实变函数教材

1、 目 录 1数论的内容 3 42实变函数论的特点 3学习实变函数论的方法 5 4本教材的特色处理之处 5 第一章集合论 . 集合概念与运算 6 . 集合的势、可数集与不可数集 13 习 题 25 点集第二章 n . R 空间 26 30. 几类特殊点和集 . 有限覆盖定理与隔离性定理 35 开集的构造及其体积. 38 习 题 45 测度论第三章 . Lebesgue 外测度定义及其性质 46 . 可测集的定义及其性质 48 . 可测集的构造 55 59习 题 第四章可测函数 . 可测函数定义及其性质 59 . 可测函数的结构 63 . 可测函数列的依测度收敛 70 题 习第五章Lebesgue

2、s 积分理论 . Lebesgue 积分的定义及其基本性质 77 . Lebesgue 积分的极限定理 84 . (L)积分的计算 88 定理 93. Fubini 习 题98 积分与微分第六章 . 单调函数与有界变差函数 101 . 106绝对连续函数 . 108 微分与积分 习 题 112 附录 1不可测集 113 2.一般集合的抽象测度和抽象积分 115 单调函数的可微性3. 绪论 1.实变函数论的内容 顾名思义，实变函数论即讨论以实数为变量的函数，这样的内容早在中学都已学过，中学学 的函数概念都是以实数为变量的函数，大学的数学分析，常微分方程都是研究的以实数为变量的 函数，那么实函还有

3、哪些可学呢？简单地说：实函只做一件事，那就是恰当的改造积分定义使得 更多的函数可积。 何以说明现有的积分范围小了呢？因为 ?为无理数时x 0? ? 为有理数时x1 D(x)? 这样形式极为简单的函数都不可积， 所以我们认为积分范围狭窄。 如何改造积分定义来达到拓广积分范围的目的呢？让我们先剖析一下造成这一缺陷的根本原 因在何处，只有先找准病根，然后才能对症下药。由数学分析知：对任意分划 T：ax x x0 21 .x =b， 由于任意一个正长度区间内既有有理数又有无理数，所以恒有：n S(T,D)s(T,D)10=1 如果分划不是这样呆板，这样苛刻地要求一定要分成区间的话，还是有可能满足大小和

4、之差 任意小的。比如，只要允许将有理数分在一起，将无理数分在一起，那么大小和之差就等于零了。 这就是问题的着眼点，首先让分化概念更加广泛，更加灵活， 从而可将函数值接近的分在一起以保证大小和之差任意小。即 n ?时，要 .y =Mmy y Ey fy ，其中 m ， fMD:En1i?i0 1?1i n max max ? ，这里 ，只须 y -ymE y -ymEy fy y-y ?1ii?ii1i?ii?1?1in1?i?i?n1? 1i? (D,f)-s(D,f)= ?的长度。 fy fy mEy相当于集合Eyi1?1i?ii ? fy 可能很不规则，如何求 mEy 思路非常简单，但实现

5、起来并非易事，因为 Ey fy1ii?i1? 呢？这就是一般集合的测度问题(即第三章内容)， 而测度理论所度量的对象是集合，尤其是多i n元函数定义域所在空间 R 的子集。因此，必须先介绍集合与点集知识(即第一章、第二章内容)。 测度理论本来是为了推广长度、面积、体积概念到一般 g 的集合，然而在实施过程中却使我们非 常遗憾，我们无法对直线上所有集合规定恰当测度使得满足以下两点最基本要求：一、落实到具 体区间的测度就是长度(即测度确为长度概念的推广)；二、总体测度等于部分测度之和( 即可列 可加性成立)。只能对部分集合规定满足这两点基本要求的测度， 这一部分集合便是可测集合(即 ? fy Ey

