教学资料ppt电子教案课件一维随机变量

1、第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 2.1 一维随机变量一维随机变量 一、一、随机变量的概念随机变量的概念 2=w1,w2,w6； 例例1 抛掷一颗骰子，观察出现的点数；抛掷一颗骰子，观察出现的点数； wi=出现出现i点点, 点点出现出现 点点出现出现 6 1 x 1 6 1 w 6 w x() x = x=x() 引例引例 例例2 掷一枚硬币，观察正面、反面出现的情况掷一枚硬币，观察正面、反面出现的情况. 记记1= “正面朝上正面朝上”， 2=“反面朝上反面朝上”. 2 1 , 0 , 1 )( xx x也是定义在也是定义在=1，2上的函数，是随机变量上的函数，是随机变量. =

2、t | 0t， 例例3 从一批灯泡中任取一只，测试其寿命；从一批灯泡中任取一只，测试其寿命； t为灯泡寿命；为灯泡寿命； ), 0 t 定义定义 设随机试验设随机试验e的样本空间为的样本空间为，如果对于每，如果对于每 一个一个，都有唯一的一个实数，都有唯一的一个实数x()与之对应，与之对应， 对任意实数对任意实数x , x() x有确定的概率，则称有确定的概率，则称x() 为为随机变量随机变量，通常用大写字母，通常用大写字母x，y，z表示，或用小表示，或用小 写希腊字母写希腊字母,表示表示. 注意：注意： 1. x是定义在是定义在上的实值、单值函数上的实值、单值函数. 2. 因随机试验的每一个

3、结果的出现都有一定的概率，因随机试验的每一个结果的出现都有一定的概率， 所以随机变量所以随机变量x的取值也有一定的概率的取值也有一定的概率. 3. 随试验结果不同随试验结果不同, x取不同的值，试验前可以知取不同的值，试验前可以知 道它的所有取值范围，但不知确定取什么值道它的所有取值范围，但不知确定取什么值. 一、随机变量的定义一、随机变量的定义 随机变量按其可能取的值，区分为两大类随机变量按其可能取的值，区分为两大类: 一类叫离散型随机变量一类叫离散型随机变量, 其特征是只能取有限或可列其特征是只能取有限或可列 个值在例个值在例1和例和例2中，随机变量为离散型随机变量中，随机变量为离散型随机

4、变量 另一类是非离散型随机变量另一类是非离散型随机变量.在非离散型随机变量中，在非离散型随机变量中， 通常只关心连续型随机变量，它的全部可能取值不仅通常只关心连续型随机变量，它的全部可能取值不仅 是无穷多的、不可列的，而是充满某个区间在例是无穷多的、不可列的，而是充满某个区间在例3中，中， 随机变量则为连续型随机变量随机变量则为连续型随机变量 确实存在既非离散型也非连续型的随机变量确实存在既非离散型也非连续型的随机变量.本教材本教材 只介绍离散型和连续型的随机变量只介绍离散型和连续型的随机变量. 在灯泡寿命试验中，在灯泡寿命试验中， 灯泡的寿命不低于灯泡的寿命不低于1000小时小时 可用随机变

5、量可用随机变量x表示为表示为x1000 例例2 掷一枚硬币，观察正面、反面出现的情况。掷一枚硬币，观察正面、反面出现的情况。 记记1= “正面朝上正面朝上”， 2=“反面朝上反面朝上”. 在投硬币试验中，在投硬币试验中， 正面朝上正面朝上可以表示为可以表示为 x=1 用随机变量表示随机事件用随机变量表示随机事件: 5= t | 0t， 例例3 从一批灯泡中任取一只，测试其寿命；从一批灯泡中任取一只，测试其寿命； t为灯泡寿命；为灯泡寿命； ), 0 t 2 1 , 0 , 1 )( xx 一般地：一般地：x=k ，x a ，axb表示一个随机事件表示一个随机事件. 如果随机变量的所有可能取值为

6、有限个或无如果随机变量的所有可能取值为有限个或无 限可列个，这样的随机变量称为限可列个，这样的随机变量称为离散型随机变量离散型随机变量 p x = xi = pi （i = 1, 2, ） 则称之为离散型随机变量则称之为离散型随机变量x的分布列（律），或称作离的分布列（律），或称作离 散型随机变量的密度函数散型随机变量的密度函数. 定义定义 设离散型随机变量设离散型随机变量x所有可能的取值为所有可能的取值为 x1 , x2 , , xn , x取各个值的概率，即事件取各个值的概率，即事件x=xi的概率为的概率为 一、离散型随机变量的分布律一、离散型随机变量的分布律 （1）非负性：）非负性： p

