八年级上112与三角形有关的角74

1、 新乡为知教育 八年级上11.2与三角形有关的角 【重难点分析】 重点：三角形的内角和定理,三角形的外角性质 【教学过程】 知识点1： 三角形的内角和定理 1、掌握三角形内角和定理的证明。 2、初步体会添加辅助线证题，培养观察、猜想和论证的能力。 3、经历探索三角形内角和定理的过程，初步体会思维的多样性，渗透化归的数学思想。 4、培养逻辑思维能力，进而激发求知欲和学习的积极主动性。 考点1.1：三角形的内角和定理的应用 重要程度：一般 中考频率：选考 【精选例题】 例题1 ( )若三角形三个内角度数的比为123，则这个三角形的最小角是 A .30 B .45 C .60 D .90 答案 A

2、试题分析： 设这三个内角分别为x，2x，3x，根据三角形的内角和为180，列方程求出角的度数即可。解：设这三个内角分别为x，2x，3x， 由题意得，x+2x+3x=180， 解得：x=30， 即最小角为30， 故选：A 1/31页第 教案 新乡为知教育 例题2 如图，在ABC中，B=67，C=33，ABC的角平分线，则ADB的度数为（ ） 85DC7345A40B 答案 C 的度数，再根据角平分线的性质得出试题分析：先根据三角形内角和定理求出BAC的度数，由三角形内角和定理即可得出结论BAD 中，B=67，C=33，试题解析：在ABC 33=80，67-BAC=180- 的角平分线，AD是AB

3、C 80=40，BAD=BAC= 40=73-67ADB=180-B-BAD=180- C故选 3例题 ，ABC=42，A=60，相交与点FBE如图，在ABC中，B、C的平分线，CD则BFC=( ) A .118 B .119 2/31页第 教案 新乡为知教育 C .120 D .121 答案 C 试题分析： 由ABC=42，A=60，根据三角形内角和等于180，可得ACB的度数，又因为ABC、ACB的平分线分别为BE、CD，所以可以求得FBC和FCB的度数，从而求得BFC的度数。 解：ABC=42，A=60，ABC+A+ACB=180 ACB=180-42-60=78 又ABC、ACB的平分

4、线分别为BE、CD ACB39FBC=ABC21，FCB= 又FBC+FCB+BFC=180 39=120-BFC=180-21 C故选： 4例题 ，若AOB=110，则BO相交于点O如图，ABC两内角的平分线AO、C=_. 答案 40 试题分析： 的值，再利用三角形的根据角平分线的定义和三角形的内角和定理求出CAB+CBA的值内角和定理求出C 分别平分CAB、ABC，CAB=2OAB，CBA=2OBA，解：AO、BO （180AOB）=140，=2CAB+CBA=2（OAB+OBA） 中，C=180140=40在ABC 故答案为：40 3/31页第 教案 新乡为知教育 例题5 如图，已知1=

5、20，2=25，A=55，则BOC的度数是_ 答案 100 :试题分析 利用了三角形中一个外角等于与它不相邻的两个内角和求解。 于点DAO解：如图，延长交BC 根据三角形中一个外角等于与它不相邻的两个内角和知 BOD=1+BAO，DOC=2+OAC， BAO+CAO=BAC，BOD+COD=BOC， BOC=1+2+BAC=20+25+55=100 故答案为：100 6例题 4/31页第 教案 新乡为知教育 如图，在ABC中，A=60，DEBC且BD平分ABC，CD平分ACB，EDB=20，求ABC和ACB的度数 答案 平分ABC，于是得到试题分析：根据平行线的性质得到1=EDB=20，由于B