6、 的集合可测呢？这就是可测函数理论问题第四章内容)。那么哪些函数才能保证形如 ii?1 ? aEf 可测，所以我们采用对 a,有 yEf y Ef，由于(即第四章内容) Ey fy ii?11ii? 作为函数可测的定义。 有了以上准备之后，才根据前述思路对可测集上定义的可测函数先定义大（小）和 nn ? fy ）mEyy i1i?i?1? 11?ii? ? s(D,f)= （ y mEy f x=y (01) d(x,y)0，且 d(x,y) )三角不等式d(x,y)d(x,z)d(y,z) (2) 之间的距离。 中的元素称为点，d(x,y)为点 x,y则称(X,d)为度量空间或距离空间，X

7、的基本要求，也隐含在上述定义之中了。 “往返距离相等”注. d(y,x)故 d(x,y)事实上，d(x,y)d(x,x)d(y,x)d(y,x)，同理 d(y,x)d(x,y), n） 12）。按所规定的三种距离都分别成为距离空间（高代已验证过满足上述 R ， ? ? ?2 1 ? -+ ) 按 d(x,y)( ii1i? 2 2 成为距离空 2 ?1i?i ,.)|, ,.,例. ( i 21 2 ,., ,.),.)，y( , ,.,间其中 x( , nn 2112 满足 1)显然，对 2)只须验证对任意的 x( , ,., ,.)，y( , ,., ,.)，z( , ,., nn 212

8、121 ,.)有n ? 111 222 222 ?iii ii i )( -( ) - ( 1i?1ii?1? n事实上，由 R 中的三角不等式: nnn 111 222 ) ( -) - ( ( - )21ii?11i? 22?ii i iii 即得所证不等式。n令 max 例. Ca,b按 d(x,y) |x(t)-y(t)|成为距离空间。容易验证它满足距离条件 1)、2)。a?t?b 有了距离概念就可以仿照数学分析定义数列极限那样定义点列极限了。 lim n(m1,2,3,.)，如果 d(P ,P )0，则称点列P 收敛于 P RP定义. 设 ，m0?mm0m lim 记为 P P ,或

9、 P P (m)，即对任意 0，存在 N，当 mN 时有：d(P ,P ).00?mm0mm n，k=1,2,.,n)， )xx (m在距离空间(R ,d )中 P P (m0km0mk 1 其中 P (x ,x ,.,x )，P (x ,x ,.,x ).n02100mm201mnm 同样可以利用邻域来描述极限，为此，先引入邻域概念。. 定义. 称集合P|d(P,P )为 P 的 邻域，并记为00 U(P ,)。P 称为邻域的中心， 称为邻域的半径。在不需要特别指出是什么样的半径时，也00 简称为 P 的邻域，并记为 U(P )。00 n为P 为中心， 为半径的邻域分别是 v 距离按 d 定

10、义时，所谓以 P (n在 R1,2,3)中，00 1 中点、 2 为长度的开区间；P 为圆心、 为半径的开圆；P 为球心， 为半径的开球。但距离按00 d 定义时，所谓以 P 为中心， 为半径的邻域分别是 P 为中点、 2 为长度的开区间，P 为正方000 2 形中心、2 为边长的开正方形，P 为正方体中心，2 为边长的开正方体。0 不难看出：点列P 收敛于 P 的充分必要条件是对任意 0，存在 N，当 mN 时有：0m P U(P )。0m 容易验证邻域具有下面的基本性质： 1) pU(P)； ? U(P )和 U(P )， 如果存在 PU (P)U (P)2)对于 2112 ? U (P)

11、U (P)； 则存在 U(P) 3 21 ? U(P)； U(Q) QU(P)，存在3) 对于 ? QP，存在 U(Q)和 U(P)满足 U(Q)U(P)4) 对于 定义. 两个非空的点集 A、B 间的距离定义为 inf B?A,qp?d(P,Q) d(A,B) 。d(A,x)，则记 d(A,B)B A、B中至少有一个是空集，则规定 d(A,B)0；若 x 如果 。0AB显然，若 ，则 d(A,B) 的直径定义为： 定义.E 一个非空的点集 sup p,q?E(E) d(P,Q) 当 E 时，规定 ()0。显然，(E)0E 至多只有一个元素。 若 (E)，则称 E 为有界集。 定义. 称(x