7、i 0 （i=1,2，） 1 1 i i p （2）规范性：）规范性： 且满足两条且满足两条性质：性质： p x = xi = pi （i = 1, 2, ） 亦可用下面的概率分布表来表示亦可用下面的概率分布表来表示 xx1x2xn pkp1p2pn 则称之为离散型随机变量则称之为离散型随机变量x的概率分布或分布列（律）。的概率分布或分布列（律）。 定义定义 设离散型随机变量设离散型随机变量x所有可能的取值为所有可能的取值为 x1 , x2 , , xn , x取各个值的概率，即事件取各个值的概率，即事件x=xi的概率为的概率为 一、离散型随机变量的分布律一、离散型随机变量的分布律 （1）非负

8、性：）非负性： pi 0 （i=1,2，） 1 1 i i p（2）规范性：）规范性： 例例1 判别下列是否为随机变量判别下列是否为随机变量x的概率分布为：的概率分布为： 分布列具有如下分布列具有如下性质性质： x12345 p1/62/6-1/63/61/6 x-20123 p1/61/61/61/61/6 例例2 已知随机变量已知随机变量x的概率分布为：的概率分布为： , )5 , 4 , 3 , 2 , 1(kakkxppk 求常数求常数a. 解解 由概率分布的性质得由概率分布的性质得 1 5 1 i i p 得得 15a = 1, 即即. 15 1 a （1）非负性：）非负性： pi

9、0 （i=1,2，） 1 1 i i p（2）规范性：）规范性： 分布列具有如下分布列具有如下性质性质： 1. 两点分布（两点分布（0-1分布）分布） 发发生生当当 发发生生当当 ,0 , 1 x x p 1 0 p 1-p 二、几种常见的离散型随机变量的概率分布二、几种常见的离散型随机变量的概率分布 则称则称 x 服从两点分布（服从两点分布（0-1分布）分布） （p为参数为参数 ）. x的分布率为的分布率为 若随机试验若随机试验e的样本空间的样本空间中只有两个样本点，即中只有两个样本点，即 =,，则总可以定义随机变量，则总可以定义随机变量x，使，使 例例3 假设某篮球运动员投篮命中率为假设某

10、篮球运动员投篮命中率为0.8，x表示他表示他 投篮一次命中的次数，求投篮一次命中的次数，求x的概率分布的概率分布 解解 用用x=1表示表示“投篮一次命中投篮一次命中”，x=0表示表示“投投 篮一次没命中篮一次没命中”，则，则 px=0=10.8=0.2. 即即x的概率分布为的概率分布为 x 0 1 p 0.2 0.8 px=1=0.8, kxp 2. 二项分布二项分布 则称则称 x 服从参数为服从参数为 n，p的二项分布，记作的二项分布，记作 在伯努利试验中，事件在伯努利试验中，事件a在一次试验中发生的概率为在一次试验中发生的概率为 p，则在，则在n次试验中次试验中a发生的次数发生的次数x是一

11、个随机变量，且是一个随机变量，且 nkppc knkk n , 2 , 1 , 0,)1( ),(pnbx 特别特别当当 n=1时，二项分布为时，二项分布为 )1 , 0()1( 1 kppkxp kk 即为即为0-1分布分布. 例例4 某人射击的命中率为某人射击的命中率为0.02，独立射击，独立射击400次，求次，求 击中目标的次数不小于击中目标的次数不小于2的概率的概率. 解解 设设表示射击表示射击400次击中目标的次数，则次击中目标的次数，则 )( b 02. 0 ,400 其分布率为其分布率为 kp k c400 400, 2 , 1 , 0,)02. 01()02. 0( 400 k

12、 kk )2( p)1()0(1 pp 400 )98. 0(1)98. 0)(02. 0(400 399 kxp knkk n ppc )1( ),(pnbx 0.997 ! k e kxp k 其中其中0是常数，则称是常数，则称x服从参数为服从参数为的泊松分布，记的泊松分布，记 为为xp() 3. 泊松分布泊松分布 （k =0，1，2，） 定义定义 如果随机变量如果随机变量x的概率分布为的概率分布为 kxp nkppc knkk n , 2 , 1 , 0,)1( ),(pnbx 当当n很大（很大（n10）p很小（很小（p0.1）时，令）时，令np kxp knkk n ppc)1()(

