中考九年级数学学练测101相似图形

1、 12017兰州已知2x3y(y0)，则以下结 论成立的是( ) 小题热身小题热身 A 图图321 C 32017重庆B卷已知ABCDEF，且 相似比为1 2，则ABC与DEF的面积比 是 ( ) A1 4 B.4 1 C.1 2 D.2 1 【解析】 根据相似三角形的面积比等于相似比 的平方可得SABC SDEF1 4，故选A. A 42017杭州如图322，在ABC中，点D ，E分别在边AB，AC上，DEBC，若BD 2AD，则 ( ) 图图322 B 一、必知6 知识点 1相似图形 相似图形：形状相同的图形称为相似图形 相似多边形：对应角_，对应边 _的两个多边形叫做相似多边形，相似 多

2、边形对应边的比叫做_ 相似三角形：对应角_，对应边 _的三角形叫做相似三角形，相似三角 形对应边的比叫_，通常用字母k表示； 全等三角形是相似比为_的特殊的相似三角 形 考点管理考点管理 相等相等 成比例成比例 相等相等 成比例成比例 相似比相似比 1 相似比相似比 2比例线段 adbc 【智慧锦囊】 2 3由平行线截得的比例线段 定理：两条直线被一组平行线(不少于3条)所 截，所得的对应线段_ 4相似三角形的性质 性质：(1)相似三角形的对应角_，对 应边_； (2)相似三角形周长之比等于_； (3)相似三角形的面积之比等于相似比的 _； (4)相似三角形的对应高线的比，对应中线的 比，对应

3、角平分线的比都等于_ 成比例成比例 相等相等成比例成比例 相似比相似比 平方平方 相似比相似比 5相似三角形的判定方法 预备定理：平行于三角形一边的直线和其 他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三 角形与原三角形相似 判定定理1：两个角_的两个三 角形相似 判定定理2：两边对应成比例，且 _的两个三角形相似 判定定理3：三边对应_的两个三 角形相似 对应相等对应相等 夹角相等夹角相等 成比例成比例 【智慧锦囊】 重要结论：直角三角形被斜边上的高线分成的两个直角三角 形与原直角三角形都相似 如图323，在RtABC中，CD是斜边上的高线，则 ABCCBDACD. 图图323 6相似多边形的性质

4、 性质：(1)相似多边形的周长之比等于 _； (2)相似多边形的面积之比等于相似比的 _ 相似比相似比 平方平方 二、必会2 方法 1相似三角形的基本图形 (1)平行线型： 如图324，若CDAB，则有 OCDOAB； 图图324 (2)斜线型： 如图325，若1A，则有 OCDOAB，特别是右图中，当 OCDOAB时，有OC2OAOD； 图图325 (3)旋转型： 如图326，若12，且OD OA OC OB，或12，DA，则有 OCDOBA. 图图326 2分类讨论思想 近几年中考常出现有关相似图形的多解问 题，这类题特征是不给出几何图形，要求分 类讨论解这种问题时要注意不能漏解 平行线分

5、线段成比例定理 图图327 B 图图328 4 22017长春如图329，直线abc，直 线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和 点D，E，F.若AB BC1 2，DE3，则EF 的长为_ 图图329 6 相似三角形的判定 2017杭州如图3210，在锐角三 角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上， AGBC于点G，AFDE于点F，EAF GAC. (1)求证：ADEABC； 图图3210 解解： (1)证明：证明：AGBC，AFDE， AFEAGC90， EAFGAC，AEDC， EADBAC，ADEABC； 图图3211 (1)求证：ADFACG； (1)通过计算，判断AD2

6、与ACCD的大小关系 ； (2)求ABD的度数 图图3212 【点悟】判定两个三角形相似的常规思路：(1)先找两对对应角相等； (2)若只能找到一对对应角相等，则判断相等的角的两夹边是否对应成比例 ；(3)若找不到角相等，就判断三边是否对应成比例；另外还可考虑平行线 分线段成比例定理及相似三角形的“传递性” 相似三角形的 性质 2017湘潭如图3213， 在ABC中，D，E分别是边AB， AC的中点，则SADE SABC _ 图图3213 1 4 12017连云港如图3214，已知 ABCDEF，AB DE1 2，则下列等式 一定成立的是 ( ) 图图3214 D 【解析】 已知ABCDEF且

7、相似比为1 2，A选 项中BC与DF不是对应边；B选项中的A和D是一 对对应角，根据“相似三角形的对应角相等”可得A D；根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方 ”可得两个三角形的面积比是1 4，根据“相似三角形 的周长比等于相似比”可得两个三角形的周长比是 1 2.因此A，B，C 选项错误，D选项正确 2一副三角板叠放位置如图3215，则 AOB与COD的面积之比为_ 图图3215 1 3 【解析】 首先设BCx，根据题意可得ABC DCB90，ABBC，D30，即可求得CD 与AB的长，又可得AOBCOD，又由相似三角形 的面积比等于相似比的平方即可求得AOB与COD 的面积之比 【点悟

