加法原理乘法原理

1、加法原理乘法原理奥赛天天练第16讲加法原理、第17讲乘法原理、第18讲两 种原理的综合运用。这三讲将初步介绍计数研究中最基本、最常用的两个原 理：加法原理和乘法原理。计数就是数数，即把一些对象的个数数出来。简单 的计数可以一个一个地数。对于比较复杂的计数，一个一个地数很难，可以利 用加法原理和乘法原理帮助我们计数。加法原理：完成一件工作共有 N类方法。在第一类方法中有 m种不同的方 法，在第二类方法中有 m种不同的方法，在第 N类方法中有m种不同的 方法，那么完成这件工作共有 N= m + m+ m+ m种不同方法。运用加法原理计数，关键在于合理分类，不重不漏。要求每一类中的每一 种方法都可以

2、独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同（即分类不重）；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类 （即分类不漏）。合理分类 也是运用加法原理解决问题的难点，不同的问题，分类的标准往往不同，需要 积累一定的解题经验。乘法原理：完成一件工作共需 N个步骤：完成第一个步骤有 m种方法，完 成第二个步骤有m种方法，完成第N个步骤有m种方法，那么，完成这件 工作共有mxm种方法。运用乘法原理计数，关键在于合理分步。完成这件工作的N个步骤，各个步骤之间是相互联系的，任何一步的一种方法都不能完成此工作，必须连续完 成这N步才能完成此工作；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不 同，则对应的完

3、成此工作的方法也不同。这两个基本原理是排列和组合的基础，与教材联系紧密（如四下搭配的规律），教学时要先通过生活中浅显的实例，如购物问题、行程问题、搭配 问题等，帮助孩子理解两个原理，再让孩子学习运用原理解决问题。运用两个原理解决的都是比较复杂的计数问题，在解题时要细心、耐心、有条理地分析问题。计数时要注意区分是分类问题还是分步问题，正确运用两 个原理。灵活机动地分层重复使用或综合运用两个原理，可以巧妙解决很多复 杂的计数问题。小学阶段只学习两个原理的简单应用。奥赛天天练第16讲，巩固训练，习题1【题目】：用1角、2角和5角的三种人民币（每种的张数没有限制）组成 1元钱，有多少种方法？【解析】：

4、运用加法原理，把组成方法分成三大类： 只取一种人民币组成1元，有3种方法：10张1角；5张2角；2张5角。 取两种人民币组成1元，有5种方法：1张5角和5张1角；一张2角和8张1角；2张2角和6张1角；3张2角和4张1角；4张2角和2张1角。 取三种人民币组成1元，有2种方法：1张5角、1张2角和3张1角的;1张5角、2张2角和1张1角的。所以共有组成方法：3+5+2=10 （种）。奥赛天天练第16讲，巩固训练，习题2【题目】：各数位的数字之和是24的三位数共有多少个？【解析】：一个数各个数位上的数字，最大只能是 9, 24可分拆为：24=9+9+7; 24=9+8+7; 24=8+8+&运用

5、加法原理，把组成的三位数分为三大类： 由9、9、8三个数字可组成 3个三位数：998、989、899； 由9、8、7三个数字可组成 6个三位数：987、978、897、879、798、78 9； 由& & 8三个数字可组成1个三位数：888。所以组成三位数共有：3+6+1=10 （个）。奥赛天天练第16讲，拓展提高，习题1【题目】：有一批长度分别为1，2，3，4，5，6，7和8厘米的细木条若干，从中选取适当的3根木条作为三条边可以围成多少个不同的三角形？【解析】：围三角形的依据：三根木条能围成三角形，必须满足任意两边之和大于第三边。要满足这个条件，需要且只需要两条较短边的和大于最长边就可以了。