12、,x ,.,x )x A ,i=1,2,.,n为集合 A 的直积，记为 A A .Ainii 2121 n ? 或 A 。ni 1?i n ?R 维欧氏空间 为 n为直线上的区间，则称 I中 I ，其 I iiii 1i? 定义. 若I n中的区间；如果所有 I 都是开(闭、左开右闭、左闭右开)区间，则称 I 是开(闭、左开右闭、左i n 都是直线上的有界区间，则称 I 是 R 中的有界区间；如果至少有I闭右开)区间。如果所有的 i n一个 I 是直线上的无界区间，则称 I 是 R 中的无界区间。i n23中的区间有时也称 中的区间即长方体，因此 RR注. R 中的有界区间即矩形， 。”为“长

13、方体 ?为有界集的充要条件是存在有界 E 显然，E为有界集的充要条件是存在有界区间 I E 或 ? U(x ,)邻域 E00 n ?，称 a ,b I ，其中 I iiii 1i? I 定义. nn ? |I |。当然，这里须约定 000，当 a0i 1?i |I| a时，a。 321中中的区间体积即矩形面积长宽，R RR注. 中的区间体积即区间的长度， n个边长的乘积，既是合理的高，因此规定 R 中的区间体积 n的区间体积即长方体体积长宽 又是自然的。 .几类特殊点和集 本节试图抓住直线上的开区间、闭区间及其点的基本性质，予以一般化。 ?nn? R ，我们可以通过看是否有 x 的完整邻域含于

14、 E 中将 R 中点对 E x 分为三类： ? ?E? ) )满足U (xU? (x,.a? ? ? )?CEU (x, (x, )? E ? ?(?U x, )满足U.b? ?c.? CE? )满足U (x,?U (x, ) ? 0的边界点，记其 类点为 E E ；b . 我们称 a 类点为 E 的内点，记其全体为定义. ? E；c 类点为 E 的外点。全体为 ?000n(CE) EE 显然外点全体为(CE) ，R （图.） 如图.所示：M 是 E 的内点，M 、M 、M 、M 是 E 的边界点，M 是 E 的外点。653 421 注.：E 的边界点既有可能属于 E(如 M 、M 、M )，

15、又有可能不属于 E(如 M )。53 42 ? (CE) E的边界与 CE 的边界相同，即 注.：E 注.：不受“a,b的边界只有 a,b 两点 ”这个具体结论的直观约束而得出错误的一般 ? E 相对集合 E 而言只是很少一部分”。事实上，直线上的有理数全体的边界是结论：“E 的边界 整个实数集。 ?nn? R ，我们也可以通过看 x 的邻域含 E 中点的多少将 R 中点 x 对 分为三类： E ? ? ? ? E ?x 对? ?0,U (x, ).e ? 满足? E ?) xU (x, )?x?f . U (, ? ?满足?E?)U(x,?)x?g.U(, )显然此类点即外点(? ? ? 定

16、义. 我们称 e 类点为 E 的聚点(或极限点)，记其全体为 E，并称为 E 的导集；f 类点为 E 的孤立点，显然其全体为 E-E。 0n(CE) E)即 R E(E- 在图.中，M 、M 、M 、M 是 E 的极限点，M 是 E 的孤立点。53 421 按第一种分类法的内点，是第二种分类法的聚点，按第一种分类法的边界点，按第二种分类 法既有可能是聚点如 M 、M 、M ，又有可能是孤立点如 M 。同样按第二种分类法的孤立点，5342 是第一种分类法的边界点，按第二种分类法的聚点，按第一种分类法既有可能是内点 M ，又有 1 可能是边界点 M 、M 、M 。对外点而言，两类分类方法所指的概念

