第2章-线性时不变系统

1、第第2章章 线性时不变系统线性时不变系统 Linear Time-Invariant Systems LTI系统的框图结构表示。系统的框图结构表示。 本章主要内容本章主要内容: 信号的时域分解信号的时域分解用用 表示离散时间信号表示离散时间信号; ; 用用 表示连续时间信号。表示连续时间信号。 LTI系统的时域分析系统的时域分析卷积积分与卷积和。卷积积分与卷积和。 LTI系统的微分方程及差分方程表示。系统的微分方程及差分方程表示。 奇异函数。奇异函数。 ( ) t ( )n 2.0 引言引言 ( Introduction ) 基本思想基本思想: :如果能把任意输入信号分解成基本信号如果能把任意

2、输入信号分解成基本信号 的线性组合的线性组合, ,那么只要得到了那么只要得到了LTI系统对基本信号的系统对基本信号的 响应响应, ,就可以利用系统的线性特性就可以利用系统的线性特性, ,将系统对任意输将系统对任意输 入信号产生的响应表示成系统对基本信号的响应的入信号产生的响应表示成系统对基本信号的响应的 线性组合。线性组合。 由于由于LTI系统满足齐次性和可加性系统满足齐次性和可加性, ,并且具有并且具有 时不变性的特点时不变性的特点, ,因而为建立信号与系统分析的因而为建立信号与系统分析的 理论与方法奠定了基础。理论与方法奠定了基础。 问题的实质问题的实质: 1. 研究信号的分解研究信号的分

3、解: :即以什么样的信号作为构成任即以什么样的信号作为构成任 意信号的基本信号单元意信号的基本信号单元, ,如何用基本信号单元的线如何用基本信号单元的线 性组合来构成任意信号性组合来构成任意信号; ; 2. 如何得到如何得到LTI系统对基本单元信号的响应。系统对基本单元信号的响应。 作为基本单元的信号应满足以下要求作为基本单元的信号应满足以下要求: 1. 本身尽可能简单本身尽可能简单, ,并且用它的线性组合能够表示并且用它的线性组合能够表示 （构成）尽可能广泛的其它信号（构成）尽可能广泛的其它信号; ; 2. LTI系统对这种信号的响应易于求得。系统对这种信号的响应易于求得。 如果解决了信号分

4、解的问题如果解决了信号分解的问题,即即:若有若有 ( )( ) ii i x ta x t ( )( ) ii x ty t 则则( )( ) ii i y ta y t 将信号分解可以在时域进行将信号分解可以在时域进行, ,也可以在频域或变换也可以在频域或变换 域进行域进行, ,相应地就产生了对相应地就产生了对LTI系统的时域分析法、系统的时域分析法、 频域分析法和变换域分析法。频域分析法和变换域分析法。 分析方法分析方法: 离散时间信号中离散时间信号中, ,最简单的是最简单的是 , ,可以由它的线可以由它的线 性组合构成性组合构成 , ,即即: : 2.1 离散时间离散时间LTI系统系统:

5、 :卷积和卷积和 ( )n ( )u n 0 ( )( )() n kk u nknk 一一. . 用单位脉冲表示离散时间信号用单位脉冲表示离散时间信号 对任何离散时间信号对任何离散时间信号 , ,如果每次从其中取出如果每次从其中取出 一个点一个点, ,就可以将信号拆开来就可以将信号拆开来, ,每次取出的一个点都每次取出的一个点都 可以表示为不同加权、不同位置的单位脉冲。可以表示为不同加权、不同位置的单位脉冲。 ( )x n （Discrete-Time LTI Systems:The Convolution Sum） 二二. . 卷积和卷积和（Convolution sum） 于是有于是有:

6、( )( ) () k x nx knk 表明表明: :任何信号任何信号 都可以被分解成移位加权的单都可以被分解成移位加权的单 位脉冲信号的线性组合。位脉冲信号的线性组合。 ( )x n 如果一个线性系统对如果一个线性系统对 的响应是的响应是 , , 由线性特性就有系统对任何输入由线性特性就有系统对任何输入 的响应为的响应为: : ()n k( ) k h n ( )x n ( )( )( ) k k y nx k h n 若系统具有时不变性若系统具有时不变性,即即: ( )( )nh n若若 ,则则 ()()nkh nk 因此因此, ,只要得到了只要得到了LTI系统对系统对 的响应的响应(

7、)n( )h n 单位脉冲响应单位脉冲响应( ( impulse response ) ), , 就可以得到就可以得到LTI系统对任何输入信号系统对任何输入信号 的响应的响应: :( )x n ( )( ) ()( )( ) k y nx k h nkx nh n 这表明这表明: :一个一个LTI系统可以完全由它的单位脉冲系统可以完全由它的单位脉冲 响应来表征。这种求得系统响应的运算关系称为响应来表征。这种求得系统响应的运算关系称为卷卷 积和（积和（The convolution sum）。 三三. . 卷积和的计算卷积和的计算 计算方法计算方法: 有图解法、列表法、解析法（包括数值解法）。有