13、! n k e k ! k e kxp k 其中其中0是常数，则称是常数，则称x服从参数为服从参数为的泊松分布，记的泊松分布，记 为为xp() 3. 泊松分布泊松分布 （k =0，1，2，） 定义定义 如果随机变量如果随机变量x的概率分布为的概率分布为 当当n较大时，较大时，n重贝努里试验中小概率事件出现的重贝努里试验中小概率事件出现的 次数近似服从泊松分布次数近似服从泊松分布. 例例4 某人射击的命中率为某人射击的命中率为0.02，独立射击，独立射击400次，求次，求 击中目标的次数不小于击中目标的次数不小于2的概率的概率. 解解 设设表示射击表示射击400次击中目标的次数，则次击中目标的次

14、数，则 )( b 02. 0 ,400 )2( p )1()0(1 pp 400 )98. 0(1)98. 0)(02. 0(400 399 np 8 ! k e kxp k )2( p 1 ! 0 8 80 e ! 1 8 81 e )1()0(1 pp 8 91 e 0.997 4. 几何分布几何分布 若随机变量若随机变量x的分布律为的分布律为 则称则称x服从参数为服从参数为p的几何分布，记作的几何分布，记作 xg(p) 1 )1( k ppkxp ( k=1，2，；0p1) 在一个伯努利试验中，在一个伯努利试验中，若若x表示表示事件事件a首次发生所首次发生所 需要的次数，需要的次数，则则

15、x服从参数为服从参数为p的几何分布的几何分布. 例例7 某射手射击命中率为某射手射击命中率为 p=0.8，现进行射击试验，现进行射击试验， 直到命中为止，假设每次射击是相互独立的，求射击直到命中为止，假设每次射击是相互独立的，求射击 次数次数x的概率分布的概率分布. 解解 x g(0.8) ，其概率分布为，其概率分布为 px=k=(0.2)k-1 0.8, k=1, 2, 在一个伯努利试验中，在一个伯努利试验中，若若x表示表示事件事件a首次发生所首次发生所 需要的次数，需要的次数， 1 )1( k ppkxp xg(p) 则则x服从参数为服从参数为p的几何分布的几何分布. 2.3 随机变量的分

16、布函数随机变量的分布函数 设设为随机变量，对于任意实数为随机变量，对于任意实数x，称函数，称函数 f(x)=p x ( x + ) 为随机变量为随机变量的分布函数的分布函数. 一、分布函数的定义一、分布函数的定义 f(x)=p x ( x + ) 例例1 已知随机变量已知随机变量的分布见下表，求分布函数，的分布见下表，求分布函数， 并作出其图形并作出其图形. p 1 6/1 2 6/3 3 6/2 )(21xfx时，时，当当 )(xp ; 0 )(1xfx时，时，当当 )(xp ; 6 1 )1( p )(32xfx时，时，当当)(xp ; 6 4 6 3 6 1 )2()1( pp )(3x

17、fx时，时，当当)(xp 1 例例1已知随机变量已知随机变量的分布见下表，求分布函数，的分布见下表，求分布函数， 并作出其图形并作出其图形. p 1 6/1 2 6/3 3 6/2 ; 0)(1 xfx时，时，当当 ; 6 1 )(21 xfx时，时，当当 6 4 )(32 xfx时，时，当当 1)(3 xfx时，时，当当 01 231 6/1 6/4 1 x y 二二、离散型随机变量的分布函数、离散型随机变量的分布函数 设离散型随机变量设离散型随机变量x x的概率分布为的概率分布为 ni n pppp xxxx 21 21 则则x的分布函数为的分布函数为 ( )()f xp xx () ii

18、 ii xxxx p xxp 设随机变量设随机变量x的分布函数为的分布函数为f(x), 则则 （1）对任意实数）对任意实数x，0f(x)1，f(x)为有界函数为有界函数 （3）f(x)是单调不减函数，即对于任意是单调不减函数，即对于任意x1 x2 ， ，有 有 f(x1) f(x2) （4） f(x)是右连续函数，即是右连续函数，即f(x) = f(x+0) 三、分布函数性质、分布函数性质 ()lim( )0,()lim( ) 1. xx ff xff x （2） f(x)=p x ( x + ) )()(lim 0 xafaf x f(x)=p x ( x + ) lim 0 axxap x

