7第七讲++区间估计

1、第七章第七章 总体参数估计总体参数估计 population parameter estimation 第一节 参数估计的理解 推断统计 v超越实际数据。 v是一个过程，它能在一定概率水平上，从样 本数据得出与总体参数值有关的结论。 v由两部分构成：估计和假设检验。 v估计包括参数估计和非参数估计。 参数估计 v当在研究中从样本获得一组数据后，如何 通过这组信息，对总体特征进行估计，也 就是如何从局部结果推论总体的情况，称 为总体参数估计。 思 考 v假设你正在研究平均一个人一生中要得到 多少交通罚单。报告研究结果的方法有以 下两种：“10”或者“8到12之间”，请考 虑它们各自的优缺点。 参

2、数估计参数估计，通俗地说，就是根据抽样结果，通俗地说，就是根据抽样结果 来合理地、科学地估计总体的参数很可能是什来合理地、科学地估计总体的参数很可能是什 么？或者在什么范围。么？或者在什么范围。 点估计点估计：根据样本数据算出一个单一的估：根据样本数据算出一个单一的估 计值，用来估计总体的参数值。计值，用来估计总体的参数值。 区间估计区间估计：计算抽样平均误差，指出估计：计算抽样平均误差，指出估计 的可信程度，进而在点估计的基础上，确定总的可信程度，进而在点估计的基础上，确定总 体参数的所在范围或区间。体参数的所在范围或区间。 第二节第二节 总体均值与方差的点估计总体均值与方差的点估计 概括地

3、说： 经常需要对总体进行估计的两个数字特征是： 总体的均值和方差。如果将总体的均值和方 差视为数轴上的两个点，这种估计称为点估 计。如果要求估计总体的均值或方差将落在 某一段数值区间，这种估计称为区间估计。 一、点估计和区间估计一、点估计和区间估计 (point estimation and interval estimation) 1.点估计点估计 点估计：点估计：当总体参数不清楚时，用一个特定值（一 般用样本统计量）对其进行估计，称为点估计。 2区间估计区间估计 区间估计：区间估计：是指用数轴上的一段距离表示未知参数 可能落入的范围。 二、用样本平均数、方差和标准差估计总二、用样本平均数、

4、方差和标准差估计总 体平均数、方差和标准差体平均数、方差和标准差 1. 用样本平均数估计总体平均数用样本平均数估计总体平均数 样本平均数是总体均值的良好估计。 公式： x 2. 用样本方差估计总体方差用样本方差估计总体方差 同理，用样本标准差估计总体标准差 2 2 2 1 1 )( n xxi sn 1 )( 2 1 n xxi sn 3. 一个好的样本统计量估计总体参数的要求一个好的样本统计量估计总体参数的要求 v无偏性 是指如果用多个样本的统计量作为总体参数的 估计值时，有的偏大，有的偏小，而偏差的平 均数为0，这时，这个统计量就是无偏估计量。 v一致性 是指当样本容量无限增大时，估计值应

5、能越来 越接近它所估计的总体参数。 即: 当n时, x, s2n-12。 v有效性 是指当总体参数的无偏估计不止一个 统计量时，无偏估计变异性小者有效性 高，变异大者有效性低。 v充分性 是指一个容量为n的样本统计量，是 否充分地反映了全部n个数据所反映总体 的信息，这就是充分性。 200 110 10 2 1 s n n 2 s 第三节 总体均数的区间估计 gudmund r. iversen说： 一、区间估计的理解 区间估计的任务是，在点估计值的两侧设置一区间估计的任务是，在点估计值的两侧设置一 个区间，使得总体参数被估计到的概率大大增加。个区间，使得总体参数被估计到的概率大大增加。 可靠

6、性和精确性可靠性和精确性(即信度和效度即信度和效度)在区间估计中是相在区间估计中是相 互矛盾的两个方面。互矛盾的两个方面。 1 x x x 1 1 1 xx zxzx 设 为待估参数, 是一给定的数, ( 030）或小样本（n30）时 v（2）当总体已知，总体虽不呈正态分布， 大样本（n30）时，样本平均数可以转换成标 准记分。 1、两种类型、两种类型 如果一个随机变量如果一个随机变量z服从标准正态分布服从标准正态分布 ( =0， 2=1的正态分布的正态分布), 那么那么 p-1.96z1.96=0.95 p-2.58z2.58=0.99 ) 1 (),( 22 n zx n zx 推导推导