8、图解法、列表法、解析法（包括数值解法）。 运算过程运算过程: 将一个信号将一个信号 不动不动,另一个信号经反转后成另一个信号经反转后成 为为 , ,再随参变量再随参变量 移位。在每个移位。在每个 值的情况值的情况 下下,将将 与与 对应点相乘对应点相乘,再把乘积的各点再把乘积的各点 值累加值累加,即即得到得到 时刻的时刻的 。 ( )x k ()hknn ( )x k()h nk n( )y n 例例1: ( )( ) n x nu n01( )( )h nu n 1 0 ( )( )( ) ( ) ()() ( ) 1 ( ) 1 k kk n n k k y nx nh n x k h n

9、ku nk u k u n 0 1 k ( )( ) k x ku k . 0 1 n k ()()h nku nk 例例2: 104 ( ) 0 n x n otherwise 1,06 ( ) 0 n n h n otherwise 0n6n 0 1 4 ( )x k kk () n k h nk 时时,0n ( )0y n 时时,04n 00 (1)1 1 ( ) 11 11 nn n knk kk nn n y n 时时, 46n 5 4 1 0 41 1 ( ) 1 1 n kn k nn y n 时时,610n 47 4 6 ( ) 1 n n k k n y n 时时,10n (

10、 )0y n 通过图形帮助确定反转移位信号的区间表示通过图形帮助确定反转移位信号的区间表示,对对 于确定卷积和计算的区段及各区段求和的上下限是于确定卷积和计算的区段及各区段求和的上下限是 很有用的。很有用的。 例例3. 列表法列表法 分析卷积和的过程分析卷积和的过程, ,可以发现有如下特点可以发现有如下特点: : 与与 的的所有各点都要遍乘一次所有各点都要遍乘一次; ; ( )x n( )h n 在遍乘后在遍乘后, ,各点相加时各点相加时, ,根据根据 , ( ) () k x k h nk 参与相加的各点都具有参与相加的各点都具有 与与 的宗量之的宗量之 和为和为 的特点。的特点。 ( )x

11、 k()h nk n 1021 1021 2042 0000 3063 1021 1 2 0 3 1 ( )h n( )x n (0)x(1)x(2)x(3)x ( 1)h (0)h (1)h (2)h (3)h ( 1)y (0)y (1)y (2)y (3)y(4)y(5)y(6)y 优点优点: 缺点缺点: 计算非常简单。计算非常简单。 只适用于两个有限长序列的卷积和只适用于两个有限长序列的卷积和; ; 一般情况下一般情况下, ,无法写出无法写出 的封闭表达式。的封闭表达式。( )y n 2021/3/1416 卷积和卷积和:对位相乘法对位相乘法 卷和计算有解析法、图解法和变换法解析法、图

12、解法和变换法 对位乘加法:当两个序列都是有限长序列时都是有限长序列时,可使用 “对位乘加法”计算卷和。此方法实际上是用对 位排列运算巧妙地取代翻转平移运算。 该方法首先把两序列的样本值右端对齐地排两序列的样本值右端对齐地排列,然 后把逐个样本值对应相乘但不要进位把逐个样本值对应相乘但不要进位,最后把同一同一 列上的乘积值对位求和列上的乘积值对位求和,就得到所需卷和。 2021/3/1417 卷积和卷积和:对位相乘法对位相乘法 计算 ,其中 nxnx 21 1 2 21423 3152 x nnnnn xnnnn 521122356:nxnx 31236 1412 520510 513:nx 1

13、412:nx 21 2 1 12 651232 12321455 x nxnnnn nnn 2021/3/1418 对位相乘法需注意的问题 v 卷积后的序列起止点起止点需注意 v上题中两个序列的起始点不同,卷积后起点 为1,不是0。 1 2 12 12 x nnnn xnnn 1 2 12 :111 :11 111 11 0 000 1 :12210 x n xn x nxn 2021/3/1419 对位相乘法需注意的问题 v参与卷积运算的序列中间有若干信号值为中间有若干信号值为 零零,需补零处理 1 2 13 12 x nnnn xnnnn 1 2 12 :111 :111 111 111

14、111 0 0 :1222 0 0 11 x n xn x nxn 2021/3/1420 对位相乘法需注意的问题 v此外,对有限长序列的卷积运算 v可通过z变换求解 v或者将序列表示为两个有限个样值序列移 位加权和形式,直接用卷积的性质求解 2021/3/1421 直接利用有限长序列求解卷积 v 卷积后的序列起止点起止点需注意 1 2 12 12 x nnnn xnnn 12 1212 122334 122234 x nxnnnnnn nnnnnn nnnn 2021/3/1422 利用z变换求解 v 1 2 12 12 x nnnn xnnn 1212 12 122334 12 1 122

