弹性力学 平面问题的极坐标解答

1、 第四章第四章 平面问题的极坐标解答平面问题的极坐标解答 4-1 4-1 极坐标中的平衡微分方程极坐标中的平衡微分方程 4-9 4-9 圆孔的孔边应力集中圆孔的孔边应力集中 4-4 4-4 应力分量的坐标变换式应力分量的坐标变换式 4-3 4-3 极坐标中的应力函数与相容方程极坐标中的应力函数与相容方程 4-2 4-2 极坐标中的几何方程及物理方程极坐标中的几何方程及物理方程 4-5 4-5 轴对称应力和相应的位移轴对称应力和相应的位移 4-6 4-6 圆环或圆筒受均布压力。压力隧洞圆环或圆筒受均布压力。压力隧洞 4-7 4-7 曲梁的纯弯曲曲梁的纯弯曲 4-8 4-8 圆盘在匀速转动中的应力

2、及位移圆盘在匀速转动中的应力及位移 4-10 4-10 楔形体在楔顶或楔面受力楔形体在楔顶或楔面受力 4-11 4-11 半平面体在边界上受法向集中力半平面体在边界上受法向集中力 习题课习题课 4-1 4-1 极坐标中的平衡微分方程极坐标中的平衡微分方程 在处理弹性力学问题时，选择什么形式的坐标系统，虽不 会影响对问题本质的描绘，但却直接关系到解决问题的难易程 度。如坐标选得合适，可使问题大为简化。例如对于圆形、楔 形、扇形等物体，采用极坐标求解比用直角坐标方便的多。 图41 考虑平面上的一个微分体 ， 沿 方向的正应力称为径向正应力， 用 表示，沿 方向的正应力称为 切向正应力，用 表示，剪

3、应力用 表示，各应力分量的正负号的规定和 直角坐标中一样。径向及环向的体力 分量分别用 及 表示。如图4-1。 pacb r r r r k k r r r r d r r r r r d d d r r d r r dr k r k y x o p a b c 考虑图示单元体的平衡，有三个平衡方程： 0, 0, 0mffr 由 ，可以得出剪应力互等关系： 0m rr 0 r f由 ，有： 0)( 2 2 )()( drrdkdrdrd d dr d drdrdddrrdr r rr r r r r r 0 f由 ，有： 0 22 )( )()( drrdk d dr d drdrd ddrr

4、dr r drdrd r r rr r r 因为 很微小，所以取 ， ，并用 代替 ， 整理以上两式，得： d 22 sin dd 1 2 cos d r r 0 21 0 1 k rrr k rrr rr r rrr 这就是极坐标的平衡微分方程。 两个平衡微分方程中包含三个未知函数 、 和 ， 所以问题是静不定的。因此必须考虑变形条件和物理关系。 rr r 上述方程和直角坐标系下的平衡方程有所不同，直角坐 标系中，应力分量仅以偏导数的形式出现，在极坐标系中， 由于微元体垂直于半径的两面面积不等，而且半径愈小差值 愈大，这些反映在方程里带下划线的项中。 一、几何方程一、几何方程位移与形变间的微

5、分关系 4-2 4-2 极坐标中的几何方程及物理方程极坐标中的几何方程及物理方程 在极坐标中规定: r r r u u -径向正应变 -环向正应变 -剪应变(径向与环向两线段 之间的直角的改变) -径向位移 -环向位移 用叠加法讨论极坐标中的形变与位移间的微分关系。 图4-2 d rdr r u o （1）假定只有径向位移，而无环向位移。如图4-2所示。 径向线段 的正应变为：pa r u dr udr r u u r r r r r )( 环向线段 的正应变为：pb r u rd rddur rr )( 径向线段 的转角为：pa0 环向线段 的转角为：pb r r r r u rrd ud