7、) 1 , 0(),( 21 n n x xxxg n ),( 2 n nx 由 选取枢轴量 由确定 2 z n x p 2 z ),( 00 22 n zx n zx 解 2 z n x 得 的置信度为 的置信区间为 1 95. 0)96. 196. 1(zp 95. 0)96. 196. 1( n x p 95. 0)96. 196. 1( n x n p 95. 0)96. 196. 1( n x n xp 3、对总体参数进行区间估计的方法： 4、解释、解释 在置信区间x-1.96sex，x+1.96sex内，正 确估计总体均值所在区间的概率为0.95。但 是，做这种区间估计不可能保证完

8、全无误， 估计错误的概率大约为0.05。 5、例题 已知某年某地区高考数学成绩的方差为 100，从该地区随机抽得20名考生的数学成 绩为：65、68、38、56、72、75、47、58、 70、63、67、64、60、69、61、66、55、 76、68、62，试求该地区这一年高考数学 平均分95%和99%的置信区间。 解解：经经计计算算，得得 63 20 626865 n x x 所所以以，总总体体平平均均数数 95%置置信信区区间间为为： 95. 0)38.6762.58( 95. 0) 20 10 96. 163 20 10 96. 163( p p 同理，总体平均数99%置信 区间为：

9、 99. 0)77.6823.57( 99. 0) 20 10 58. 263 20 10 58. 263( p p v答：该地区这一年高考数学平均分95% 和99%的置信区间分别为58.62至67.38分 之间和57.23至68.77分之间。 v由这些计算结果可以看到，置信区间与 可靠度有关，可靠度要求越高，置信区间 就越大，反过来，置信区间越大，则可靠 度就越高，正确估计的把握就越大。 n zx n zx 2/2/ n zx 36 66. 0 1 n x z 1 n 6、课堂练习、课堂练习 例，某弱智儿童学校的学生智力水平低于正常儿童， 假设该校学生的智商分数遵从正态分布，抽查10名 学生

10、的智力水平，测得智商如下: 85 70 90 81 72 75 80 82 76 79 （1）试估计该校学生智商分数的平均值 （2）如果知道该校学生智商分数的方差为25，试找 出该校学生平均智商的置信区间。 课堂练习 v已知总体为正态分布，=7.07，从总体 中随机抽取n1=10和n2=36的两个样本，分 别计算出样本1的平均数为78，样本2的平 均数为79，试问总体参数的0.95和0.99 置信区间。 v思考：两个结果之间有何差异性？ 课堂练习 v某班49人期末考试成绩的平均分为85分， 标准差s=6，假设此项考试能反映学生的 学习水平，试推论该班学生学习的真实成 绩分数。 （四）未知条件下

11、总体平均数的 区间估计 v1.未知条件下总体平均数区间估计 的基本原理 ) 1( nt n s x t 由 ) 1( 2 nt n s x p确定 ) 1( 2 nt 故 的置信区间为 n s ntx n s ntx) 1(,) 1( 22 推导推导 选取枢轴量 ) 2() 1(,) 1( 22 n s ntx n s ntx （1）求标准误）求标准误 计算标准误的公式为： 样本n30则仍 用正态分布。 1 n s sex 平均数标准误的估计量有三种算法：平均数标准误的估计量有三种算法： ) 1 ( x x n n s n s s 1 n s x x ) 1( /)( 22 nn nxx s

12、x （2）利用利用t分布估计总体平均值分布估计总体平均值 的的 置信区间的解题步骤置信区间的解题步骤 条件为：总体为正态分布，xn(,2)，当总体方 差2未知时，求总体平均值的置信区间步骤： v由样本容量为n的随机变量x的值x1，x2， x3，xn求出x，s，自由度df=n-1； v求出sex=s/n-1； v确定显著性水平，查t值分布表，找出临界值； 查表的方法： v首先确定显著性水平和自由度； v然后查附表2，在查表时注意双侧尾值或单 侧尾值 v由于 p t =0.95， 将公式t=（x-)/sex代入上式，得： p （x-)/sex =0.95 整理得： px-sex x+sex=0.9

13、5 分别求出： x-sn-1/ n和x+ sn-1/ n v求出总体平均值的置信区间： x-sex ，x+sex 3课堂练习课堂练习 例1：对某校学生的智商水平进行抽样测查， 共测量了20名学生，所得智商分数如下： 90，92，94，95，97，98，99，101， 101，102，103，104，105，105，106， 110，115，120，88，85。 问该校学生平均智商分数在什么范围内? 给出平均数和标准差： x=xi/n=100.5 s2n-1 =(xi-x) 2/(n-1)=76 v总体平均数95%置信区间为： 总体平均数总体平均数99%置信区间为：置信区间为： 99. 0)(