15、234 Xz Xzzzzz zzzzzz x nxnnnnn 与离散时间信号分解的思想相一致与离散时间信号分解的思想相一致, ,连续时间信连续时间信 号应该可以分解成一系列移位加权的单位冲激信号号应该可以分解成一系列移位加权的单位冲激信号 的线性组合。至少单位阶跃与单位冲激之间有这种的线性组合。至少单位阶跃与单位冲激之间有这种 关系关系: : 对一般信号对一般信号 , ,可以将其分成很多可以将其分成很多 宽度的区宽度的区 段段, ,用一个阶梯信号用一个阶梯信号 近似表示近似表示 。当。当 时时, 有有 （Continuous-Time LTI Systems:The convolution i

16、ntegral） 0 ( )( )() t u tdtd ( )x t 一一. . 用冲激信号表示连续时间信号用冲激信号表示连续时间信号 ( )x t 0 ( )( )xtx t ( )x t 2.2 连续时间连续时间LTI系统系统: :卷积积分卷积积分 引用引用 , ,即即: :( ) t 1/0 ( ) 0 t t otherwise 则有则有: 10 ( ) 0 t t otherwise ( )x t 0k (1)k t ()x k ( )xt 当当 时时, , 第第 个矩形可表示为个矩形可表示为: : 这些矩形叠加起来就成为阶梯形信号这些矩形叠加起来就成为阶梯形信号 , , 即即:

17、: k()()x ktk ( )xt ( )()() k x tx ktk 0 k ()()tkt d ( )( ) ()x txtd 表明表明: 任何连续时间信号任何连续时间信号 都可以被分解成移位都可以被分解成移位 加权的单位冲激信号的线性组合。加权的单位冲激信号的线性组合。 ( )x t 于是于是: ( )( )x tx t 二二. . 卷积积分卷积积分（The convolution integral） 与离散时间系统的分析类似，如果一个线性系统与离散时间系统的分析类似，如果一个线性系统 对对 的响应为的响应为 ，则该系统对，则该系统对 的响应可的响应可 表示为：表示为： ()t( )

18、h t ( )x t ( )( )( )y txh t d 表明表明: :LTI系统可以完全由它的系统可以完全由它的单位冲激响应单位冲激响应 来表征。这种求得系统响应的运算关系称为来表征。这种求得系统响应的运算关系称为卷积积卷积积 分分（The convolution integral）。 ( )h t ( )( )th t ()()th t( )x t ( )( ) ()( )( )y txh tdx th t 若系统是时不变的若系统是时不变的, ,即即: :若若 , ,则有则有: : 于是系统对任意输入于是系统对任意输入 的响应的响应 可表示为可表示为: : 三三. . 卷积积分的计算卷积

19、积分的计算 卷积积分的计算与卷积和很类似卷积积分的计算与卷积和很类似, ,也有图解法、也有图解法、 解析法和数值解法。解析法和数值解法。 运算过程的实质也是运算过程的实质也是: :参与卷积的两个信号中参与卷积的两个信号中, ,一一 个不动个不动, ,另一个反转后随参变量另一个反转后随参变量 移动。对每一个移动。对每一个 的值的值, ,将将 和和 对应相乘对应相乘, ,再计算相乘后曲再计算相乘后曲 线所包围的面积。线所包围的面积。 通过图形帮助确定积分区间和积分上下限是很有通过图形帮助确定积分区间和积分上下限是很有 用的。用的。 t t( )x()h t 0 ( )( )( )( ) () (

20、) () 1 (1) ( ) a t aat y tx th txh t euu td edeu t a t 0 1 ()u t 0 1 ( )x 例例1: : ( )( ),0 at x teu ta ( )( )h tu t 例例2 : : 10 ( ) 0 tT x t otherwise 02 ( ) 0 ttT h t otherwise ( )( )( )( ) () () ( ) y tx th txh td x thd 0 2T 2T ( )h ()x t 0 1 tTt 当当 时时, ,0t ( )0y t 当当 时时, ,0tT 2 0 1 ( ) 2 t y tdt 当当

21、 时时, ,2TtT 2 1 ( ) 2 t t T y tdTtT 当当 时时, ,23T tT 2 22 1 ( )2() 2 T t T y tdTtT 当当 时时, , 3tT( )0y t 2 1 2 T 2 3 2 T T3T2T 0 t ( )y t 2021/3/14chapter 231 例题: 12 0 0 10 10 10 1 t t t t f tu te u t u tftfd u te d eu t 2021/3/14chapter 232 例例: : 计算 解: tuetue tt 21 * 21 21 21 12 1 21 21 * tute tu ee tue

22、tueththth t tt tt t t t ttt deetu deetutuetue 0 0 121 2121 * 2021/3/14chapter 233 例例: :计算 解: v因果信号与一个有限长信号卷积因果信号与一个有限长信号卷积, ,可利可利 用解析法直接计算用解析法直接计算 11*costtt M i ii M i ii ttfwttwtf 11 * 1cos1cos11*costtttt 2021/3/14chapter 234 例题例题: :计算 11*tututue t 1 0 1 0 11 1*1*11* tt ttt detudetu tutuetutuetutut