6、u u 1 )( 可见剪应变为： r r u r 1 d r p p b b a a dr u o （2）假定只有环向位移，而无径向位移。如图4-3所示。 图4-3 径向线段 的正应变为：pa 0 r 环向线段 的正应变为：pb u rrd ud u u 1 )( 径向线段 的转角为：pa r u dr udr r u u )( 环向线段 的转角为：pb r u 可见剪应变为： r u r u r 如果同时存在径向和环向位移，则由叠加法得： r u r uu r u rr u r u r r r r r 1 1 这就是极坐标中的几何方程。 二、物理方程二、物理方程 （1）平面应力情况： rrr

7、 r rr eg e e )1 (21 )( 1 )( 1 （2）平面应变情况： rr r rr e e e )1 (2 ) 1 ( 1 ) 1 ( 1 2 2 将上式中的 换为 ， 换为 。 e 2 1 e 1 4-3 4-3 极坐标中的应力函数与相容方程极坐标中的应力函数与相容方程 为了得到极坐标中用应力函数表示的应力和相容方程，利 用极坐标和直角坐标的关系： sin,cos arctan, 222 ryrx x y yxr 得到： rr x yrr y x r y y r r x x r cos , sin ,sin,cos 22 rryy r ry rrxx r rx cos sin

8、sin cos 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 coscossin2coscossin2 sin sincossin2sincossin2 cos rrrrrrry rrrrrrrx 2 2 22 22 222 2 22 cossinsincos cossinsincos cossin rr rrrrryx 在=0时，极坐标的各分量和直角坐标各分量相同。将上 面各式代入应力分量的表达式（常体力）： yx x y xy y x 2 2 2 2 2 （a） （b） （c） 得到： ) 1 ()()( )()( 11 )()( 0 2 0

9、2 2 0 2 2 0 2 2 2 0 2 2 0 rryx rx rrry yxr y xr 可以证明，当体力为零时，这些应力分量确能满足平衡微分方程。 由（a）+（b），得： 2 2 22 2 2 2 2 2 11 rrrryx 于是由直角坐标的相容方程： 0)( 2 2 2 2 2 yx 得到极坐标中的相容方程： 0) 11 ( 2 2 2 22 2 rrrr 用极坐标求解平面问题时（体力不计），就只须从相容方 程求解应力函数 ，然后求出应力分量，再考察应力分量 是否满足边界条件，多连体还要满足位移单值条件。 ),(r 4-4 4-4 应力分量的坐标变换式应力分量的坐标变换式 在一定的应

10、力状态下，如果已知极坐标中的应力分量，就 可以利用简单的关系式求得直角坐标中的应力分量。反之，如 果已知直角坐标中的应力分量，也可以利用简单的关系式求得 极坐标中的应力分量。 设已知极坐标中的应力分量 、 、 。试求直角坐标中 的应力分量 、 、 。 r r x y xy r r y yx r r r r xy x c a b o y x a b 图4-4 如图4-4，在弹性体中取微小三 角板 ，各边上的应力如图所示。 三角板的厚度取为一个单位。令 边的长度为 ，则 边及 边的长 度分别为 及 。 a bc dsabac sindscosds 根据三角板 的平衡条件 ，可得平衡方程：a 0 x

11、 f 0cossinsincos sincos 22 dsds dsdsds rr rx 用 代替 ，得： rr cossin2sincos 22 rrx 同理，由平衡条件 ，可得： 0 y f )sin(coscossin)( 22 rrxy 另取微小三角板 ，如图4-4，根据平衡条件 ，得到： 0 y fb cossin2cossin 22 rry 综合以上结果，得出应力分量由极坐标向直角坐标的变换 式为： )sin(coscossin)( cossin2cossin cossin2sincos 22 22 22 rrxy rry rrx 利用简单的三角公式，上式可改写为： 2cos2si

