正交变换优质课件专业知识讲座

1、本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 上页 下页 返回 定理4 设A是n维欧氏空间欧氏空间V的一个线性变换，于 是下面四个命题是相互等价的： 1)A是正交变换； 2)A保持向量的长度不变 ，即对于V，|A|=|； 3)如果1,2,n是标准正交基, 那么A1,A2,An 也是也是标准正交基； 4)A在任一组标准正交基下 的矩阵是正交矩阵 . 证明 (1)2) 1)2)因为A是正交变换，即有(A, A) =(, )， 两边开方即得 |A|=| . 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系

2、本人或网站删除。 上页 下页 返回 (A, A)=(, )， (A, A)=(, )， 此即为，A是正交变换. 1)2)因为A保持向量的长度不变 ，即有 及 (A(+), A(+)=(+, +) . 把最后的等式展开得 (A, A)+2(A, A)+(A, A)=(, )+2(, )+(, ). 再利用前两个等式，就有 (A, A)=(, ). (1)3) 设1,2,n是一组标准正交基，即有 . ), 2 , 1,( .,0 ;,1 ),(nji ji ji ji ? ? ? ? ? ? ? 当 当 ? 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人

3、或网站删除。 上页 下页 返回 与 A=x1A1+x2A2+xnAn. 1)3)因为A是正交变换，所以有 (Ai, Aj)= . ), 2 , 1,( .,0 ;,1 ),(nji ji ji ji ? ? ? ? ? ? ? 当 当 ? 这就是说，A1,A2,An 是标准正交基. 1)3)因为A1,A2,An 是标准正交基，则由 A=y1A1+y 2A2+ynAn. =x11+x22+xnn. =y11+y 22+ynn. 即得 (, )=x1y1+x2y2+xnyn=(A, A). 因而A是正交变换. 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本

4、人或网站删除。 上页 下页 返回 ( (3)4) ) 3)4)由上因为A1,A2,An也是标准正交基， 那么A就是由标准正交基1,2,n到A1,A2,An 的过渡矩阵，因而 A是正交矩阵. 证毕. 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 上页 下页 返回 因为正交矩阵是可逆的，所以正交变换是可逆 的. 由定义不难看出， 正交变换实际上就是一个欧 氏空间到自身的 同构映射(3)，因而正交变换的 乘积与正交变换的逆变换还是正交变换. 在标准正 交基下，正交变换与正交矩阵对应，因此，正交矩 阵的乘积与正交矩阵的逆矩阵也是正交矩阵. 本文

5、档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 上页 下页 返回 如果A是正交矩阵，那么由 AA T=E 可知 |A|2=1或者|A|=1. 因此，正交变换的行列式等于+1或-1. 行列式等于 +1的正交变换通常称为旋转，或者称为第一类的； 行列式等于-1的正交变换称为第二类的. 例如，在欧氏空间中任意取一组标准正交基 1,2,n ，定义线性变换A为： A1=-1 , Ai=i , i=2,3, ,n. 那么，A就是一个第二类的正交变换. 从几何上看， 这是一个镜面反射 (参看本章习题15) . 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依

6、据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 上页 下页 返回 例1 令H是空间R3里过原点的一个平面，对任意 R3 ，记对于H的镜面反射的像是?. 则映射 例2 设L(R3)，对任意向量=(x1,x2,x3)R3 ，令 ()=(x2,x3,x1). 则是R3的一个正交变换. :|?是R3的一个正交变换. 因为对应的矩阵是A=E-2T为一个正交矩 阵，其中是平面H的单位法向量. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 001 100 010 A因为对应的矩阵是 为一个正交矩阵. 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 上页 下页 返回 例例3 将R2的每一向量旋转一个角的正交变换关于 R2的任意标准正交基的矩阵 是 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? cossin sincos 又令是例1中的正交变换. 在平面H内取两个 正交的单位向量 1