23、ue 11 1 1111 tt eu teu t 注意此处的 处理方式 信号与系统352021/3/14 简化方法 v利用卷积性质: (1)(1) 1 *1 ( ) *11 11 1 (1)1 (1) tt t tt e u tu teu t e u tu tu t eu teu t batgfbtg*atf 2021/3/14chapter 236 举例 v已知某线性时不变系统的单位冲激响应和激 励信号分别为: , ,则系统的 零状态响应为? 2t eu t 12u tu t 2 2122 12 11 12 22 zs t tt ytf th t eu tu tu t ee u tu t 2

24、021/3/14chapter 237 卷积计算的图解法卷积计算的图解法 卷积计算的运算步骤卷积计算的运算步骤: v变量更换:把信号的时间变量 更换成 ,得 和 ; v翻转:把信号 翻转成 ; v平移:把翻转后的信号 右移 成 ; v加权积分:把信号 用 加权后,对时间变 量 进行积分,得 。 t e h hh h h t h t e *e th t t 2.3 线性时不变系统的性质线性时不变系统的性质 （ Properties of Linear Time-Invariant Systems） ( )( )( )( ) () () ( )( )( ) k k y nx nh nx k h n

25、k x nk h kh nx n 一一. . 卷积积分与卷积和的性质卷积积分与卷积和的性质 1. 交换律交换律: : ( )( )( )( ) () () ( )( )( ) y tx th txh td x thdh tx t 结论结论: 一个单位冲激响应是一个单位冲激响应是h(t)的的LTI系统对输入信系统对输入信 号号x(t)所产生的响应所产生的响应,与一个单位冲激响应是与一个单位冲激响应是x(t)的的 LTI系统对输入信号系统对输入信号h(t)所产生的响应相同。所产生的响应相同。 ( )x t( )y t ( )h t ( )x n( )y n ( )h n ( )h t( )y t

26、( )x t ( )h n ( )x n ( )y n ( )x n 12 ( )( )h nh n 12 ( )( ) ( )( )y nx nh nh n ( )x t 12 ( )( )h th t 12 ( )( ) ( )( )y tx th th t ( )x n 1( ) h n 2( ) h n 1 ( )( )x nh n 2 ( )( )x nh n ( )y n ( )x t 1( ) h t 2( ) h t ( )y t 2. 分配律分配律: : 1212 1212 ( ) ( )( )( )( )( )( ) ( ) ( )( )( )( )( )( ) x nh

27、nh nx nh nx nh n x th th tx th tx th t 结论结论:两个两个LTI系统并联系统并联, ,其总的单位脉冲其总的单位脉冲( (冲激冲激) )响应响应 等于各子系统单位脉冲等于各子系统单位脉冲( (冲激冲激) )响应之和。响应之和。 3. 结合律结合律: : 1212 1212 ( )( )( )( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( ) x nh nh nx nh nh n x th th tx th th t ( )x t 1( ) h t 2( ) h t 1 ( )( )x th t 12 ( ) ( )( )( )y tx th th

28、t ( )x n 1( ) h n 2( ) h n 12 ( ) ( )( )( )y nx nh nh n 12 ( )( )h th t ( )x t ( )x n 12 ( )( ) ( )( )y tx th th t 12 ( )( ) ( )( )y nx nh nh n 12 ( )( )h nh n 两个两个LTI系统级联时系统级联时, ,系统总的单位冲激系统总的单位冲激( (脉冲脉冲) )响响 应等于各子系统单位冲激应等于各子系统单位冲激( (脉冲脉冲) )响应的卷积。响应的卷积。 由于卷积运算满足交换律由于卷积运算满足交换律,因此因此,系统级联的先后次系统级联的先后次 序

29、可以调换。序可以调换。 结论结论: 1221 1221 ( )( )( )( )( )( ) ( )( )( )( )( )( ) x nh nh nx nh nh n x th th tx th th t ( )x n( )y n 1( ) h n 2 ( )hn ( )x t( )y t 1( ) h t 2 ( )h t ( )x n( )y n 2 ( )h n 1( ) h n ( )x t( )y t 1( ) h t 2 ( )h t 产生以上结论的前提条件产生以上结论的前提条件: 系统必须是系统必须是LTI系统系统; ; 所有涉及到的卷积运算必须收敛。所有涉及到的卷积运算必须收

30、敛。 如如: ( )x t 平方平方乘乘2 2 ( )2( )y tx t ( )x t 乘乘2平方平方 2 ( )4 ( )y tx t 若交换级联次序若交换级联次序,即成为即成为: 又如又如:若若 ,虽虽 然系统然系统都是都是LTI系统。当系统。当 时时, ,如果交换级联如果交换级联 次序次序, ,则由于则由于 不收敛不收敛, ,因而也是不允许的。因而也是不允许的。 12 ( )( )(1),( )( )h nnnh nu n ( )1x n ( )( )x nu n ( )1x n 1( ) h n 2( ) hn 0 ( )0y n 显然与原来是不等价的。因为系统不是显然与原来是不等价