19、 )0()( afaf axpbxp )()(afbf 四四、利用分布函数计算随机变量取值于某区间的概率利用分布函数计算随机变量取值于某区间的概率 bxap (1) axp (2) pxb=f(b) pxa= 1 -pxa=1-f(a) pxa= 1 -pxa=1-f(a-0) bxap ) 0()(afbf f(x)=p x ( x + ) axpbxp bxap axpbxp )()(afbf (3) p a x b (0)(0)f bf a p xbp xa p a x b (0)( )f bf a p xbp xa 三三 连续型随机变量连续型随机变量 如果随机变量的所有可能取值不仅是无

20、穷多的、如果随机变量的所有可能取值不仅是无穷多的、 不可列的，而且是充满某个区间不可列的，而且是充满某个区间 ，这样的随机变量称，这样的随机变量称 为为连续型随机变量连续型随机变量 设随机变量设随机变量x的分布函数为的分布函数为f(x)，如果存在一个非，如果存在一个非 负的可积函数负的可积函数f(x)，使对任意的实数，使对任意的实数x，有，有 则称则称x为为连续型随机变量连续型随机变量，f(x)称为称为x的概率密度函数，的概率密度函数， 简称简称密度函数密度函数.这时这时x的分布称为连续型分布的分布称为连续型分布. 二、密度函数的性质二、密度函数的性质 (1) f(x)0 (2)( )1f x

21、 dx 一、定义一、定义 )( x( )f xp xx( )d x f xx 二、密度函数的性质二、密度函数的性质 (3) 在在f(x)的连续点处有：的连续点处有： )( )(xfxf (4) 连续型随机变量取任何实数值连续型随机变量取任何实数值a的概率等于的概率等于0. bxapbxapbxap ) 5( b a xxfd)( bxap ( )f xp xx( )d x f xx 例例1 下列函数是否是某个随机变量的密度函数？其中下列函数是否是某个随机变量的密度函数？其中 d分别为分别为 2 3 , 0)3(, 0)2( 2 , 0)1( ddd； 其他其他,0 ,sin )( dxx xf

22、 例例2 设连续型设连续型随机变量的概率密度为随机变量的概率密度为 00 0 )( 3 x xke xf x 求（）求（）k；11)2( xp 2 1 )3( xp 解：由概率密度的性质得解：由概率密度的性质得： 1)( dxxf 而 0 3 )(dxkedxxf x 3 k 所以所以 k=3 11)2( xp 1 1 )(dxxf 3 1 e 2 1 )3(xp )()4(xf 1 0 3 3dxe x 0 例例2 设连续型设连续型随机变量的概率密度为随机变量的概率密度为 00 0 )( 3 x xke xf x 求（）求（）k k；11)2( xp 2 1 )3( xp)()4(xf 时，

23、时，当当0)4( x ( )( )d x f xf xx 0d0 x x 时，时，当当0 x ( )( )d x f xf xx 0 3 0 0d3d x x xex 3 1 x e 0, 0 0,1 )( 3 x xe xf x ( )f xp xx( )d x f xx 例例3 设随机变量设随机变量x的分布函数为的分布函数为 xxbaxf,arctan)( 求（求（1）a和和b；（；（2）p(-1x1)；（；（3）密度函数）密度函数 解（解（1）由分布函数的性质得）由分布函数的性质得 )(0 f)arctan( ba 2 ba )(1 f)arctan( ba 2 ba /1, 2/1 b

24、a得得 xxfarctan 1 2 1 )( （2）p(-1x1)5 . 0)1()1( ff 例例3 设随机变量设随机变量x的分布函数为的分布函数为 xxbaxf,arctan)( 求（求（1）a和和b；（；（2）p(-1x1)；（；（3）密度函数）密度函数 解（解（1）由分布函数的性质得）由分布函数的性质得 xxfarctan 1 2 1 )( （2）p(-1x0)为常数，则称为常数，则称x服服 从参数为从参数为,的正态分布的正态分布.记作记作 x n（,2） 2. 正态分布正态分布 （1 1）曲线关于）曲线关于x = =对称，即对于任意的对称，即对于任意的h 00有有 1 ( ) 2 f