6、这道题的计数比较复杂，需要分层重复运用加法原理。根据三角形三边长度情况，我们先把围成的三角形分为两大类：第一大类：围成三角形的三根木条，至少有两根木条等长（包括三根等长的）。由题目条件，围成的等腰三角形腰长可以为 1、2、3、4、5、6、7、8厘米，根据三角形腰长，第一大类又可以分为 8小类，三边长依次是：腰长为1的三角形1个：1、1、1。 腰长为2的三角形3个：2、2、1; 2、2、2; 2、2、3。 腰长为 3 的三角形 5 个：3、3、1; 3、3、2; 3、3、3; 3、3、4; 3、3、 5。 腰长为4的三角形7个：4、4、1; 4、4、2;4、4、7。 腰长为5的三角形8个：5、5

7、、1; 5、5、2;5、5、8。同理，腰长为6、7、8厘米的三角形都是8个。第一大类可围成的不同的三角形：1+3+5+7+8X 4=48 （个）。第二大类：围成三角形的三根木条，任意两根木条的长度都不同。根据最长边的长度，我们再把第二大类围成的三角形分为五小类（最长边不可能为是3厘米、2厘米、1厘米）：最长边为8厘米的三角形有9 个,三边长分别为：8、 7、 6; &7、5; 8、7、4; 8、 7、 3;8、7、2; 8、6、5; 8、6、4; 8、6、3; 8、5、4。最长边为7厘米的三角形有6 个,三边长分别为：7、6、5; 7、6、4; 7、6、3; 7、 6、 2;7、5、4; 7、

8、5、3。最长边为6厘米的三角形有4 个,三边长分别为：6、5、4; 6、5、3; 6、5、2; 6、4、3。最长边为5厘米的三角形有2 个,三边长分别为：5、 4、 3; 5、4、2。最长边为4厘米的三角形有1 个,三边长为：4、3、2。第二大类可围成的不同的三角形：9+6+4+2+仁22 （个）。所以，这一题共可以围成不同的三角形：48+22=70 （个）奥赛天天练第16讲，拓展提高，习题2【题目】：一把钥匙只能开一把锁，现在有 10把钥匙和10把锁全部都搞乱了，最多 要试验多少次才能全部配好锁和相应的钥匙？【解析】：要求“最多”多少次配好锁和钥匙，就要从最糟糕的情况开始考虑：第 1 把钥匙

9、要配到锁，最多要试 9次（如果9次配对失败，第10把锁就一定是这把 钥匙，不用再试）；同理，第 2把钥匙最多要试8次；第9把锁最多试1 次，最好一把锁不用试。所以，最多试验次数为：9+8+7+2+1=45 （次）。奥赛天天练第17讲，模仿训练，练习1【题目】：某人到食堂去买饭菜，食堂里有 4种荤菜，3种蔬菜，2种汤。他要各买一 样，共有多少种不同的买法？【解析】：运用乘法原理，把买饭菜分为三步走：第一步：选汤有2种方法。第二步：选荤菜有4种方法。每种选汤方法对应的都有4种选荤菜的方法，汤和荤菜共有2个4种，即8 种不同的搭配方法。第三步：选蔬菜有3种方法。荤菜和汤有8种不同的搭配方法，每种搭配

10、方法，对应的都有3种选蔬菜的方法与其二次搭配，共有8个3种，即24种不同搭配方法。如下图所示：MCABC菜莱菜ABC菜菜菜ABC菓菜菜ABC 菜菜菜 蔬蔬蔬ABC ABC ABC ABC菜菜菜菜菜梵菜菜莱菜菜荣蔬盏观 籬蔬琏affi aa一二一二一/ 一/A B c D菜 菜 菜 菜所以，共有不同的买法：2X4X 3=24（种）。奥赛天天练第17讲，巩固训练，习题2【题目】：用数字0，3，8，9能组成多少个数字不重复的三位数？【解析】：运用乘法原理，把组数过程分为三个步骤：第一步：确定三位数百位上数字，有 3种选法（最高位不能为0）第二步：确定十位上数字，有3种选法。从上面四个数字中确定任意一

11、个不为 0的数字放在百位上，十位上都会剩下三个数字供选择。因此，对应百位上数字的每种选法，十位上数字都有3种不同的选择方法，两个数字共有 3个3种，即9种不同的组成方法。第三步：确定个位上数字，有 2种选法。从上面四个数字中去掉百位和十位上数字任意一种组成，个位上都会剩下2个不同的数字供选择。因此，对应百位和十位上数字的任意一种组成方法，个 位上都有2种不同的选择方法，三个数字共有 9个2种，即18中不同的组成方 法。所以，能组成的不重复的三位数的个数为:3 X 3X 2=18（个）。奥赛天天练第17讲，拓展提高，习题1【题目】：下图中共有16个方格，要把A, B,C,D四个不同的棋子放在方格