17、是完全一致的。3 42 “极限点”中的“极限”二字体现在何处，“聚点”中的“聚”字体现在哪里呢？下述两个定理将对 此作出解释。 nnn x(nxx) x，且E互异点列 x E，定理.： x 1 nnnn ）EU(x,x，显然 ,d(x,x )，存在 xx 证明 “”因为 xE，所以对 min 1n? nnn x(n)，且 x E 互异，x。 x nnnnx”若 “0，存在 ，且 E xN x，但 x，当 x(n U(x,)Ex，故 xE。 证毕 n 的极限。的点列 xE 中一串异于 x 为 E 的“极限点”的原因是：x 可以表成 即之所以称x ? 0， U(x,)E 为无限集。.定理.： xE

18、 证明 “”因为 xE，所以 x E，且 x x，但 x x(n)，则对任意 0，存在 N，nnn 当 nN 时，x U(x,)Ex，故 U(x,)E 为无限集。n 证毕 “的无限多个点。 E”着的任意一个小邻域内都：在 x 聚集 原 即之所以称 x为 E的聚点 ”的因是 _E?，并 为E 的接触点。接触点全体记为 U(x,)E0若对定义. ，则称x _E的闭包。 称 为E _ ?E0E 的孤立点E xx 为 E显然， E EE ?0 EE c(cE)EE 在数学分析中要看一个区间是开或闭，只须看它是否将作为边界的两个端点包含在内，对 n于 R 中一般的集合是开或闭也以是否包含边界集作为判断依

19、据，于是我们给出如下定义。 ? E，则称 E 为开集；若 为闭集。 E 定义. 若 EE，则称 E 例.：直线上的开区间，平面上的开圆盘皆为开集，直线上的闭区间，平面上的闭 圆盘皆为闭集。(a,b既不是开集，又不是闭集。全直线既是开集又是闭集。 ?0 EE 1) E 为开集定理. ? EE2) E 为闭集 ?0 E，故 E EE证明 1)“”因为 E 开，所以 ?0 E”因为 “”2) “因为 E 为闭集，所以 E E E E，而 ? ”若 E“E ：定理.E为闭集 证明 “”因为 E EE，即 E E E . 证毕 ? E，则称 E 为自密集；若 EE 则称若定义. E E 为完备集。 显然

20、，自密集即是没有孤立点的集合，完备集即是没有孤立点的闭集。 ?n? R ，E对 为闭集。 E 定理. ?E,则 ，即 x0 满足 GC(E)是开集，事实上：对 xC(E)G证明 只须证 ? ，对xU(x,)E yU(x,)(yx)， ?E，所以 yyCE U(x,)满足 U(y,)Ey min-d(x,y)，d(x,y)0，U(y, )，即 11 ? G，故 G 是开集，从而 EG，即 U(x,) 为闭集。 证毕 . 有限覆盖定理与隔离性定理 是否每一个集合都有极限点呢？ n。 E R 中有界无限集，则 聚点原理) 设 E 为定理. (Weierstrass kkk有界，从k=1,2,.有界，

21、所以M M (x ，x ,.,x)E，由于 E 证明 取互异点列 nkk 21 kk0的子x 及 x 而x k=1,2,.,.是有界集， 由数学分析中已证明的直线上的聚点原理知： 111 kk0iik可能不收敛，但有界，由直线上 x x 。这时 M 满足第一个坐标收敛，对于第二个坐标 x列 211i 0k0kiik满足第一、第二坐标收敛。此过程继续作下 的子列x x ，则 M 的聚点原理知：x 及x 2222i 000mm去，第 n 次找到的子列 M 便满足所有坐标都收敛，即 M M 。其中 M (x ,x ,.,x )，00n 21 即 M 为 E 中的聚点。0 证毕 推论.有界点列必有收敛

22、子列。 作为聚点原理的应用，可以证明著名的 Borel 有限覆盖定理和距离可达定理。 定理. (Borel 有限覆盖定理) 设开集族U的覆盖，即 F 是一有界闭集I| ? n ? F，即 FU 则在此开集族中存在有限个开集U |i=1,2,.,n同样覆盖 FU ?1 I?ii? ? i nR是 I 至少为可数集)：设开集族U I(这里 引理. (Lindloff 可列覆盖定理 ? ? U i1i? ? ，则存在其中的可数个开集同样覆盖 F，即 F 中一有界闭集 F的覆盖，即 F U I? 证明 对任意 xF，存在 U x 满足 xU x，而对 U x 存在有理坐标点 p ， 及半径 rxx ?