31、的。因为系统不是LTI系统。系统。 4. 卷积运算还有如下性质卷积运算还有如下性质: : 若若 ，则，则( )( )( )x th ty t 000 ()( )( )()()x tth tx th tty tt 卷积积分满足微分、积分及时移特性卷积积分满足微分、积分及时移特性: ( )( )( )x th ty t ( )( )( )( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ttt x th tx th ty t xdh tx thdyd 若若 ，则，则 若若 ，则，则( )( )( )x nh ny n 000 ()( )( )()()x nnh nx nh nny nn 卷积和满足差

32、分、求和及时移特性卷积和满足差分、求和及时移特性: ( )( )( )x nh ny n ( )(1)( )( )(1) ( )( )( ) ( )( ) nnn kkk x nx nh ny ny n x kh nx nh ky k 若若 ，则，则 恰当地利用卷积的性质可以简化卷积的计算恰当地利用卷积的性质可以简化卷积的计算: : 将将 微分一次有微分一次有: :( )x t( )( )()x tttT ( )x t tT 0 (1) ( 1) ( )( )( )( ) ( )() ( )() y tx th th tttT h th tT 例如例如: :2.2 中的例中的例2 根据微分特性

33、有根据微分特性有: : 0 2T 2T t ( )h t T 2T T 2T ( )y t 3T 2T T 0 t 2 1 2 T 2 3 2 T T3T2T0 t ( )y t ( )( ) t y tyd 利用积分特性即可得利用积分特性即可得: : 2021/3/14chapter 249 卷积计算的图解法例题卷积计算的图解法例题 例例: :用图解法计算 ,其中 解:卷积结果如图 tftf 21 * 1 121f tr tr tr t 11 2 ttttf 2021/3/14chapter 250 Matlab求解举例: 1 2 312 4 2 x tu tu t xtu tu t xtx

34、 txt 思考：有哪些方法？ 2021/3/14chapter 251 Matlab求解举例: 00.511.522.533.54 0 0.5 1 t x2(t) exmaple for convolution of continuous time signals 00.511.522.533.54 0 0.5 1 t x1(t) 012345678 0 2 4 t x1(t)*x2(t) 2021/3/14chapter 252 例题例题: : v如图所示系统由四个子系统组成,各子系统 冲激响应分别为积分器 , 单位延迟器 和倒相器 , 求系统冲激响应。 tuth 1 1 2 tth tth

35、 3 2021/3/14chapter 253 例题例题: : 解:根据卷积运算的性质有: 1213 * 1*1 h th thth th t u ttu ttu tu t 2021/3/14chapter 254 卷积的性质汇总卷积的性质汇总 微积分性质微积分性质: : 1)1)微分性质微分性质: :卷积运算与微分运算可交换 ; 2)2)积分性质积分性质: :卷积运算与积分运算可交换 ; 3)3)N N阶导数性质阶导数性质: : 特殊地 dt tdf tftf dt tdf tftf dt d 2 12 1 21 * ttt dftftfdfdff 212121 * tftftftf mnm

36、n 21 )( 21 * t dftftftf 2 121 * 2021/3/14chapter 255 举例 v已知两信号 v求 2 12 2 2 22 tt tt tt t Tt Ttt ftfteu te u tu tu tT eu te u tu tu tT eu te u tttT eeu teeu tT 卷积的微分性质 2 ftu tu tT 2 1 tt fteu te u t 12 ftft 2021/3/14chapter 256 卷积微积分性质使用注意 v卷积微积分性质中,被微分的信号需要满足条 件 v即该信号中不能包含有直流分量,此时不能直 接应用该性质求解卷积,需将直流

37、分量的卷积 分离出来单独计算。 11 t ftfd 2021/3/14chapter 257 举例 v计算卷积: 2 1* t u teu t 222 22 222 0 2 1 1*1*1 2 1 11 2 111 11 222 11 =2 22 ttt t tt t u teu teu teu t eudeu t edeu teu t uteu t 零时刻之后的全响应系统初始条件 2 1* t u teu t 系统单位冲激响应 系统激励（全激励） 2021/3/14chapter 258 举例 v一般的直流信号卷积指数衰减信号为: 0 * t Aeu tA eud A Aed 直流激励 冲激

38、响应 2021/3/14chapter 259 例题例题: : 计算（1） ; tuttue t *1 2 22 22 22 222 22 1*1* 1*1 1*1* ( ) 2( ) (1) ( ) * ( )2( )* ( ) 1 2(1) ( ) (1) ( ) 2 tt tt tt ttt tt eu ttu teu ttu t eu tteu t eu ttu teu ttu t e u tetu te u tu t eu teu t 方法一： 方法二： 两种不同处理方法，但是第一种简便很多。 2021/3/14chapter 260 例题: 计算 2 * tt d teu tet