12、里，并使 每行每列只能出现一个棋子，问共有多少种不同的放法？【解析】：运用乘法原理，把放棋子的过程分为三个步骤：第一步：放棋子A。棋子A可以任意放，有16种放法。（如下图一）第二步：放棋子B。棋子B不能放在棋子A所在的行或列，对应棋子 A的每一种放法，棋子B都可以放在剩下的9个方格的任意一格里，有9种放法。（如 下图二）第三步：放棋子C。棋子C不能放在棋子A B所在的行或列，对应前面的 每一种放法，棋子C可以放在剩下的4个方格的任意一格里，有4种放法。（如 下图三）第四步：放棋子D。棋子D不能放在棋子A、B、C所在的行或列，对应前面 的每一种放法，棋子D都只有1种放法。（如下图四）所以，四颗棋

13、子共有不同的放法：16X 9X 40=576 （种）奥赛天天练第17讲，拓展提高，习题2【题目】：用4种不同的颜色给下图的这幅地图染色，使相邻的两块颜色不相同，共 有多少种不同的染法？【解析】：这个染色问题比较复杂，需要分层、综合运用加法原理和乘法原理。第一步：给A染色，可以任选一种颜色，有 4种染色方案。第二步：给B染色，有3种染色方案。对应的A的每种染色方案，B都有剩 下的与A不同的3种颜色供选择，A、B配色方案共有4个3种，即12种。第三步：给C染色，有2种染色方案。对应于 A B的每一种配色方案，C 都有剩下的与A B不同2种颜色供选择，A、B、C三块配色方案共有12个2种, 即24种

14、。所以前三步共有不同染法：4X 3X 2=24 （种）。第四步：给D染色，有两种染色方案。由前三步，A B、C三块已染上三种互不相同的颜色，一共有四种颜色， D 可以染与A、B、C各不相同的第四种颜色（简称为色四）； D B不相邻，D也 可以染与B相同的颜色。我们根据D的颜色分为两大类计数：第一大类：给D染色四。如下图，A色、B色和C色为前三步24种配色方案中的任意一种配色方案 的三种不同颜色分配。D染色四，E可以染A色或B色。E染A色，F只能染一种颜色色四（如上左图），这时，G有B色和C色两种颜色可以选择，对于 G的每种选择，H都有对应的2种选择。这种类型共有 不同染法：24X 1X 1X

15、1X2X 2=96 （种）。E染B色，F可以染色四（如上中图），也可以染 A色（如上右图）。分 两小类计数，这种类型共有不同染法：24X 1X 1X 1X2X 2+24X 1 X 1 X 1 X 1 X2=144 （种）。第一大类共有染法：96+144=240 （种）。第二大类：给D染B色。如下图，A色、B色和C色为前三步24种配色方案中的任意一种配色方案 的三种不同颜色分配。D染B色，E有A色或色四两种选择，对应于 D的每一种选择F只有一种选 择、G也只有一种选择、H有2种选择。第二大类共有染法：24X 1 X2X 1X 1 X2=96 （种）。所以，这题共有染法：240+96=336 （种

16、）。奥赛天天练第18讲，模仿训练，练习1【题目】：如下图，一只小甲虫要从 A点出发沿着线段爬到B点，要求任何点和线段 不可重复经过，问这只甲虫有多少种不同的走法？【解析】：把小甲虫要从A点出发沿着线段爬到B点的走法分为两大类：第一类：分两步，最先到达 C点，再到B点。第一步从A到C只有一种走法（不能经过 D点）；第二步从C点到B点有3 种走法。共有走法：1 X 3=3（种）。第二类：分两步，最先到达 D点，再到B点。第一步从A到D有2种走法（不能经过C点）；第二步从D点到B点有3 种走法。共有走法：2 X 3=6（种）。所以，小甲虫共有不同的走法：1X 3+2X 3=9（种）。奥赛天天练第18