12、n 2 2sin2cos 22 2sin2cos 22 r r xy r rr y r rr x 4-5 4-5 轴对称应力和相应的位移轴对称应力和相应的位移 如果应力分量仅是半径的函数，如受内外压的圆环，称为 轴对称问题。 采用逆解法，假定应力函数 仅是径向坐标 的函数: r )(r 相容方程简化为: 0 d d1 d d 2 2 2 rrr 这是一个四阶常微分方程，它的通解为: dcrrbrra 22 lnln 这时，应力的表达式为: 0 2)ln23( 2)ln21 ( 2 2 rr r crb r a crb r a 正应力分量仅是 的函数，与 无关，并且剪应力为零， 应力分量对称于通

13、过z轴的任一平面，称为轴对称应力。 r 将上述应力的表达式代入应力应变关系式中，可以得到应 变的表达式,再代入位移与应变积分后的几何方程,得到轴对称 应力状态下的位移分量: cossin 4 sincos)1 (2)31 ( ) 1(ln)1 (2)1 ( 1 kihr e br u kicrbr rbr r a e ur 对于平面应变问题，须将上面公式 换为 ， 换 为 。 e 2 1 e 1 4-6 4-6 圆环或圆筒受均布压力。压力隧洞圆环或圆筒受均布压力。压力隧洞 如图4-5，圆环的内半径为a， 外半径为b，受内压力qa，外压 力qb。为轴对称问题。根据上节 有解为: 0 2)ln23

14、( 2)ln21 ( 2 2 rr r crb r a crb r a 图4-5 边界条件为: bbrraarr brrarr qq )(,)( 0)(, 0)( 一、圆环或圆筒受均布压力一、圆环或圆筒受均布压力 在这里只有两个方程，而有三个待定常数，需要从多连体 的位移单值条件补充一个方程。 在环向位移表达式： cossin 4 kihr e br u 中，第一项是多值的，在同一r处， =1和=1+2时，环向 位移成为多值，这是不可能的，因此，从位移单值条件必须有 b=0。 这样从上面两个方程中可解出a和c，代入应力分量表达式， 得到拉密解答： b a qc b a qc a a 2 2 2

15、 2 于是: b a qcbb b a qcab a a 2)ln1 ( 2)ln1 ( 2 2 由边界条件得到: ba bar q b a r a q a b r b q b a r a q a b r b 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 下面分别讨论内压力和外压 力单独作用的情况。 （1）只作用均匀内压时（ ）， 例如液压缸，上面解答化为： 0 b q aar q a b r b q a b r b 1 1 , 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 r 图4-6 应力分布大致如图4-6所示。 当 时，得到具有圆孔的无 限大薄

16、板，或具有圆形孔道的无 限大弹性体，这时上面的解答成 为： b aar q r a q r a 2 2 2 2 , （2）只有外压时（ ），例如 液压柱塞，上面解答化为： 0 a q bbr q b a r a q b a r a 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 , 1 1 应力分布大致如图4-7所示。 r 图4-7 二、压力隧洞二、压力隧洞 q o ,e , e r r r 图4-8 如图4-8所示，受 均匀内压力 作用的圆 筒埋在无限大弹性体 中，圆筒和无限大弹 性体的材料不同。试 分别讨论两者的应力 和位移情况。 q 两者都属于轴对 称应力问题，采用半 逆解法。 设圆筒的应力表达

17、式为： c r a c r a r 2,2 22 设无限大弹性体的应力表达式为： c r a c r a r 2,2 22 由应力边界条件求待定常数 、 、 、 。ac a c （1）在圆筒的内表面：q arr )(由此得： qc a a 2 2 （2）在无限大弹性体内距离圆筒很远处几乎没有应力。 0)( , 0)( rrr 由此得： 02c （3）在圆筒和无限大弹性体的接触面上，应当有： brrbrr )()( （1） （2） 由此得： c b a c b a 22 22 三个方程不足以确定四个常数，下面来考虑位移。 由于圆筒和无限大弹性体都是多连体，并属于平面应变问 题，可以写出两者的径向

