第4章平面向量数系的扩充与复数的引入第4节数系的扩充与复数的引入教学案含解析理20190627333

1、天幕第四节 数系的扩充与复数的引入考纲传真1.理解复数的概念，理解复数相等的充要条件 2 了解复数的代数表示法及其几何意义3能进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体复数相加、减的几何意义.课刖知识全通关第-3 -页共8页天幕公众号“品数学”，一个提供数学解题研究，并且提供资料下载的公众号!I几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.如图给出的平行四1 .复数的有关概念(1) 复数的概念：形如 a+ bi( a, b R)的数叫复数，其中 a叫做复数z的实部，b叫做复 数z的虚部(i为虚数单位).分类:满足条件(a, b为实数)复数的分类a+ bi为实数？ b= 0a+ bi为

2、虚数？ b0a+ bi为纯虚数？ a= 0且b0 复数相等：a+ bi = c+ di ? a= c, b= d(a, b, c, d R). 共轭复数：a+ bi 与 c+di 共轭? a= c, b= d(a, b, c, d R).复数的模：向量OZ勺模叫做复数z = a+ bi的模，记作| z|或| a+ bi|，即| z| = | a+ bi|=Ja g 土可乙佃丘。土土 &片仙土旳i + b2(a, b R).2 .复数的几何意义复数 z = a + bi对应复平面内的点 Z(a , b)对应平面向量OZ= (a, b).3 .复数的运算(1)运算法则：设 Z1= a+ bi ,

3、Z2= c + di , a, b, c, d R边形0ZZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即ff f foz= oz+ oz , Z1Z2=oz二OZ常用结论(1 i) 2= 2i ,斗=i ,1 i =i.1 + ib+ ai = i( a+ bi).4n4n+14n+ 24n+ 3*4n 4n + 14n + 24n+ 3；、i = 1, i = i , i = 1, i = i(n N) ; i + i + i + i = 0(n N).22Z1| Z1|n4. z z = |z| = | z | , |Z1 Z2| = |Z1| ! Z2| ,z；=芮，|z | = |z|

4、基础自测1. (思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“V”，错误的打“X”)(1) 复数 z= a+ bi( a, b R)中，虚部为 bi.()(2) 复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.()实轴上的点表示实数，虚轴上的点都表示纯虚数.()也就是复数对应的向量的(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离,模.()答案 X (2) X (3) X(4) VD. D2. (教材改编)如图所示，在复平面内，点 A表示复数z,则图中表示z的共轭复数的点A. AC. CB 共轭复数对应的点关于实轴对称.3. (教材改编)设m R,复数z = ml 1 + (m+ 1)i表示

5、纯虚数，则m的值为()A. 1B. 1C. 土 1D. 0m1=0A 由题意得，解得m= 1，故选A.m+ 1工04 .复数 12+7 =()2 i第-2 -页共8页天幕公众号“品数学”，一个提供数学解题研究，并且提供资料下载的公众号!A. iB. 1+iC. iD. 1 i1 + 2i 1+ 2i 2 + i 5iA = = i 2 i 2 i 2+ i 55. (教材改编)设 x, y R,若(x+ y) + (y 1)i =(2x+ 3y) + (2 y + 1)i ,则复数 z = x+ yi在复平面上对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限x+ y = 2x+

6、 3y,x = 4,D 由题意知解得y 1 = 2y+ 1,y = 2.则复数z = 4 2i在复平面上对应的点位于第四象限，故选D.课堂题型全突破考点全面*方法简洁|题型1|复数的有关概念A.A.C.（2018 全国卷I ）设0 B.1 iz=荷+2i =z=辛 + 2i，则 |z| =()C. 11 i1+1厂+ 2i = i，所以 |z| = 1.（2018 浙江高考）复数/L（i为虚数单位）的共轭复数是（）1 iB. 1 iD. 1 i221+ i1T = 1 iiTi= 1 + i，2所以复数的共轭复数为1 i，故选B.1 ia i3. （2017 天津高考）已知a R, i为虚数单

7、位，若 为实数，则a的值为a i2 + i2a 1 a+ 2 i52a 15a+ 25i为实数,a+ 25=0， a= 2.天幕1复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关， 所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a+ bi a, b R的形式，再根据题意列出实部、虚部满足的方程组 即可2求复数模的常规思路是利用复数的有关运算先求出复数z,然后利用复数模的定义求解|邈型2|复数的运算?考法1复数的乘法【例1】(1)(2018全国卷川)(1 + i)(2 i)=()A. 3 iB. 3 + iC. 3 iD. 3 + i(2016 全国卷I

8、)设(1 + 2i)( a+ i)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a=（）A. 3B.2C. 2D.3若a为实数，且(2 + ai)( a 2i)=-4i，贝U a=()A. 1B.0C. 1D.2(1)D (2)A (3) B(1)(1 + i)(2 i)=2 i + 2i i = 3+ i.故选 D.(1 + 2i)( a+ i) = a 2 + (1 + 2a)i，由题意知 a 2= 1 + 2a,解得 a= 3,故选 A. 因为(2 + ai)( a 2i) = 4i ,所以 4a+ (a2 4)i = 4i.4a= 0,所以2解得a= 0.故选B.a 4= 4.6+ 7i(1)4