17、讲，模仿训练，练习2【题目】：从5幅国画，3幅油画，2幅水彩画中选取两幅不同类型的画布置教室，问有几种不同的选法？【解析】：在三种不同类型的画里选择两种不同类型画有 3种不同的选法，因此先把所有的选法分为三大类：第一类：选1幅国画、1幅油画分两步完成，第一步选1幅国画有5种选法，第二步选油画有3种选法对于前面国画的每一种选法，油画都有 3种选法，共有选法：5X 3=15（种） 第二类：选1幅国画、1幅水彩画。与第一类同理，共有选法：5X 2=10 （种）。第三类：选1幅油画、1幅水彩画。与第一类同理，共有选法：3X 2=6 （种）。所以，共有不同的选法：15+10+6=31 （种）。奥赛天天练

18、第18讲，巩固训练，习题1【题目】：如下图，要从A点沿线段走到B点，要求每一步都是向右、向上或向斜上 方，问有多少种不同的走法？【解析】：如下图，先用字母标出图中的每一个点，沿右上方向从点A到点B可以分为多步走，而每一步的走法又可以分为几类，比较复杂，需要重复综合使用加 法原理和乘法原理。上图中，从右上往左下逐步分析：因为每一步都是向右、向上或向斜上方，因此每个点只能经过它左、下或 左下方的点到达。最后一步到达点B的走法有两类：由I到B或由J到B。A到B的不同走法 种数，就等于A到I的走法种数与A到L的走法种数之和。此前一步，到点I的走法有两类：由F到I或由G到I,走法种数即A到 F的走法种数

19、与A到G的走法种数之和；到点J的走法有三类：分别由I、G 或H到J,走法种数即A到I的走法种数、A到G的走法种数与A到H的走法种 数之和。依次类推从左下到右上标出点A到每个点的走法种数，逐层解题：第一层：从A到C、D E三个点只能向右，都只有1种走法。第二层：到F点有两类走法，分别由A、C到达，每类都只有一种走法，共2种走法；到G点有三类走法，分别由F、C、D到达，三类走法种数之和为4种; 到H点有三类走法，分别由 G D E到达，三类走法种数之和为6种。第三层：到I点有两类走法，分别由F、G到达，两类走法种数之和为6种;到J点有三类走法，分别由I、G H到达，三类走法种数之和为16种最后一步

20、到B点有两类走法，分别由I、J到达，两类走法种数之和为22 种。所以，从A到B共有不同的走法22种。按：类似的复杂路线问题，都可以用这种方法求解。奥赛天天练第18讲，巩固训练，习题2【题目】：如下图，用红、绿、蓝、黄四种颜色涂编号为 1, 2, 3, 4的长方形，使任 何相邻的两个长方形的颜色都不同。一共有多少种不同的涂法？【解析】：涂色的过程可以分为三步。第一步：给1号长方形涂色，有4种涂法。可以选任意一种颜色。第二步：给2号长方形涂色，有3种涂法。对于1号长方形每种不同的涂 法，2号长方形都可以在剩下的3种颜色里选任意一种，即有 3种涂法。所以，前两步1号和2号长方形共有配色方案4个3种：

21、4X 3=12 （种）。 第三步：给3号、4号长方形涂色。3号长方形与1号相邻，与2号不相邻，对于1、2号长方形的每一种配色 方案，3号长方形都可以选与1号不同的3种颜色，按3号长方形的涂色情况， 可把本题的涂法分为两大类：第一大类，3号长方形选与2号相同的颜色。3号长方形只有一种涂法，这时 4号长方形可以选与2号不同的3种颜色， 有3种涂法。第一类共有不同涂法：12X 1X 3=36（种）。第二类，3号长方形选与1、2号都不同的颜色。3号长方形有2种涂法，这时4号长方形可以选剩下的与2号、3号不同的 2种颜色，有2种涂法。第二类共有不同涂法：12X 2X 2=48 （种）。所以，这题一共有不同的涂法：36+48=84 （种）。奥