6、DABC=21=40，然后根据三角形的内角和即可得到结论 DEBC，试题解析： 1=EDB=20， 平分ABC，BD ABC=21=40， A=60， ACB=80 【随堂练习】 1练习 的度是平面上的F6个点，则A+B+C+D+E+F，如图，A，BC，DE，( )数是 A .180 B .360 C .540 5/31页第 教案 新乡为知教育 D .720 答案 B 试题分析： 先根据三角形外角的性质得出A+B=1，E+F=2，C+D=3，再根据三角形的外角和是360进行解答。 解：1是ABG的外角， 1=A+B， 2是EFH的外角， 2=E+F， 3是CDI的外角， 3=C+D， 1、3、

7、3是GIH的外角， 1+2+3=360， A+B+C+D+E+F=360 故选：B. 2练习 是斜边上的高，DEAC，DFAB，垂足中，ACAB，ABCAD如图，在直角三角形( )，则图中与C（C除外）相等的角的个数是分别为E、F 个A .3 个B .4 个C .5 6/31页第 教案 新乡为知教育 D .6个 答案 A 试题分析： 由“直角三角形的两锐角互余”，结合题目条件，得C=BDF=BAD=ADE 解：AD是斜边BC上的高，DEAC，DFAB， C+B=90，BDF+B=90，BAD+B=90， C=BDF=BAD， DAC+C=90，DAC+ADE=90， C=ADE， 图中与C（除

8、之C外）相等的角的个数是3， 故选：A 练习3 三角形一边上的高与另两边的夹角分别为62和28，则这边所对的角的度数为_或_. 答案 90，34 试题分析： 此题要分类讨论：当三角形一边上的高在这个三角形的内部时，则这边所对的角的度数为：62+28=90，当三角形一边上的高在这个三角形的外部时，则这边所对的角的度数为：62-28=34，于是得到是两种情况。 解：当三角形一边上的高在这个三角形的内部时，则这边所对的角的度数为：62+28=90，当三角形一边上的高在这个三角形的外部时，则这边所对的角的度数为：62-28=34； 故这边所对的角的度数为：90或34； 故答案为：90或34. 练习4

9、已知ABC中，B=2A ，C-A=20则A等于( ) A .90 7/31页第 教案 新乡为知教育 B .80 C .60 D .40 答案 D 试题分析： 设A=x，则C=x+20，B=2x，根据A+B+C=180得出方程x+20+x+2x=180，求出方程的解即可。 解：在ABC中，B=2A，C-A=20，设A=x，则C=x+20，B=2x， A+B+C=180， x+20+x+2x=180， 解得：x=40 则A=40 故选：D. 练习5 如图，四边形ABCD中，点M、N分别在AB、BC上，将BMN沿MN翻折，得FMN，若MFAD，FNDC，则B= _ 答案 试题分析：根据两直线平行，同

10、位角相等求出BMF、BNF，再根据翻折的性质求出和BNM，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解BMN 试题解析：MFAD，FNDC， BMF=A=100，BNF=C=70， 翻折得FMN，沿BMNMN 100=50，BMN=BMF= 70=35，BNM=BNF= 85=95（50+35）=180-在BMN中，B=180（BMN+BNM）=180 8/31页第 教案 新乡为知教育 故答案为：95 考点1.2：根据内角和定理判断三角形形状 重要程度：一般 中考频率：选考 【精选例题】 例题7 C；AB在下列条件A+B=C；A=B=2C；A=B=） 为直角三角形的条件有 （C=123中，能确定

11、ABC B3个C4个D5A2个个 答案 B 的关系，分别求出各试题分析：根据三角形内角和定理和四个条件中A、B、C条件下三角形中最大的角，然后根据三角形的分类进行判断 试题解析：A+B+C=180， A+B=C， C+C=180，解得C=90， 为直角三角形，所以正确；ABC A+B+C=180，A=B=2C， A=180，A+A+ A=72， 为锐角三角形，所以错误；ABC C，A+B+C=180，A=B= C+C=180，C+ A=90， 为直角三角形，所以正确；ABC ，2：3A：B：C=1： 设A=x，B=2x，C=3x， A+B+C=180， x=30x+2x+3x=180，解得 C