23、 ? U x,取有理坐标点 p U（ 0，U（x，x， ） x满足 U(p ，r ) Ux(事实上， xxx ? ?2 333全体为至多可数集。r Q,xF.知：U(p ，r )|p ）， ， r 即可 )，由定理xxxxx ?, U U ，r ) 的选取方法可知：存在相应的 U 满足从而可以简记为 U ，由 U(piixx ii? ? ? 于是F UiU 1?1 i? ii 的证明：即在已知定理. ? ? FUi 1? i 满足的条件下证存在 n n ? F Ui 1? i n nnx 满足 x 及x F- U ，由聚点原理知存在 x xn若不然，则对任意 ，存在 x 满足00nin 1?i

24、ii ii时 M ， 于是存在M，当 UF(n )，又因为 是闭集所以 x F，从而存在 U 满足 x nii00 00 ?iinn矛盾。 U , x U ；另一方面，对任意 n i ，x有0i 00ii 为互不相交的非空闭集，且至少有一个有界，则存A、B 定理. (距离可达定理)设 。d(A,B)0 使得 ， 在 xAyB d(x,y)0000 使得 ， x由集合距离的定义知：存在证明 AyB nn 1 n d(x ,y )d(A,B)d(A,B)nnnn x 满足 x ，不妨假定 A有界由聚点原理知存在 x 及 x00 ii ，因为A 1 nnnnnn， )d(A,B)d(x ,y )d(

25、xd(x ,y )d(x ,x,x 000i iiiii nnnB， 于是存在 x 满足 yA y ， 所以这时y 有界，又由聚点原理知存在 y 及 yy0000 ijij i ?。)d(A,B)，d(x ,y使得 d(x ,y ) d(A,B)0000 n?). d(x,A)d(x,x xR ， A 推论. 设 A 为非空闭集，则对 满足 x00 即得。.x有界闭，由定理 . 即可。若 xA，令 B= 证明 若 xA，取 xxA0 ?n，UB A U ，R ，若存在开集 U ，U 满足 U U 定义. 设A、B ，且 212121 是可隔离的。B 则称 A、 _ BA. B, A. (隔离性

26、定理) A、B 是可隔离的定理. _AU是可隔离的，所以存在开集 B，由于 A、B证明 “”反证：若不然，不妨假定 x 0 _?A x ，则存在点列 得 x U ，而 x 满足 U U ，且 A U ，B U ，由 x B，Un000 2122211 _?AB故 U 相矛盾，与 开，所以 N 当nN 时 x U U A U 满足x x，因为 U n0n 21221 B。 ,同理 A BBA? ”因为 A“B y0，对知： xA 有 d(x, ) ， B，所以由推论. r r yx _ B? 22 AAB即可。 )U(y,yU U(x, )， d(x, )，rd( ,y)，U ,y) 有d( 0

27、，于是令ryx 2 A1x? ?U z ， U B U 剩下的只须证：U U。若不然，A 显然U，U是开集，且 1111222 rr yx00 22U，不妨设) B x ，则 A，y d(z,x)d(z,y ， 0000 2 _B) 。r maxr。 r，则。,r d(x, y 0xxx d(x ,y )d(x ,z)d(z,y )r 。，矛盾。 x0000 推论.若 A、B 均为闭集，且 AB，则开集 U ，U 满足 U U 2211 ? U 。 ，BA，且 U 21 推论.若 d(A,B)0，则开集 U ，U 满足 21 ? U ，B 。，且 A U U U 2211 .开集的构造及其体积