8、】相似三角形面积之比等于相似比的平方 相似三角形与圆 2017衢州如图3216，AB为半圆O 的直径，C为BA延长线上一点，CD切半圆O 于点D，连结OD.作BECD于点E，交半圆O 于点F.已知CE12，BE9. 图图3216 (1)求证：求证：CODCBE； (2)求半圆求半圆O的半径的半径r的长的长 【解析】 (1)利用切线的性质可得CDO90，根 据垂直的性质得E90，再加C是公共角，易得 CODCBE； (2)利用勾股定理易求BC15，结合第一问的结论， 利用相似三角形对应边成比例的性质可求圆的半径 解：(1)CD切半圆于点D，OD为 O的半径， CDOD，CDO90，BECD于点E

9、， E90，CDOE90，CC， CODCBE； 12017菏泽如图3217，AB是 O的直径 ，PB与 O相切于点B，连结PA交 O于点C， 连结BC. (1)求证：BACCBP； (2)求证：PB2PCPA； (3)当AC6，CP3时，求sinPAB的值 【解析】 (1)根据题意可知PBAB，ACB 90，依据同角 的余角相等可证BACCBP； (2)BACCBP，PP， PBCPAB， (3)AC6，CP3，依据PB2PCPA可以直接 求出PB的 长，从而在RtAPB中可以直接求出sinPAB的 值 图图3217 解：(1)证明：AB是 O的直径，ACB 90， CABCBA90， PB

10、与 O相切于点B，PBA90， PBCCBA90，BACCBP； 22017德州如图3218，已知RtABC， C90，D为BC的中点以AC为直径的 O交AB于点E. (1)求证：DE是 O的切线； (2)若AE EB1 2，BC6，求AE的长 图图3218 【解析】 (1)连结OE，只需证OEDE，即得DE是 O的切线，再连结CE，利用圆的性质与直角三角形 的性质，易证OEDACD90，从而获得结论 ； (2)根据AE EB1 2，易得BE与BA之比，通过证 明RtBECRtBCA，获得BC，BE，BA间的数量关 系，据此构建方程可求解AE的长 变式跟进变式跟进2答图答图 3如图3219，在

11、ABC中，ABAC，以 AC为直径的 O交AB于点D，交BC于点E. (1)求证：BECE； (2)若BD2，BE3，求AC的长 图图3219 【解析】 (1)如答图，连结AE，根据圆周角定理，由 AC为 O的直径得到AEC90，然后利用等腰三 角形的性质即可得到BECE； (2)连结DE，证明BEDBAC，然后利用相似比 可计算出AB的长，从而得到AC的长 变式跟进变式跟进3答图答图 【点悟点悟】证明线段的积相等的常用方法是把等式转化为比例证明线段的积相等的常用方法是把等式转化为比例 式，然后根据式，然后根据“三点定形三点定形”确定它们所在三角形是否相似，若相确定它们所在三角形是否相似，若相

12、 似，则结论成立；若不相似，再用中间比来似，则结论成立；若不相似，再用中间比来“搭桥搭桥” 相似三角形对应高线的比的应用 2016怀化如图3220，ABC为锐 角三角形，AD是BC边上的高线，正方形 EFGH的一边FG在BC上，顶点E，H分别在AB ，AC上，EH与AD交于点M，已知BC40 cm ，AD30 cm. (1)求证：AEHABC； (2)求这个正方形的边长与面积 图图3220 如图3221，课本中有一道作业题：有一块 三角形余料ABC，它的边BC120 mm，高线 AD80 mm.要把它加工成正方形零件，使正方 形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB， AC上问加工成的正方形零

13、件的边长为多少毫 米？ 小颖解得此题的答案为48 mm.小颖善于反思， 她又提出了如下的问题 (1)如果原题中所要加工的零件是一个矩形， 且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成， 如图，此时，这个矩形零件的两条边长又分 别是多少毫米？ (2)如果原题中所要加工的零件只是一个矩形 ，如图，这样此矩形零件的两条边长就不能 确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个 最大值时矩形零件的两条边的长 图图3221 必明3 易错点 1求两条线段的比时，对这两条线段要用同 一长度单位 2证明两个三角形相似时，要注意将对应顶 点写在对应位置上 3相似多边形的面积比等于相似比的平方， 要注意与周长比的区别 相似三

14、角形易错点扫描 图图3222 【错解】C 【错因错因】运用平行线分线段成比例定理时，容易出现没有按运用平行线分线段成比例定理时，容易出现没有按 “对应对应”来写比例线段的错误来写比例线段的错误 【正解正解】D 【点悟点悟】(1)相似三角形要考虑不同的对应情况，思维全面，相似三角形要考虑不同的对应情况，思维全面， 不能漏解；不能漏解；(2)善于利用平行线构造比例线段，表示相似图形善于利用平行线构造比例线段，表示相似图形 时，要特别注意对应点的正确写法以及对应边与对应角的寻时，要特别注意对应点的正确写法以及对应边与对应角的寻 找，不然很容易因疏忽而出现错误找，不然很容易因疏忽而出现错误 6相似多边

15、形的性质 性质：(1)相似多边形的周长之比等于 _； (2)相似多边形的面积之比等于相似比的 _ 相似比相似比 平方平方 图图328 4 相似三角形的判定 2017杭州如图3210，在锐角三 角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上， AGBC于点G，AFDE于点F，EAF GAC. (1)求证：ADEABC； 图图3210 解解： (1)证明：证明：AGBC，AFDE， AFEAGC90， EAFGAC，AEDC， EADBAC，ADEABC； (1)通过计算，判断AD2与ACCD的大小关系 ； (2)求ABD的度数 图图3212 相似三角形的 性质 2017湘潭如图3213， 在ABC中，