25、 p-hx = px+h 显然，显然， x离离越远，越远，f(x)的值越小的值越小.即对于同样长度的即对于同样长度的 区间，区间，x 落在离落在离越远的区间，概率越小越远的区间，概率越小. （2）当）当 x =时，函数时，函数f(x)达到最大值达到最大值 2.2 正态分布的密度函数正态分布的密度函数f(x)的图形的性质的图形的性质 xexf x , 2 1 )( 2 2 2 )( x在处有拐点. f(x) x 0 =2 =0.5 =1 1 ( ) 2 f （2）当）当 x =时，函数时，函数f(x)达到最大值达到最大值 (3) 水平渐近线：水平渐近线：x 轴轴. (4) 固定固定 , 改变改变

26、 值值, 则则 愈小时愈小时, f(x)图形的形状愈陡峭图形的形状愈陡峭,图形越向图形越向 x= 集中集中，x 落在落在 附近的概率附近的概率 越大越大. xexf x , 2 1 )( 2 2 2 )( 1. 定义定义 若随机变量若随机变量x的密度函数为的密度函数为 分布函数为：分布函数为： xexf x , 2 1 )( 2 2 2 )( x t dtexf 2 2 2 )( 2 1 )( 其中其中,(0)为常数，则称为常数，则称x服服 从参数为从参数为,的正态分布的正态分布.记作记作 x n（,2） 2. 正态分布正态分布 即当即当 = 0， =1时的正时的正 态分布态分布. 2 2 2

27、 1 )( x ex x t dtex 2 2 2 1 )( -3-2-10123 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 标 准 正 态分 布 密 度 图 密度函数：密度函数：分布函数：分布函数： xexf x , 2 1 )( 2 2 2 )( 计算好的数值计算好的数值(x)在附表在附表4中中. )( x )(x x t dtexf 2 2 2 )( 2 1 )( )( 2 1 2 2 x de x (1) -3-2-10123 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 标准 正 态分布图 x y -xx 1-(x) (

28、-x) )(x )(1x (2),( 2 nx若若 )()( x xf则则 bxap bxp axp 则则 (4) 可查标准正态分布表计算概率（附表可查标准正态分布表计算概率（附表4) )()( ab )( b )(1 a (3) ),( 2 nx若若 例例1 设设xn(0,1) ,计算计算px2.35 ； p-1.64 x0 .82 ； p|x| 1.54； p|x| 1.54 1）px2.35 =(2.35)= 2）p-1.64 x0 .82 = (0.82)- (-1.64) = (0.82)- 1-(1.64) = 0.7434 )( x )(1x 0.9906 4) p|x| 1.5

29、4 = 例例1 设设xn(0,1) ,计算计算px2.35 ； p-1.64 x0 .82 ； p|x| 1.54； p|x| 1.54 3) p|x| 1.54= 设设xn(0,1) ,则则 p|x| a= (a)- (-a) =2(a)-1 (1.54)- (-1.54) =2(1.54)-1= 0.8764 1- p|x| 1.54=1-0.8764=0.1236 例例2 设随机变量设随机变量 求求 解解 )210( 2 ，nx148 xp 814px ),( 2 nx x若若 )()( x xf则则 (14)(8)ff 14 108 10 ()() 22 (2)( 1) (2) 1(1

30、) 3. 指数分布指数分布 若连续型随机变量若连续型随机变量x的密度函数为的密度函数为 00 0 x xe xf x , , )( 其中其中0是常数，则称是常数，则称x服从参数为服从参数为的指数分布。的指数分布。 记作记作xe(). 分布函数为分布函数为 0, 0 0,1 )( x xe xf x 指数分布常用来作各种指数分布常用来作各种“寿命寿命”分布的近似，如电分布的近似，如电 子元件的寿命；动物的寿命；电话问题中的通话时间子元件的寿命；动物的寿命；电话问题中的通话时间 都常假定服从指数分布都常假定服从指数分布 例例11 若已使用了若已使用了t小时的电子产品在以后的小时的电子产品在以后的 t小时内损坏小时内损坏 的概率为的概率为t o( t)，其中，其中是不依赖与是不依赖与t的常数