39、dt 22 22 222 2 * * 2( ) 1 2 tttt tt ttt t dd teu tetteu tet dtdt dd teu ttteu t dtdt eu tteu ttet t eu t 2021/3/14chapter 261 卷积的性质汇总卷积的性质汇总 1)1)信号与延迟冲激信号的卷积等于延迟信号信号与延迟冲激信号的卷积等于延迟信号 2)2)信号与阶跃信号的卷积等于信号积分信号与阶跃信号的卷积等于信号积分 00 *ttftttf 0 1 1 0 0 1 0 * * ttftttf tttfttutf 2021/3/14chapter 262 卷积的性质汇总卷积的性质

40、汇总 3)3)信号与冲激偶的卷积等于信号微分信号与冲激偶的卷积等于信号微分 4)4)信号与冲激的信号与冲激的m m阶导数的卷积等于信号的阶导数的卷积等于信号的m m 阶导数阶导数 0 00 *ttftttftttf 00 *ttftttf mm 2021/3/14chapter 263 例题例题 v计算矩形脉冲 的自卷积。 v解: f tGt 1 * 2222 2 f tf tftftttr tr t r tr tr tr tr tr tr t 2021/3/14chapter 264 例题例题: : v计算矩形脉冲 与指数信号 的卷积。 tuetf t2 2 2 11 1 tututf 11

41、11 1*11* 1212 2 1 2 121 tuetue tuetttftftftf tt t 2021/3/14chapter 265 卷积的应用举例卷积的应用举例 2021/3/14chapter 266 卷积的应用举例卷积的应用举例 2021/3/14chapter 267 卷积的应用举例卷积的应用举例 2021/3/14chapter 268 卷积的应用举例卷积的应用举例 2021/3/14chapter 269 卷积的应用举例卷积的应用举例 2021/3/14chapter 270 卷积的应用举例卷积的应用举例 2021/3/14chapter 271 卷积的应用举例卷积的应用举

42、例 2021/3/14chapter 272 卷积的应用举例卷积的应用举例 2021/3/14chapter 273 卷积的应用举例卷积的应用举例 v加入椒盐噪声的图像空间域去噪,可利用 卷积实现 2021/3/14chapter 274 卷积的应用举例卷积的应用举例 二二. .LTI系统的性质系统的性质 1. 记忆性记忆性: : LTI 系统可以由它的单位冲激系统可以由它的单位冲激/ /脉冲响应来表征脉冲响应来表征, , 因而其特性（记忆性、可逆性、因果性、稳定性）因而其特性（记忆性、可逆性、因果性、稳定性） 都应在其单位冲激都应在其单位冲激/ /脉冲响应中有所体现。脉冲响应中有所体现。 (

43、 )( ) () k y nx k h nk 则在任何时刻则在任何时刻 , , 都只能和都只能和 时刻的输入有关时刻的输入有关, , 和式中只能有和式中只能有 时的一项为非零时的一项为非零, ,因此必须有因此必须有: : 根据根据 , ,如果系统是无记忆的如果系统是无记忆的, , n( )y nn kn ()0,h nkkn即即:( )0,0h nn 所以所以,无记忆系统的单位脉冲无记忆系统的单位脉冲/冲激响应为冲激响应为: ( )( )( )( )h nknh tkt ( )( )( )( )( )( )x nh nkx nx th tkx t 当当 时系统是时系统是恒等系统恒等系统。1k

44、如果如果LTI系统的单位冲激系统的单位冲激/ /脉冲响应不满足上述要脉冲响应不满足上述要 求求, ,则系统是则系统是记忆的记忆的。 2. 可逆性可逆性: : 如果如果LTI系统是可逆的系统是可逆的, ,一定存在一个逆系统一定存在一个逆系统, ,且且 逆系统也是逆系统也是LTI系统系统, ,它们级联起来构成一个恒等系它们级联起来构成一个恒等系 统。统。 此时此时, , ( )x t( )x t ( )h t ( )g t 因此有因此有:( )( )( )( )( )( )h tg tth ng nn 例如例如: :延时器是可逆的延时器是可逆的LTI系统系统, , ,其逆其逆 系统是系统是 , ,

45、显然有显然有: : 0 ( )()h ttt 0 ( )()g ttt 00 ( )( )()()( )h tg tttttt 累加器是可逆的累加器是可逆的LTI系统系统, ,其其 , ,其逆系其逆系 统是统是 , ,显然也有显然也有: : ( )( )h nu n ( )( )(1)g nnn ( )( )( ) ( )(1) ( )(1)( ) h ng nu nnn u nu nn 3. 因果性因果性: : 由由 ，当，当LTI系统是因果系统系统是因果系统 时，在任何时刻时，在任何时刻 ，都只能取决于，都只能取决于 时刻及其时刻及其 以前的输入，即和式中所有以前的输入，即和式中所有 的项