18、位移的表达式。 圆筒： sincos) 1 1 (2) 1 1 ( 1 2 kicr r a e ur 无限大弹性体： sincos) 1 1 (2) 1 1 ( 1 2 kirc r a e ur 将以上两式简化后得： sincos)21 (2 1 ki r a cr e ur sincos)21 (2 1 ki r a rc e ur （3） 在接触面上，两者应具有相同的位移，即： brrbrr uu )()( 因此有： sincos)21 (2 1 sincos)21 (2 1 ki b a bc e ki b a cb e 因为这一方程在接触面上的任意一点都应当成立，也就是在 取任何数

19、值时都应当成立，所以方程两边的自由项必须相等。 于是有： )21 (2 1 )21 (2 1 b a bc eb a cb e 简化后，得： 0)21 (2 22 b a b a cn 其中： )1 ( )1 ( e e n （4） 联立方程（1）、（2）、（3）、（4）求出 、 、 、 ，代 入应力分量的表达式，得： a c a c )1 ()21 (1 )1 (2 )1 ()21 (1 )1 ()21 (1 )1 ()21 (1 )1 ()21 (1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 n a b n r b n q n a b n n r b n q n a b n n r

20、b n q r r 当 时，应力分布大致如图4-8所示。1n 4-7 4-7 曲梁的纯弯曲曲梁的纯弯曲 r 内半径为a，外半径为b的狭矩形 截面的圆轴曲梁，在两端受大小相等、 方向相反的弯矩，为轴对称问题。有： 0 2)ln23( 2)ln21 ( 2 2 rr r crb r a crb r a 边界剪应力都为零： 0)( , 0)( 0)( , 0)( 0 rr brrarr 图4-9 在梁的内外两面，正应力要求: 0)(,0)( brrarr 02)ln21 ( 02)ln21 ( 2 2 cbb b a cab a a从而可得： 在梁端的边界条件要求: mrr r b a b a d

21、0d 0 d d dd 2 2 arrbrr b ar b a b a b a abr r r r r marabr r rr r r rrr r rr b arbrr b a b ar b a b a b a b a b a 222 2 2 )()( d d d d d d d ddd 则： 将 的表达式： dcrrbrra 22 lnln 代入，并由边界条件得： mabcaabbb a b a)()lnln(ln 2222 在这里有三个方程和三个待定常数，解出a、b和c，代 入应力分量表达式，得到郭洛文解答: 0 lnlnln1 4 lnlnln 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

22、 2 2 rr r a b r b a r r b a b a b na m a b r b a r r b a b na m 其中： 2 2 2 2 2 2 ln41 a b a b a b n 4-8 4-8 圆盘在匀速转动中的应力及位移圆盘在匀速转动中的应力及位移 一、等厚度圆盘在匀速转动中的应力及位移一、等厚度圆盘在匀速转动中的应力及位移 设有等厚度圆盘，绕其回转轴以匀角速度 旋转。圆盘可 以认为是在下面的体力作用下处于平衡状态： 0, 2 krkr 由于这里是轴对称的物体受轴对称的体力，所以应力分布 也是轴对称的。 即：应力分量 及 都只是 的函数，而 r r 0 rr 。所以有平衡

23、微分方程： 0 21 0 2 k rrr r rdr d rr rr 令： 22 ,r dr d r r (1) 在这里，由于圆盘只受回转轴的约束，而这种约束是轴对称 的，所以它的弹性位移也是轴对称的。即：径向位移 ，而 环向位移 。于是几何方程简化为： )(ruu rr 0 u 0, r r rr r u u dr d 消去 ，得到相容方程： r u)( r dr d r 32 2 2 2 )3(r dr d r dr d r 解方程得到： 将物理方程代入，再联立式(1)，得到由应力函数 表示的相 容方程： r bar r 28 3 32 联立式（1），得： 2 22 2 22 28 31

24、28 3 r ba r r ba r r (2) 其中 和 是任意常数。 ab 盘边的边界条件： 0)( arr 其中 是圆盘的半径。代入式（2），得：a 22 4 3 aa 取 ，代入式（2）得应力分量的表达式为：0b ) 3 31 1 ( 8 3 )1 ( 8 3 2 2 22 2 2 22 a r a a r a r 最大应力在圆盘的中心： 22 00max 8 3 )()()(a rrr 径向位移： )1 ()3( 8 )1 ( )( 3 332 a r a r e a e r ru rr 在圆盘的中心（ ）， 。最大弹性位移发生在圆盘的 边缘（ ）： 0r 0 r u ar e a