14、01. 0)(01. 0)( x df x df stxstxp 95. 0)( 05. 0)(05. 0)( x df x df stxstxp 95.0)( 05.0)(05.0)( df x df t s x tp 课堂练习 v某校对高中一年级学生进行英语水平测试， 测试后从中抽取的9个考生的成绩为83、91、 62、50、74、68、70、65、85，试对该年 级考生的该次考试成绩均值作区间估计（取 =0.05） 06.83,94.61 95.0 06.8306.1072 9 79.12 306.2x 94.6106.1072 9 79.12 306.2x ,306.2819 79.1

15、2 72x 805.0 1-ns 置信区间为 时，的置信度为即全体考生均值 则公式可得时，当 分布表，查 ，计算得到，由题目给出的数据可以 ）（ t df t n 1) 1/ ( 2/ t ns x p 11 2/2/ n s tx n s tx t 1 2/ n s tx ) 1( 2/ nt 025. 0 t 24 12 t t v例如：某年高考结束后从某地区随机抽 取20名考生，计算得他们数学的平均分为63， 标准差为8.922，试求该地区这一年高考数学 平均分95%和99%的置信区间。 解：解：总体平均数总体平均数95%95%置信区间为：置信区间为： 95. 0)28.6772.58(

16、 95. 0) 120 922. 8 093. 263 120 922. 8 093. 263( p p 同理，总体平均数同理，总体平均数99%置信区间为：置信区间为： 99. 0)86.6814.57( 99. 0) 120 922. 8 861. 263 120 922. 8 861. 263( p p 答：该地区这一年高考数学平均分答：该地区这一年高考数学平均分95%95%和和99%99%的的 置信区间分别为置信区间分别为58.7258.72至至67.2867.28分之间和分之间和57.1457.14至至 68.8668.86分之间。分之间。 v3.大样本的情况： v首先看抽样分布如何，

17、一般是t分布。 但由t分布的性质可知，当样本容量比较大， 自由度在逐渐增大，这时的t分布已经非常 接近正态分布。这时可把t分布转成标准正 态分布来作处理。然后再作区间估计。这 时临界值就不用查表获得。当显著水平定 为95%时，就可以把1.96直接代入；同理， 99%对应2.58。这时就得到所求估计区间。 s 2 n s zx n s zx 2/2/ 2/ z 100 5.7 n s zx 2/ 1n xs 第四节 标准差与方差的区间估计 标准差与方差的区间估计，与平均 数的估计相同，首先要知道它们的 ，然后才能据此确定置信区间。 一、标准差的区间估计 v当样本容量大于30时，样本标准差的分布

18、渐进正态分布，标准差的平均数为：， 标准差分布的标准差为：/ v有一个随机样本n=31，sn-1=5，问该样本 总体标准差0.95的置信区间。 2n 二、方差的区间估计 v利用卡方分布 2 2 2 1 22 () (1) n xx ns x 2 2 2 2 2 2 2 _ s x x x x n n n ii 利用利用 2分布估计总体方差分布估计总体方差2的置信区间的置信区间 已知：2=（n-1）s2n-1/2，置信度为0.05 在横轴上设2个临界点1和2，使： p1 2 2=0.95， 将上式代入，得： p1 (n-1)s2n-1 /2 2=0.95 两边同除(n-1) s2n-1得： 1/

19、(n-1) s2n-1 1/ 2 2/(n-1) s2n-1 得总体方差总体方差2的置信区间的置信区间： (n-1) s2n-1 /2 2 (n-1) s2n-1 /1 写成： (n-1) s2n-1 /2，(n-1) s2n-1 /1 其中：1为2/2，2为21-/2 (n-1) s2n-1 /2/2，(n-1) s2n-1 /21-/2 课堂练习 v某校高中语文毕业考试中，随机抽取15份，其成绩 如下：75，68，72，89，86，78，91，92，79， 83，88，90，85，77，82.试确定语文成绩的方差 在什么范围？ （5.36，11.54） 54.1136. 569.13369