28、 开区间是开集，开集不一定是开区间，但开集与开区间有着密切联系。 ?G，则称(a, b)为 G，且 a,bG 定义.设 G为直线上的开集，如果(a,b) 的构 成区间。这里 a，b 可以为。 定理.设 G 为直线上的非空开集，则 G 可表为至多可数个互不相交的构成区间 的并。反过来，若非空开集 G 已表为至多可数个互不相交的开区间的并， 则这些区间为 G 的构成 区间。 0(a)与 ,b 证明1 G 的任意两个构成区间要么互不相交，要么完全重合。事实上，若(a 11 ,b )为 G 的两个不同的构成区间，不妨设 a a ，则必然有 b a ，否则，a a b ，即 121212212 ?G,矛

29、盾。a 是构成区间，则 ,b ) (a ,b ) G，另一方面，(aa 221212 0?尽 G， )满足 x(,)并将xG，由开集的定义知：存在2 对任意 (, ?G 为止 (即为止，将 可能往左移，移到第一次出现 尽可能往右移，移到第一次出现G xx ? G)便得到构成区间( ), )。,) G supx(, 令 infx( xxxx 事实上，对任意 y 满足 yx，存在 满足 yx，且(,) xx ?G ，若 ， ,) G。还可证 (G ，故 yG，同理对任意满足 xy 有 yG，即 xxxxx ? G)，这与-，)， + G，于是( 0G，则存在不然，不妨假定 ，(- xxxx ?G。

30、 的定义相矛盾，故 G，同理 xxx 0 3 G0 G 知：构成区间至多可数，从而1由) ,( xx?x ( , )G（I 至多可数） ii Ii? 0 4 ( , )（I 至多可数）， 且( , )互不相交，则 , G 若不然，则存G iiiiiiI?i 在 G，那么必存( , )满足 ( , )， 这与已知它们互不相交矛盾。iiiiii 110011 定理.直线上闭集或是全直线或是从直线上挖去至多可数个互不相交的开 区间后剩下的集。 我们将所挖去的开区间称为该闭集的余区间。 由于直线上闭集的孤立点，就是二余区间的公共端点。于是有： 定理.直线上的完备集或是全直线或是从直线上挖去至多可数个互

31、不相交 的、且无公共端点的开区间后剩下的集。 例.CantorG ，P 集是按下述方法作出的集合。 00 第一步：将0,1三等分，挖去中间一个开区间，剩下两个闭区间； 第二步：将第一步所剩两个区间各自三等分，并分别挖去各自的中间一个开区间，剩 下 4 个闭区间； . . 1n?第 n 步： 将第 n1 步所剩 2区间各自三等分，并分别挖去各自的中间一个开区间， n个闭区间； 2 剩下 . 各步挖区的所有区间之并记为 G ，最后剩下的集合记为 P . 00 显然，G 是开集，P 是闭集。一方面，由于 G 中各区间相互无共同端点，且000 与 (-,0)，(1,+)也无共同端点，即 P 无任何孤立

32、点，故 P 是完备集。由于第 n 次所剩区间长 00 1 3不可能含有任何内点。P 0，故度为 0 n 关于 P 不含有内点，在直觉上容易接受。但 P 无孤立点，却难于被初学者理解.不少 00 人的直觉是：“随着挖的次数增多，剩下的集合越来越零散，最后将只剩一些孤零零的区间端 点”。为此，我们从集合势的角度展示：P 集是 C 势集， 远远不止仅有 G 中可数个构成区间的 00 端点。 定理.P 是 C 势集。 0 证明(1)P 集是三进制0,1中那些可以不用数字 1 表示的数全体( 事实上，第 0 一次挖去的区间正是第一位小数必须出现数字 1 的小数全体，第二次挖去的区间正是第二位小数 必须出现数字 1 的小数全体，第 n 次挖去的区间正是第 n 位小数必须出现数字 1 的小数全体，这 里 0.1 因可通过表成数字 2 的无限循环小数 0.2222.即可回避用数字 1，而被保留下来，其他 数同