答案 二次函数 矩形的存在性问题

1、 参考答案 1. (2015 黑龙江省龙东地区) 如图，四边形OABC是矩形，点A、C在坐标轴上，ODE是OCB绕点O顺2时针旋转90得到的，点D在x轴上，直线BD交y轴于点F，交OE于点H，线段BC、OC的长是方程x6x+8=0的两个根，且OCBC （1）求直线BD的解析式； （2）求OFH的面积； （3）点M在坐标轴上，平面内是否存在点N，使以点 D、F、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在， 请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由 1. 分析： （1）解方程可求得OC、BC的长，可求得B、D的坐标， 利用待定系数法可求得直线BD的解析式； （2）可求得E点坐标，求出直线OE的解析式，联

2、立直线BD、OE解析式可求得H点的横坐标，可求得OFH的面积； （3）当MFD为直角三角形时，可找到满足条件的点N，分MFD=90、MDF=90和FMD=90三种情况，分别求得M点的坐标，可分别求得矩形对角线的交点坐标，再利用中点坐标公式可求得N点坐标 22 BC，的长是方程x6x+8=0的两个根，且OC）解方程x6x+8=0可得x=2或x=4，BC、OC解答： 解：（1 顺时针旋转90得到的，ODE是OCB绕点OBC=2，OC=4，B（2，4）， y=kx+b，0），设直线BD解析式为，OD=OC=4，DE=BC=2，D（4 x+；坐标代入可得，解得，直线BD的解析式为y=把B、D y=mx

3、，2），设直线OE解析式为（2）由（1）可知E（4， m=，把E点坐标代入可求得 x+=x，OE解析式为y=x，令直线 y轴的距离为，x=，H点到解得 ；S=（）可得F0，），OF=，又由（1OFH 为顶点的四边形是矩形，、M、N（3）以点D、F 为直角三角形，DFM ，G，如图1只能在x轴上，连接FN交MD于点MFD=90当时，则M ，MOFFOD由（2）可知OF=，OD=4，则有 0），0），G（，OM=，即=，解得，M（，0），且D（4= 点坐标为（，）；x=，解得，y=，此时N设N点坐标为（x，y），则=，=0 2，MF于点G，如图交当MDF=90时，则M只能在y轴上，连接DN DOM

4、，则有FOD ，即=，解得OM=6 ，（0，）M（0，6），且F ，MG=6=MG=MF=，则OG=OM 0，），G（ ，=，y），则=0点坐标为（设Nx ，）；，此时N（4y=解得x=4， ，点为O点，如图3当FMD=90时，则可知M 为矩形，四边形MFND ，）；，NF=OD=4ND=OF=，可求得N（4 ，4，）或（4）点，其坐标为（，）或（综上可知存在满足条件的N23x?2?y?x?BBAA，与的左侧）在点两点（点，轴交与x与如图，抛物线) 重庆市綦江县(2015 2. yCDCADyE. 关于抛物线的对称轴对称，直线轴交于点轴相交于点. 点与和点AD的解析式；）求直线 （1ADFFF

5、GADGFHxAD于，过点，作作轴交直线平行于（2）如图1，直线于点上方的抛物线上有一点HFGH的周长的最大值；，求点 MPyQAMPQ为顶点的四边形是抛物线的顶点，点，是，轴上一点，点，（3）点是坐标平面内一点，以AMTQAMT的坐标.关于是 为边的矩形，若点所在直线对称，求点和点 ADy?x?1 答案解：FxADMFGHFGM 过点于点作轴的垂线，交直线，易证C?C 故FGMFGH2?2mm?3)F(m,? 设22FM?mm?2m?(?1)?m?2m?3 则= FM29?91 2C=?)2FM(1?2)FM?(1?2)(m? 则 422 29+9 故最大周长为4AP为对角线若 191MAR