20、.28 09.133 65. 5 52.5314 1)-n 69.28 12.26 52.5314 1)-n 165. 512.26 975. 0 2 1025. 0 2 05. 0 52.53 2 2 1)-n 2 1 2 2 1)-n 2 2 2 14975. 0 2 14025. 0 2 2 1 s s ，即 （ （ 得，故由公式， 分布表得，查，故且 得：由所给的数据可以计算 （ （ ）（）（ sn ) 1( 2 2 2 n ns )()( 2 2/1 2 2 2 2/ 2 k ns k ns 1 2 ) 1 2 2/1 n（ ) 1 2 2/ n（ )9( 2 95. 0 )9( 2

21、 05. 0 919.16 200102 325. 3 20010 课堂练习课堂练习 例：根据30名被试的视反应时的实验结果， 计算出视反应时的方差为900毫秒，试 估计当置信度为0.05时，总体方差的置 信区间。 三、三、f分布与二总体方差之比的区间估计分布与二总体方差之比的区间估计 （一）利用（一）利用f分布估计二总体方差之比的置信区间公分布估计二总体方差之比的置信区间公 式式 由f分布知：f=s2n1-1/s2n2-1，服从f分布，且 df1=n1-1，df2=n2-1。 又知样本方差s2是总体方差的无偏估计，其之比 s2n1-1/s2n2-1是围绕总体方差之比12/22上下波动， 故二

22、总体方差12=22 二个样本的总体方差相等的区间估计则用下式： 12/22=1 而不用 12-22=0 由于f分布不是对称分布，若f分布右侧一端的 概率为： f=s2n1-1/s2n2-1， 则另一侧的概率可用： f=1/f= s2n2-1/s2n1-1 11222 2 1 2 1 2/ 2 2 2 1 2 1 2 1 2/ 2 1 2 1 1 n n n n s s f s s f 212=22 2 1 2 1 2/ 2 1 2 1 2/ 2 1 2 1 1 1 n n n n s s f s s f 二、课堂练习二、课堂练习 例：8名男女生在某项心理实验中所得测量结果 的方差分别为1.12

23、和4.98。问男女生测量值 的总体方差是否相等。 样本统计量估计总体参数小结： 1.点估计 用样本平均数、方差和标准差估计总体平均数、方差和用样本平均数、方差和标准差估计总体平均数、方差和 标准差标准差 公式： x 2 2 2 1 1 )( n xxi sn 1 )( 2 1 n xxi s n 2. 区间估计 （1）样本平均数对总体平均数的区间估计）样本平均数对总体平均数的区间估计 a。总体方差总体方差 2已知，对总体平均数的估计已知，对总体平均数的估计 标准误： sex=/n z值： z=（x- ）/sex 求解总体平均值估计的公式： px-1.96sexx+1.96sex=0.95 b。

24、总体方差总体方差 2未知时，对总体平均数的估计未知时，对总体平均数的估计 求标准误公式： 求总体平均值的置信区间： x-sex ，x+sex 其中，查t分布表得出临界值 1 n s se x （2）利用利用 2分布估计总体方差分布估计总体方差2的置信区间的置信区间 a。样本方差已知 得总体方差总体方差2的置信区间的置信区间： (n-1)s2/2 2 (n-1)s2/1 写成： (n-1)s2/2，(n-1)s2/1 其中： 1为2/2，2为21-/2 b。样本方差未知样本方差未知 总体方差总体方差2的置信区间的置信区间： （xi-x）2/2，（xi-x）2/1 其中： 1= 21-/2 ， 2

25、= 2/2 （3）利用）利用f分布估计二总体方差之比的置信区间分布估计二总体方差之比的置信区间 a。1222 b。12=22 2 1 2 1 2/ 2 2 2 1 2 1 2 1 2/ 2 1 2 1 1 n n n n s s f s s f 2 1 2 1 2/ 2 1 2 1 2/ 2 1 2 1 1 1 n n n n s s f s s f 7.3 7.3 区间估计区间估计 引例引例 已知 x n ( ,1), 不同样本算得的 的估计值不同， 因此除了给出 的点估计外, 还希望根据 所给的样本确定一个随机区间, 使其包含 参数真值的概率达到指定的要求. 的无偏、有效点估计为x 随机变量常数 如引例中，要找一个区间,使其包含 的 真值的概率为0.95. ( 设 n = 5 ) 5 1 ,nx 1, 0 5 1 n x 取 05. 0 查表得96. 1 2/ z 这说明 即 称随机区间 为未知参数 的置信度为0.95的置信区间. 95. 0 5 1 96. 1 5 1 96. 1 xxp 05. 096. 1 5