46、都必须为零，的项都必须为零， 即：即： ( )( ) () k y nx k h nk n( )y nn kn ()0,h nkkn ( )0,0h nn 或或: 对连续时间系统有对连续时间系统有: : 这是这是LTI系统具有因果性的充分必要条件系统具有因果性的充分必要条件。 ( )0,0h tt 但差分器是不可逆的。但差分器是不可逆的。 根据稳定性的定义根据稳定性的定义, ,由由 , , 若若 有界有界, ,则则 ; ;若系统稳定若系统稳定, ,则要则要 求求 必有界必有界, ,由由 ( )( ) () k y nh k x nk ( )x n()x nkA ( )y n ( )( ) ()

47、( )()( ) kkk y nh k x nkh kx nkAh k 可知可知,必须有必须有:( ) n h n 对连续时间系统对连续时间系统,相应有相应有: ( )h t dt 这是这是LTI系统稳定的充分必要条件系统稳定的充分必要条件。 4. 稳定性稳定性: : 5. LTI系统的单位阶跃响应系统的单位阶跃响应: : 在工程实际中在工程实际中, ,也常用单位阶跃响应来描述也常用单位阶跃响应来描述LTI系系 统。单位阶跃响应就是系统对统。单位阶跃响应就是系统对 或或 所产生的所产生的 响应。因此有响应。因此有: : ( )u t( )u n ( )( )( )( )( )( )s tu t

48、h ts nu nh n ( )( )( )( ) t d s thdh ts t dt LTI系统的特性也可以用它的单位阶跃响应来描述。系统的特性也可以用它的单位阶跃响应来描述。 ( )( )( )( )(1) n k s nh kh ns ns n 2.4 用微分和差分方程描述的因果用微分和差分方程描述的因果LTI系统系统 00 ( )( ) , kk NM kk kk kk d y td x t ab dtdt 在工程实际中有相当普遍的一类系统在工程实际中有相当普遍的一类系统, ,其数学模型其数学模型 可以用线性常系数微分方程或线性常系数差分方程来可以用线性常系数微分方程或线性常系数差分

49、方程来 描述。分析这类描述。分析这类LTI系统系统, ,就是要求解线性常系数微分就是要求解线性常系数微分 方程方程或差分方程。或差分方程。 一一. .线性常系数微分方程线性常系数微分方程 （Linear Constant-Coefficient Differential Equation） , kk ab 均为常数均为常数 ( Causal LTI Systems Described by Differential and Difference Equations ) 求解该微分方程求解该微分方程,通常是求出通常是求出通解通解 和和一个特一个特 解解 , ,则则 。特解。特解 是与输是与输 入

50、入 同类型的函数同类型的函数, ,通解通解 是齐次方程的解是齐次方程的解, , 即即 的解。的解。欲求得齐次解欲求得齐次解,可根据齐次可根据齐次 方程建立一个特征方程方程建立一个特征方程: 求出其特征根。求出其特征根。 在特征根均为单阶根时在特征根均为单阶根时,可得出齐次解的形式为可得出齐次解的形式为: ( ) p yt ( ) h y t ( )( )( ) ph y tyty t( ) p yt ( )x t ( ) h y t 0 ( ) 0 k N k k k d y t a dt 0 0 N k k k a 1 ( ), k N t hk k y tC e 其中其中 是待定的常数。是

51、待定的常数。 k C 要确定系数要确定系数 , ,需要有一组条件需要有一组条件, ,称为称为附加条件附加条件。 仅仅从确定待定系数仅仅从确定待定系数 的角度来看的角度来看, ,这一组附加条这一组附加条 件可以是任意的件可以是任意的, ,包括附加条件的值以及给出附加条包括附加条件的值以及给出附加条 件的时刻都可以是任意的。件的时刻都可以是任意的。 当微分方程描述的系统是线性系统时当微分方程描述的系统是线性系统时, ,必须满足系必须满足系 统零输入统零输入零输出的特性。也就是系统在没有输入零输出的特性。也就是系统在没有输入, , 即即 时时, , 。此时。此时, ,微分方程就蜕变成齐微分方程就蜕变

52、成齐 次方程次方程, ,因而描述线性系统的微分方程其齐次解必须因而描述线性系统的微分方程其齐次解必须 为零为零, ,这就要求所有的这就要求所有的 都为零。都为零。 k C k C ( )0 x t k C ( )0y t 可以证明可以证明: :当这组当这组零附加条件在信号加入的时刻给零附加条件在信号加入的时刻给 出时出时, ,LCCDE描述的系统不仅是线性的描述的系统不仅是线性的, ,也是因果的也是因果的 和时不和时不变的。变的。 也就是要求确定待定系数所需的一组也就是要求确定待定系数所需的一组附加条件的附加条件的 值必须全部为零值必须全部为零, ,即即: : LCCDE具有一组零附加条件具有

