选项C的定义域为；选项D，在上是减函数，故选B【点评】本题主要考查函数定义域和单调性的判断，比较基础（3）【20

2、14年北京，文3，5分】已知向量，则（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】A【解析】因为，所以，故选A【点评】本题考查平面向量的数乘及坐标减法运算，是基础的计算题（4）【2014年北京，文4，5分】执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）（A）1 （B）3 （C）7 （D）15【答案】C【解析】当时，；当时，；当时，；当时， 输出，故选C【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键（5）【2014年北京，文5，5分】设、是实数，则“”是“”的（ ）（A）充分必要条件 （B）必要而不必要条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分不必要条件【答案】D【解析

3、】若，则，故不充分； 若，则，而，故不必要，故选D【点评】判断充要条件的方法是：若为真命题且为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；若为假命题且为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；若为真命题且为真命题，则命题p是命题q的充要条件；若为假命题且为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件判断命题与命题所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题与命题的关系涉及不等式平方大小的比较问题，举反例不失为一种有效的方法（6）【2014年北京，文6，5分】已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】因为，所以由根的存在性定

4、理可知，故选A【点评】本题考查还是零点的判断，属基础题（7）【2014年北京，文7，5分】已知圆和两点，若圆上存在点，使得，则的最大值为（ ）（A）7 （B）6 （C）5 （D）4【答案】B【解析】由题意知，点在以原点为圆心，以为半径的圆上，又因为点在已知圆上，所以只要两个圆有交点即可，所以，故选B【点评】本题主要直线和圆的位置关系，求得圆C上的点到点O的距离的最大值为6，是解题的关键，属于中档题（8）【2014年北京，文8，5分】加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”咋特定条件下，可食用率与加工时间（单位：分钟）满足的函数关系（、是常数），如图记录了三次实验的数据根据上述函数

5、模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ）（A）分钟 （B）分钟 （C）分钟 （D）分钟【答案】B【解析】由图形可知，三点都在函数的图象上，所以，解得，当时，取最大值，故选B【点评】本题考查了二次函数模型的应用，考查利用二次函数的图象与性质求函数的最值问题，确定函数模型是关键第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分（9）【2014年北京，文9，5分】若，则 【答案】【解析】由题意知：，所以由复数相等的定义知【点评】本题考查复数相等的充要条件，属基础题（10）【2014年北京，文10，5分】设双曲线的两个焦点为，一个顶点式，则的方程为 【答案】【解析】由题意知

6、：，所以，又因为双曲线的焦点在轴上，所以的方程为【点评】本题考查双曲线方程与性质，考查学生的计算能力，属于基础题（11）【2014年北京，文11，5分】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为_【答案】【解析】由三视图可知：该几何体为一条侧棱垂直底面的三棱锥，底面为边长为2的等边三角形， 棱锥的高为2，所以最长的棱长为【点评】本题考查点、线、面间的距离计算，考查空间图形的三视图，考查学生的空间想象能力，考查学生分析解决问题的能力（12）【2014年北京，文12，5分】在中，则 ； 【答案】2，【解析】由余弦定理得：，故；因为，所以【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及同角三角函数间

7、的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键（13）【2014年北京，文13，5分】若、满足，则的最小值为_【答案】1【解析】画出不等式组表示的平面区域，可知区域为三角形，平移直线可得，当直线经过两条直线 与的交点时，取得最小值1【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题（14）【2014年北京，文14，5分】顾客请一位工艺师把、两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这项任务，每件颜料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下： 工序 时间原料粗加工精加工原料原料则最短交货期为 工

8、作日【答案】42【解析】因为第一件进行粗加工时，工艺师什么都不能做，所以最短交货期为天【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题 三、解答题：共6题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程（15）【2014年北京，文15，13分】已知是等差数列，满足，数列 满足，且为等比数列（1）求数列和的通项公式；（2）求数列的前项和解：（1）设等差数列的公差为，由题意得，所以设等比数列的公比为，由题意得，解得所以（2）由（1）知数列的前项和为，数列的前项和为所以，数列的前项和为【点评】本题主要考查学生对等差数列及等比数列的通项公式和前n项和公式的应用，考查学生

9、的基本的运算能力，属基础题（16）【2014年北京，文16，13分】函数的部分图象如图所示（1）写出的最小正周期及图中、的值；（2）求在区间上的最大值和最小值解：（1）的最小正周期为，（2）因为，所以于是当，即时，取得最大值0；当，即时，取得最小值【点评】本题考查三角函数的图象和性质，属基础题（17）【2014年北京，文17，14分】如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，、分别为、的中点（1）求证：平面平面；（2）求证：平面；（3）求三棱锥的体积解：（1）在三棱柱中，底面所以又因为所以平面所以平面平面（2）取中点，连结，因为，分别是，的中点，所以，且因为，且，所以，且所以四边形为平行四边形所以又因

10、为平面，平面，所以平面（3）因为，所以所以三棱锥的体积【点评】本题考查线面平行、垂直的证明，考查三棱锥EABC的体积的计算，正确运用线面平行、垂直的判组号分组频数1628317422525612768292合计100定定理是关键（18）【2014年北京，文18，13分】从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：（1）从该校随机选取一名学生，试估计这名 学生该周课外阅读时间少于12小时的概 率；（2）求频率分布直方图中的a，b的值；（3）假设同一组中的每个数据可用该组区间 的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周

11、课外阅读时间的平均数在第几组（只需写出结论）解：（1）根据频数分布表，100名学生中课外阅读时间不少于12小时的学生共有 名，所以样本中的学生课外阅读时间少于12小时的频率是从该校随机选取一名学生，估计其课外阅读时间少于12小时的概率为（2）课外阅读时间落在组的有17人，频率为，所以课外阅读时间落在组的有25人，频率为，所以（3）样本中的100名学生课外阅读时间的平均数在第4组【点评】本题考查了频率分布表与频率分布直方图，再频率分布直方图中频率=小矩形的面积=小矩形的高组距=（19）【2014年北京，文19，14分】已知椭圆（1）求椭圆的离心率；（2）设为原点，若点在直线，点在椭圆上，且，求线

12、段长度的最小值解：（1）由题意，椭圆的标准方程为所以，从而因此，故椭圆的离心率（2）设点，的坐标分别为，其中因为，所以，即，解得又，所以因为，且当时等号成立，所以故线段长度的最小值为【点评】本题考查椭圆的方程与性质，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题（20）【2014年北京，文20，13分】已知函数（1）求在区间上的最大值；（2）若过点存在3条直线与曲线相切，求的取值范围；（3）问过点分别存在几条直线与曲线相切？（只需写出结论）解：（1）由得令，得或因为，所以 在区间上的最大值为（2）设过点的直线与曲线相切于点则切线斜率 所以切线方程为，整理得设，则“过点存在3条直线与曲线相切”等价于“有3个不同零点”与的情况如下：0100 所以，是的极大值，是的极小值当，即时，此时在区间和上分别至多有1个零点，所以 至多有2个零点当，即时，此时在区间和上分别至多有1个零点，