12、=90， 为直角三角形，所以正确ABC B故选 9/31页第 教案 新乡为知教育 例题8 在ABC中，B-A=50，B是A的3.5倍，则ABC是（ ） A锐角三角形B钝角三角形C直角三角形D无法确定 答案 C 的试题分析：设A=x，则B=3.5x，利用已知条件列出方程3.5x-x=50，由此求得x的度数，从而推知该三角形的形状值；再由三角形内角和是180度求得C 试题解析：设A=x，则B=3.5x， x=50，所以3.5x- x=20，解得 所以A=20，B=70， 70=90，-20所以C=180- 是直角三角形所以ABC C故选： 【随堂练习】 练习6 若一个三角形三个内角度数的比为117

13、3，那么这个三角形是( ) A .直角三角形 B .锐角三角形 C .等边三角形 D .钝角三角形 答案 D 试题分析： 首先根据三角形三个内角度数的比为11：7：3，设三个内角度数分别为11x，7x，3x，再根据三角形内角和为180可得方程11x+7x+3x=180，算出x，再分别算出角的度数即可。 解：三角形三个内角度数的比为11：7：3， 设三个内角度数分别为11x，7x，3x，由题意得： 10/31页第 教案 新乡为知教育 11x+7x+3x=180， ，x=解得： ，11= 是钝角三角形， 故选：D 7练习 是钝角三角形，则上一个动点，要使APO如图，已知O=20，点P是射线OBAP

14、O的取值范围为_ 答案 是锐角和钝角两种情况讨论求解试题分析：分APO 是锐角，则A90，试题解析：若APO O=20， 20=70，-90 APO70， 0APO70； 是钝角，O=20，若APO 20=160，180- 90APO160； 90APO160故答案为：0APO70或 ：利用内角和定理解决实际问题1.3考点 中考频率：选考重要程度：一般 【精选例题】 9例题 11/31页第 教案 新乡为知教育 如图，在一次夏令营活动中，小明从营地A到C地去，先沿北偏东70方向到达B地，再沿北偏西20方向到达C地，此时ACB=60，问小明在营地A的（ ） 30方向上北偏东北偏东20方向上BA 4

15、0方向上C北偏西30方向上北偏东D 答案 D 的度试题分析：由题意可知，NAB，CBE，根据两直线平行同旁内角互补求ABC的度数的度数，可得出NAC数，再结合ACB=60，根据三角形的内角和求CAB 由题意可知，NAB=70，CBE=20，NABE，试题解析： CBE=90-ABC=180-NAB ACB=60， 60=30，-CAB=180-90 30=40，-CAB=70-NAC=NAB 故选D 10例题 的30，在M的走向是南偏东表示某引水工程的一段设计路线，从如图，MNM到N75，测得BBA方向为南偏东上取一点，某测量员在60方向上有一点南偏东AMN 12/31页第 教案 新乡为知教育

16、 那么从A点观测M、B两处时的视角MAB是多少度？ 答案 试题分析：根据方向角得到1，再求出AMB，根据两直线平行，同位角相等可得2=1，然后求出ABN，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解 30，的走向是南偏东到试题解析：如图，从MN 1=30， 2=1=30 ，AM的南偏东60方向上有一点在 30=30，AMB=60- 75，BA方向为南偏东 2=75=45，ABN=75- 30=15AMB=45-MAB=ABN- 11例题 之间来回反射，这时光线的入射AB和CD照射到平面境光线aCD上，然后在平面镜角等于反射角，即1=6，5=3，2=4，若已知1=55，3=

17、75，那么） 2等于（ 13/31页第 教案 新乡为知教育 A50B55C66D65 答案 D 试题分析：由入射角等于反射角可得6=1=55，5=3=75，那么利用三角形的内角和定理和平角定义可得2+4=5+6，所以5+6除以2即为2的度数 试题解析：6=1=55，5=3=75， 2=（55+75）2=65， 故选D 例题12 一个大型模板如图，设计要求BA和CD相交成30角，DA和CB相交成20角，怎样通过测量A、B、C、D的度数来检查模板是否合格 答案 试题分析：构造三角形，利用三角形内角和定理判断即可 利用三角形内角和定理，如图，试题解析： ，F相交于E，延长DA、CB、延长BACD交于