6、PMS 点关于直线AM的对称点T如图，由为故可得由点的平移可知Q)?(0,，Q(?2P(0,) 222AQ 为对角线若 971TPAMQQ 如图，同理可知由点的平移可知的对称点故 点关于直线为)(0,(2,)?(0, 222的坐标分别是CA、3. (2016 山东省东营市) 】在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，点（0，4）、（1，0），将此平行四边形绕点O顺时针旋转90，得到平行四边形ABOC （1）若抛物线经过点C、A、A，求此抛物线的解析式； （2）点M时第一象限内抛物线上的一动点，问：当点M在何处时， AMA的面积最大？最大面积是多少？并求出此时M的坐标； （3）若P为抛物

7、线上一动点，N为x轴上的一动点，点Q坐标为 （1，0），当P、N、B、Q构成平行四边形时，求点P的坐标， 当这个平行四边形为矩形时，求点N的坐标 分析（1）由平行四边形ABOC绕点O顺时针旋转90， 得到平行四边形ABOC，且点A的坐标是（0，4）， 可求得点A的坐标，然后利用待定系数法即可求得经 过点C、A、A的抛物线的解析式； （2）首先连接AA，设直线AA的解析式为：y=kx+b，利用待定系数法即可求得直线AA的解析式，再设点2 AMA的面积，继而求得答案；+3x+4），继而可得M的坐标为：（x，x 为对角线去分析求解即可求得答案为边与）分别从BQBQ（3，0A的坐标是（ABOC，且点）

8、平行四边形解答解：（1ABOC绕点O顺时针旋转90，得到平行四边形 ，4） ），（的坐标为：4，0点A ，、A、，0），抛物线经过点CA、0A点、C的坐标分别是（，4）（12 ，+bx+c设抛物线的解析式为：y=ax2 x+3x+4；，此抛物线的解析式为：，解得：y= AA，设直线的解析式为：y=kx+b，AA2（）连接 ，x+4y=的解析式为：AA，直线，解得： 2 ），x，x+3x+4设点M的坐标为：（222 ，）+8+8x=2（x2S=4x+3x+4（x+4）=2x则AMA =8，当x=2时，AMA的面积最大，最大值SAMA ）；M的坐标为：（2，62 构成平行四边形时，N，B，Q，当（

9、3）设点P的坐标为（x，x+3x+4）P ，、（1，0）平行四边形ABOC中，点A、C的坐标分别是（0，4） 1B的坐标为（，4），点 P为抛物线上一动点，N为x轴上的一动点，点Q坐标为（1，0），2 ，+3x+4=4x当BQ为边时，PNBQ，PN=BQ，BQ=4，2 4）；（0，4），P（3，=3当x+3x+4=4时，解得：x=0，x，P22112 ，x+3x+4=4时，解得：x=，x=当23 ；P（，4），P（，4）43 ，BP=QN，此时P与P，P重合；当PQ为对角线时，BPQN21 ；4），P（，3的坐标为：P（0，4），P（，4），P（，4综上可得：点P4312 ）或（3，0如图2，

10、当这个平行四边形为矩形时，点N的坐标为：（0，0 24. (2016 贵州省毕节地区) 如图，已知抛物线y=x+bx与直线y=2x+4交于A（a，8）、B两点，点P是抛物线上A、B之间的一个动点，过点P分别作x轴、y轴的平行线与直线AB交于点C和点E （1）求抛物线的解析式； （2）若C为AB中点，求PC的长； （3）如图，以PC，PE为边构造矩形PCDE， 设点D的坐标为（m，n），请求出m，n之间的关系式 分析（1）把A点坐标代入直线方程可求得a的值，再代入抛物线可求得b的值，可求得抛物线解析式； （2）联立抛物线和直线解析式可求得B点坐标，过A作AQx轴，交x轴于点Q，可知OC=AQ=4