53、一组零附加条件 时时, ,才能描述线性系统。才能描述线性系统。 在信号加入的时刻给出的零附加条件称为在信号加入的时刻给出的零附加条件称为零初始零初始 条件条件。 结论结论: LCCDE具有一组全部为零的初始条件可以描述具有一组全部为零的初始条件可以描述 一个一个LTI因果系统。这组条件是因果系统。这组条件是: : (1) (0)0,(0)0,(0)0 N yyy L L 如果一个因果的如果一个因果的LTI系统由系统由LCCDE描述描述, ,且方程具且方程具 有零初始条件有零初始条件, ,就称该系统就称该系统初始是静止的初始是静止的或或最初是松最初是松 弛的。弛的。 如果如果LCCDE具有一组具

54、有一组不全为零的初始条件不全为零的初始条件, ,则可则可 以证明它所描述的系统是以证明它所描述的系统是增量线性的增量线性的。 2021/3/14chapter 286 系统响应的一般表示系统响应的一般表示 v系统响应的表示式: v系统的响应还可分解为暂态响应暂态响应和稳态响应稳态响应 零状态响应零输入响应 强迫响应 自由响应 n k t zsk n k t zik n k t k tBeAeA tBeAtr kk k 11 1 )( )()( 信号与系统872021/3/14 例题1: v描述某LTI系统的微分方程为: 12 23 12 56 2;02,01 560,2,3 t tt h yt

55、y ty tf t f te u tyy ytC eC e 2 ，求所示条件下的全解： ； 解：对应的齐次解为以下形式： 齐次解为： 2021/3/14chapter 288 例题1: 23 12 23 56 2 , 32,0 t t p t p ttt hp ttt yty ty tf t f te u t ytPe yte y tytytC eC ee y teeet 齐次解 特解 强迫响应 自由响应 微分方程： 当输入为时，特解设为： 则代入微分方程中有：P=1 特解为: 将初始值代入以上方程得到系数，写出全解为： 信号与系统892021/3/14 例题2: v描述某LTI系统的微分方程

56、为: 1,2 2 12 44 2;02,01 440,2 t t h yty ty tf t f te u tyy ytCC t e 2 ，求所示条件下的全解： ； 解：对应的齐次解为以下形式： 齐次解为： 2021/3/14chapter 290 例题2 2 12 2 44 2 , 2 2 2,0 t t p t p tt h tt p yty ty tf t f te u t ytPe yte u t y tytytCC t ee y tette 齐次特解 强迫响应 解 自由响应 微分方程： 当输入为时，特解设为： 则代入微分方程中有：P=2 特解为: 将初始值代入以上方程得到系数，写出全

57、解为： 信号与系统912021/3/14 例题3: v描述某LTI系统的微分方程为: 12 11 12 22 2;02,01 220,1,1 t j tj t h yty ty tf t f te u tyy jj ytC eC e 2 ，求所示条件下的全解： ； 解：对应的齐次解为以下形式： 齐次解为： 2021/3/14chapter 292 例题3: 11 12 11 22 2 2 , 2 2 ( )2,0 2 t t p t p j tj tt hp j tj tt yty ty tf t f te u t ytPe yte y tytytC eC ee y te j et j e 特

58、解 强迫 齐次解 自由响应 响应 微分方程： 当输入为时，特解设为： 则代入微分方程中有：P=2 特解为: 将初始值代入以上方程得到系数，写出全解为： 二二. . 线性常系数差分方程线性常系数差分方程: (Linear Constant-Coefficient Difference Equation) 一般的线性常系数差分方程可表示为一般的线性常系数差分方程可表示为: : 与微分方程一样与微分方程一样, ,它的解法也可以通过求出一个它的解法也可以通过求出一个特特 解解 和通解和通解, ,即齐次解即齐次解 来进行来进行, ,其过程与解微其过程与解微 分方程类似。分方程类似。 00 ()() NM

59、 kk kk a y nkb x nk ( ) p yn( ) h y n 要确定齐次解中的待定常数要确定齐次解中的待定常数, ,也需要有一组也需要有一组附加条附加条 件件。同样地。同样地, ,当当LCCDE具有一组全部为零的初始条具有一组全部为零的初始条 件时件时, ,所描述的系统是线性、因果、时不变的所描述的系统是线性、因果、时不变的。 ( )x n ( 1), ( 2), ()yyyNL L (0)y 对于差分方程对于差分方程,可以将其改写为可以将其改写为: 01 0 1 ( )()() MN kk kk y nb x nka y nk a 可以看出可以看出: :要求出要求出 , ,不仅

60、要知道所有的不仅要知道所有的 , ,还还 要知道要知道 , ,这就是一组这就是一组初始条件初始条件, , 由此可以得出由此可以得出 。进一步。进一步, ,又可以通过又可以通过 和和 , ,求得求得 , ,依次类推可依次类推可 求出所有求出所有 时的解。时的解。 (0)y(0)y ( 1), ( 2), (1)yyyNL L(1)y 0n 若将差分方程改写为若将差分方程改写为: : 则可由则可由 求得求得 , ,进而由进而由 可求得可求得 , ,依次可推出依次可推出 时的解。时的解。 由于这种差分方程可以通过递推求解由于这种差分方程可以通过递推求解, ,因而称为因而称为 递归方程递归方程（rec