18、 BEC=30， EBC+C=150， 30角，与CD相交成BA 同理，只要量得C+CDA=160， 20角相交成那么DA与CB 14/31页第 教案 新乡为知教育 【随堂练习】 练习8 折叠三角形纸片ABC，使点A落在BC边上的点F，且折痕DEBC，若A=75，C=60，则BDF的度数为 _ 答案 试题分析：根据三角形的内角和定理求出B，再根据两直线平行，同位角相等ADE，根据翻折变换的性质可得EDF=ADE，然后根据平角的定义列式计算即可得解 试题解析：A=75，C=60， 60=45，-C=18075B=180-A DEBC， ADE=B=45， 由翻折的性质得，EDF=ADE=45，

19、452=90-BDF=180 故答案为：90 9练习 上若ABCABC，已知A=65，B=78，现将纸片一角折叠，使点落三角形纸片1=20，则2=_ 答案 的度数，再根据三角形的内角和定理求试题分析：根据三角形的内角和定理求出C180列式求解即可出3+4的度数，然后根据平角等于 15/31页第 教案 新乡为知教育 A=65，B=78，试题解析： 78=37，65-A-B=180-C=180- 37=143，C=180-3+4=180- C上，C落在纸片折叠后点 1+2+2（3+4）=1802， 20+2+2143=360，即 解得2=54 故答案为：54 10练习 村的北偏东BA村在BC三个村

20、庄，如图所示，村在C村的正西方向，某地有A，B，两个村，视角，CB村的北偏西45方向，那么站在A村看20方向，同时A村又在C是多大？ 答案 180即可进行解答的度数，再根据三角形内角和是试题分析：先求出ABC及ACB 村的北村在B如图，B试题解析：村在C村的正西方向，A45方向，村的北偏西偏东20方向，同时A村又在C （20+45）=115，ABC+ACB=180- 180，三角形内角和是 115=65（ABC+ACB）=180-BAC=180 65B村看，C两个村，视角是A故站在 16/31页第 教案 新乡为知教育 知识点2： 三角形的外角 1、了解三角形的外角概念。 2、掌握三角形外角的性

21、质，初步学会数学说理。 3、通过小组学习、动手操作、探索发现等活动经历，培养比较、猜想、类比、转化的思想方法。 4、初步学会建立数学模型、运用简单的说理来计算三角形相关的角。 考点2.1：三角形外角的识别 重要程度：不重要 中考频率：少考 【精选例题】 例题13 如图，在1、2、3和4这四个角中，属于ABC外角的有（ ） 个4个D2个C3A1个B 答案 A 试题分析：根据三角形的一条边的延长线于另一边的夹角叫做这个三角形的外角判断 个1外角的有4共试题解析：属于ABC 故选A 14例题 ） ，则其对应的三个外角之比是（：4 若一个三角形的三个内角之比为2：3 B7：6：5C3：2：1D2：A4

22、323：4 答案 B 17/31页第 教案 新乡为知教育 试题分析：由一个三角形的三个内角度数之比为2：3：4，根据三角形内角和定理，即可求得此三角形三个内角的度数，继而求得与之对应的三个外角度数，则可求得答案 ：一个三角形的三个内角度数之比为4：3：2， =60，三个内角分别为：180=40，180 =80，180 与之对应的三个外角度数分别为：140，120，100， 5与之对应的三个外角度数之比为：7：6： B故选 【随堂练习】 11练习 如图，填空： ）1=_；（1 ）2=_；（2 ）3=_（3 答案 ）根据三角形的内角和定理列式计算即可得解；1试题分析：（ ）根据三角形的一个外角等于