11、，可求得C点坐标，结合条件可知P点纵坐标，代入抛物线解析式可求得P点坐标，从而可求得PC的长； （3）根据矩形的性质可分别用m、n表示出C、P的坐标，根据DE=CP，可得到m、n的关系式 解：（1）A（a，8）是抛物线和直线的交点，A点在直线上， 8=2a+4，解得a=2，A点坐标为（2，8），又A点在抛物线上， 22 +2x；+2b，解得b=2，抛物线解析式为y=x8=2 ）联立抛物线和直线解析式可得，（2 ，解得， ），2B点坐标为（，0 轴于点轴，交作如图，过AAQxxQ， 则AQ=8，OQ=OB=2，即O为BQ的中点， 当C为AB中点时，则OC为ABQ的中位线，即C点在y轴上， OC=

12、AQ=4，C点坐标为（0，4）， 又PCx轴，P点纵坐标为4， P点在抛物线线上， 2 ，x=1+2x，解得x=1或4=x 之间的抛物线上，A、BP点在 不合题意，舍去，x=1 ，4）P点坐标为（1 ；0=1PC=1 为矩形，且四边形PCDE（m，n）（3）D ，点纵坐标为nC点横坐标为m，E 上，都在直线y=2x+4C、E ，n），E（，C（m，2m+4 轴，xPC ，点纵坐标为2m+4P 点在抛物线上，P22 1（舍去），x+1），解得x=1或x=2m+4=x+2x，整理可得2m+5=（ ，2m+4），P点坐标为（1 m，DE=mCP=1 四边形PCDE为矩形， m，DE=CP，即m=12

13、 16=0，n4n8m整理可得2 4n8m16=0即m、n之间的关系式为nA(0，3)， 5. (2013 湖南省常德市) 如图，已知二次函数的图象过点BP是抛物线上的一动点， （），对称轴为直线，点PPMxMPNyN，轴于点 过点，分别作轴于点PMON上分别截取 在四边形（1）求此二次函数的解析式； CDEFCDEF是平行四边形；，为顶点的四边形，（2）求证：以， PCDEF为矩形？，使四边形（3）在抛物线上是否存在这样的点 P点坐标；若不存在，请说明理由. 若存在，请求出所有符合条件的 B（）、对称轴方程分别代入可得：）、，解得此二次函数的解（,将点A0，-3解：（1）设二次函数的解析式为

14、析式为. CDDEEFFC.PMxPNy轴， （2）证明：如图连接，轴，OMPNMPONOMPN. =四边形，是矩形.又 CMDENF,同理ODEFPC(SAS), CFEDCDEF.,CDEF是平行四边形.， =四边形=yQP点坐标为， ，设）如图，作（3CQ轴于点ECQ中，在则.RtCDDE时， 当 本题用相似更简单！ 2 C0）两点，与y轴交于点，0），B（3，6如图所示，抛物线y=ax+bx3与x轴交于A（1 1）求抛物线的解析式；（BCx轴交直线，作PF平行于P作PEBC于点EP（2）如图所示，直线BC下方的抛物线上有一点，过点 PEF周长的最大值；于点F，求是抛物线上一点，是坐标平

15、面内一点，若点Py轴上一点，点Q3）已知点M是抛物线的顶点，点N是（为边的正方形？若存在，直接写出点PM、Q为顶点且以且位于抛物线的对称轴右侧，是否存在以P、M、N 的横坐标；若不存在，说明理由P 2 3，0）两点坐标代入抛物线y=ax+bx，）把A（1，0），B（3【解答】解：（1 得到， 解得，2 y=x2x3抛物线的解析式为2 ，3）m设P（，m2m1（2）如图中，连接PB、PC ），）0，C（0，3B（3， OB=OC， OBC=45， ，PFOB OBC=45，PFE= ，PEBC PEF=90， PEF是等腰直角三角形， PEF的面积中点，此时PBC的面积最大，最大时，PE22 +，mm+（?S+S=S则有S3?m+2m+3）?3?=（）=BOCPBCPOCPOB PBCm=时，的面积最大，此时PEF的面积也最大， ，P此时