9、i (2) 2(1) 1+2?=6 + 7i 1 2i1 + 2i 1 2i6+ 14+ 7i 12i5=4 i.?考法2复数的除法运算【例2】（1）（2018 天津咼考）i是虚数单位，复数|2一 =.(2018江苏咼考）若复数z满足i z= 1 + 2i，其中i是虚数单位，则z的实部为1+ 2i 1 + 2i i Z = 丁 = 2 - i故z的实部为2.?考法3复数的综合运算1 z【例3】（1）（2019 太原模拟）设复数z满足= i，则z的共轭复数为（）A. i BiC. 2iD. 2iz(2)(2016全国卷川)若z= 4 + 3i，则门=()A. 1B. 14 3.C. + i5 5

10、4 3. D. i5 5若复数z满足2 z + z = 3 2i，其中i为虚数单位，则z等于()A. 1 + 2iB. 1 2iC. 1 + 2iD. 1 2i1 z(1)A (2)D (3)B 由 = i 得 1 z= i + zi.1 i即(1 + i) z = 1 i，贝U z= 1 + i = i ,因此z = i，故选A. z= 4 + 3i , 7 = 4 3i , | z| = .;42 + 32= 5, 设 z= a+ bi( a, b R)，贝U z = a bi，所以 2(a+ bi) + ( a bi) = 3 2i，整理得 3a3a= 3,a= 1,+ bi = 3 2

11、i，所以解得b= 2,b= 2,所以z = 1 2i，故选B.规律方法复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略1复数的乘法.复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可2复数的除法.除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题时要注意把i的幕写成最简形式3复数的运算与复数概念的综合题 .先利用复数的运算法则化简， 一般化为a+ bi a, b R的形式，再结合相关定义解答 .跟憩圾习(1)(2019 合肥模拟)已知i为虚数单位，则 一234=()2 iA. 5B. 5i712C 7 F712D 5+F则 z =()A. i B

12、. i 1C. i 1D. i(3) (2019 南昌模拟)设z的共轭复数是 z，若z + z = 2, z2= 2i，则z =()1 11 1B2+ 2iC. 1 + iD. 1 i、亠2+ i 3 4i 10 5i (1)A (2)C (3)D (1)法一：=5，故选 A.2 i2 i22 + i3 4i2+ i 3 4i3 + 4i 3 4i法一：右=2 =5=5，故选 A.(2019 惠州模拟)已知复数z的共轭复数为 z，若z (1 i) = 2i(i为虚数单位)，第-7 -页共8页天幕公众号“品数学”，一个提供数学解题研究，并且提供资料下载的公众号！(2)由已知可得7 2i2i 1+

13、 i1 i 1 i 1 + i =- 1 2 + i，则 z = - 1-i，故选 C.(3)对四个选项逐一验证可知，当z= 1 i时，符合题意，故选D.复数的几何意义【例4】(1)(2018北京高考)在复平面内，复数1y的共轭复数对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限(2019 郑州模拟)若复数(1 i)( a+ i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是()A. ( s, 1)B.(m, 1)C. (1 ,+s)D.(1，+s(1)D (2)B (1)1 + i1+ii，在复平面内对应的点为1，位于第四象限，故选D.(2)复数(1 i)( a+ i)

14、= a+ 1 + (1 a)i，其在复平面内对应的点(a+ 1,1 a)在第二象a+ 1 v 0，限，故1 a0，解得av- + i 11111=-+耳，所以l的共轭复数为-，故选B.规律方法与复数几何意义相关的问题的一般解法第一步，进行简单的复数运算，将复数化为标准的代数形式；第二步，把复数问题转化为复平面的点之间的关系，依据是复数a+ bi与复平面上的点a， b 一一对应.2眼建塚习(1)(2019 广州模拟)设z = 1+ i(i是虚数单位)，则复数-+ z2在复平面内对应的点位于()天幕A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限5i(2)在复平面内与复数z=所对应的点关于虚轴对称

15、的点为A,则A对应的复数为1 + 2i()A. 1 + 2iB. 1 2iC. 2+ iD. 2 + i222221 i(1)A (2)C (1)因为 z= 1 +i，所以z+z=审 +(1 +i)二+1 +2i + i21 i2-卜2i = 1 + i ,所以该复数在复平面内对应的点的坐标为(1,1),位于第一象第-9 -页共8页天幕公众号“品数学”，一个提供数学解题研究，并且提供资料下载的公众号!限，故选A.(2)依题意得，复数 z =1 +1-；= i(1 2i) = 2 + i，其对应的点的坐标是1 + 2i1 2i(2,1)，因此点A 2,1)对应的复数为一2 + i.真题自主验数近

16、年着遵感捂规律1 . (2017 全国卷I )下列各式的运算结果为纯虚数的是()2 2A. i(1 + i)B. i (1 i)又 x, y R,.x = 1, y = x = 1.lx + yi| = |1 + i| = 2，故选 B.4. (2015 全国卷I )已知复数 z满足(z 1)i = 1 + i，贝U z =()A. 2 iB. 2 + iC. 2 iD. 2 + ii + 1C v(z 1)i = i +1,. z 1 = = 1 i , z= 2 i，故选 C.自我感悟：2221 i222C. (1 + i)D. i(1 + i)C A项，i(1 + i) 2= i(1 + 2i + i 2) = i x2i = 2，不是纯虚数.B项，i2(1 i) = (1 i) = 1+ i，不是纯虚数.C项，(1 + i) 2= 1+ 2i + i 2= 2i，是纯虚数.D项，i(1 + i) = i + i 2= 1