23、与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解（2）（3 60=40；80-试题解析：（1）1=180 ）2=80+60=140；2（ ）3=40+90=130（3 故答案为：40；140；130 12练习 18/31页第 教案 新乡为知教育 如图，下列关于外角的说法正确的是（ ） 的外角是ABCB是ABC的外角HBGAHBA 的外角DCE是ABCD是ABC的外角GBAC 答案 D 试题分析：根据三角形外角的定义（三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角）进行判断 的外角，故本选项错误；不是ABCCB的延长线上，所以HBAA、如图，HB不在 的外角，故本选项错误；的延长线上，所以HBG

24、不是ABC、如图，BHB不在BA 不是的延长线上），所以DCECB的延长线上（或者CD不在C、如图，CE不在CA的外角，故本选项错误；ABC 的外角，故本选项正确；是ABCD、如图，GBA D故选： 13练习 ( )这四个角中，属于ABC外角的有如图，在1、2、3和4 个A .1 个B .2 个C .3 个D .4 19/31页第 教案 新乡为知教育 答案 A 试题分析： 根据三角形的一条边的延长线于另一边的夹角叫做这个三角形的外角判断。 解：属于ABC外角的有4共1个， 故选：A 考点2.2：利用三角形外角性质求角度 重要程度：一般 中考频率：少考 【精选例题】 例题15 五角星的顶点为A、

25、B、C、D、E，A +B +C +D +E的度数为( ). A .90 B .180 C .270 D .360 答案 B 试题分析： 根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得1=A+C，2=B+D，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解。 解：如图，由三角形的外角性质得，1=A+C，2=B+D， 20/31页第 教案 新乡为知教育 1+2+E=180， A+B+C+D+E=180 故选：B. 例题16 如图，C在AB的延长线上，CEAF于E，交FB于D，若F=40，C=20，则FBA的度数为( ). A .50 B .60 C .70 D .80 答案 C 试题分析： 的度数

26、，的度数，再根据对顶角的性质求出CDB先根据三角形内角和定理求出EDF的度数。由三角形外角的性质即可求出FBA ，FED=90，F=40，E解：CEAF于 40=50，90-FEDF=180-EDF=180 EDF=CDB， CDB=50， 的外角，是BDCC=20，FBA FBA=CDB+C=50+20=70 C.故选： 17例题 21/31页第 教案 新乡为知教育 如图，将ABC沿着DE对折，A落到A，若BDA+CEA=72，则A=_. 答案 36 试题分析： 根据折叠的性质得到ADE=ADE，AED=AED，由平角的定义得到BDA+2ADE=180，AEC+2AED=180，根据已知条件

27、得到ADE+AED=144，由三角形的内角和即可得到结论。 A，ADE=ADE，AED=AED，落到DE沿着对折，A解：将ABC BDA+2ADE=180，AEC+2AED=180， BDA+2ADE+AEC+2AED=360， BDA+CEA=72， ADE+AED=144， A=36 故答案为：36. 【随堂练习】 14练习 ( )等于如图，A+B+C+D+E A .90 B .180 C .360 D .270 22/31页第 教案 新乡为知教育 答案 B 试题分析： 根据三角形外角的性质可知B+A=1，D+E=2，再根据三角形内角和定理即可得出结论。 解：如图： B+A=1，D+E=2

28、，1+2+C=180， A+B+C+D+E=180 B.故选： 15练习 60角后，得到一个四边形，则60角的三角形纸片，剪去这个如图所示，一个( )的度数为1+2 A .120 B .180 C .240 D .300 答案 C 试题分析： 360三角形纸片中，剪去其中一个60的角后变成四边形，则根据多边形的内角和等于的度数。度即可求得1+2 解：根据三角形的内角和定理得： 60=120，180四边形除去1，2后的两角的度数为- 23/31页第 教案 新乡为知教育 则根据四边形的内角和定理得： 1+2=360-120=240 故选：C. 练习16 如图，C在AB的延长线上，CEAF于E，交F

29、B于D，若F=40，C=20，则FBA的度数为( ). A .50 B .60 C .70 D .80 答案 C 试题分析： 的度数，先根据三角形内角和定理求出EDF的度数，再根据对顶角的性质求出CDB的度数。由三角形外角的性质即可求出FBA ，FED=90，F=40，E解：CEAF于 40=50，-90-EDF=180FED-F=180 EDF=CDB， CDB=50， 的外角，C=20，FBA是BDC FBA=CDB+C=50+20=70 C.故选： ：利用三角形外角性质判断角的大小考点2.3 中考频率：少考 重要程度：一般 24/31页第 教案 新乡为知教育 【精选例题】 例题18 下列

30、结论中正确的是（ ） A三角形的一个外角大于这个三角形的任何一个内角 B三角形按边分类可以分为：不等边三角形、等腰三角形、等边三角形 C三角形的三个内角中，最多有一个钝角 D若三条线段a、b、c，满足a+bc，则此三条线段一定能组成三角形 答案 C 试题分析：A、根据三角形的外角性质即可作出判断； B、根据三角形的分类即可作出判断； C、根据三角形内角和定理即可作出判断； D、根据三角形三边关系，即可作出判断 试题解析：A、三角形的一个外角大于这个三角形的和它不相邻的一个内角，故选项错误； B、三角形按边分类可以分为：不等边三角形、等腰三角形，故选项错误； C、三角形的三个内角中，最多有一个钝

31、角是正确的； D、如a=8、2、1，满足a+bc，但是能组成三角形，故选项错误 故选C 例题19 如图，ABC中，点D在BC的延长线上，点F是AB边上一点，延长CA到E，连EF，则1，2，3的大小关系（ ） 312321DC123AB213 25/31页第 教案 新乡为知教育 答案 C 试题分析：根据三角形的外角性质进行解答即可 试题解析：因为1=2+B， 所以12， 因为2=3+E， 所以23， 所以321， 故选C 【随堂练习】 练习17 如图，在ABC中，EFBC，ACG是ABC的外角，BAC的平分线交BC于点D，记ADC=，ACG=，AEF=，则： （1）_（填“”、“=”或“”号）；

32、 （2）、三者间的数量关系式是_ 答案 ）根据三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角解答；试题分析：（1 ）根据两直线平行，同位角相等可得B=，再根据三角形的一个外角等于与它不2（相邻的两个内角的和表示出BAD、CAD，再根据角平分线的定义可得BAD=CAD，然后列出方程整理即可得解 ）；1试题解析：（ ）EFBC，2（ B=， ，B=-由三角形的外角性质得，BAD=- ，CAD=- 的平分线，是BACAD BAD=CAD， ，-=- 26/31页第 教案 新乡为知教育 +=2 故答案为：，+=2 练习18 已知：如图，点D，E分别在AC，AB上，且B=C求证： （1）AEC=ADB；

33、（2）BECB 答案 ）根据三角形内角和定理即可得出结论；1试题分析：（ ）根据三角形外角的性质即可得出结论2（ A，C-）证明：在AEC试题解析：（1中，AEC=180- A，B-在ABD中，ADB=180- B=C， AEC=ADB； ）证明：BECC，B=C，2（ BECB ：利用三角形外角性质证明问题2.4考点 中考频率：少考 重要程度：一般 【精选例题】 20例题 上的点，若B=C，ADE=AED，则ACBC，分别是ABC如图，D，E的边） （ 27/31页第 教案 新乡为知教育 A当B为定值时，CDE为定值 B当为定值时，CDE为定值 C当为定值时，CDE为定值 D当为定值时，CDE为定值 答案 B 试题分析：两次运用三角形外角的性质得EDC=（B+-EDC）-B=-EDC，然后移项可得结果 试题解析：EDC=AED-C，ADE=AED EDC=ADE-B ADE=B+BAD-EDC EDC=（B+-EDC）-B=-EDC 即2EDC= 当为定值时，CDE为定值 故选：B 例题21 已知：如图，在ABC中，AABC，直线EF分别交AB