25、ur 4 )1 ( )( 32 max 二、变厚度圆盘在匀速转动中的应力及位移二、变厚度圆盘在匀速转动中的应力及位移 假定圆盘的厚度为 ，而应力不沿厚度变化，则等厚度 圆盘的微分方程可以近似地应用于每单位厚度的圆盘。于是可 得全厚度内的平衡微分方程为： )(rtt 0)( 2 rt r tt t dr d r r 令： 22 ,tr dr d trt r 可得： 32 2 2 2 )3()1 ()1 (tr dr dt t r dr d r dr dt t r dr d r 取厚度的变化规律为： crt 其中 是常数， 为任意正数。则上式成为：c 32 2 2 2 )3()1 ()1 (cr

26、dr d r dr d r 解方程，得： 32 )3(8 3 rcbrar nm 其中 和 是任意常数，而：ab )1 () 2 ( 2 2 n m 由此可得出应力分量： 221122 2211 )3(8 311 )3(8 3 rnr c b mr c a r dr d t rr c b r c a tr nm nm r m a c a 32 )3(8 3 由边界条件 ，求得： 0)( arr 为了应力在圆盘的中心（ ）处不成为无限大，取 。0r0b 从而得应力分量为： )( 3 31 )( )3(8 3 )()( )3(8 3 2122 2122 a r a r ma a r a r a m

27、 m r )(1 ()()(3( )3(8 )( 32 32 a r a r m e a e r ru m rr 且，有： 4-9 4-9 圆孔的孔边应力集中圆孔的孔边应力集中 板中开有小孔，孔边的 应力远大于无孔时的应力， 也远大于距孔稍远处的应力， 称为孔边应力集中。 应力集中的程度与孔的 形状有关。一般说来，圆孔 孔边的集中程度最低。这里 简略讨论圆孔孔边应力集中 问题，较为复杂的孔边应力 集中问题一般用复变函数方 法，在第五章中进行讨论。 r r a b 图4-10 一、一、 矩形板左右两边受集度为矩形板左右两边受集度为q q的均布拉力的均布拉力 设有矩形薄板，在离开边界较远处有半径为

28、 的小圆孔， 在左右两边受均布拉力，其集度为 ，如图4-10。 a q 2sin 2 )(,2cos 22 )( qqq brrbrr 以远大于 的某一长度 为半径，以小孔中心为圆心作圆， 根据直角坐标与极坐标的变换公式，得到大圆的边界条件： b a 上述面力可以分解成两部分，其中第一部分是： 0)(, 2 )( brrbrr q 第二部分是： 2sin 2 )(,2cos 2 )( qq brrbrr 求面力（a）所引起的应力。令： 。得： 2 q qb 0, 1 1 2 , 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 rr b a r a q b a r a q (a) (b) 由于 ，所

29、以可近似地取 ，从而得到解答：ab 0 b a 0),1 ( 2 ),1 ( 2 2 2 2 2 rr r aq r aq 求面力（b）所引起的应力。采用半逆解法：假设 为 的某 一函数乘以 ，而 为 的另一函数乘以 。即： r r 2cos r r2sin 2sin)(,2cos)( 21 rr rr 又应力函数和应力分量之间的关系为： ) 1 (, 11 2 2 2 rrrrr rr 因此可以假设：2cos)(rf 代入相容方程，得： 0 )(9)(9)(2)( 2cos 32 2 23 3 4 4 dr rdf rdr rfd rdr rfd rdr rfd 删去 ，求解常微分方程，得：

30、2cos 2 24 )( r d cbrarrf 从而得应力函数： 2cos)( 2 24 r d cbrar 从而得应力分量： 2sin) 62 26( 2cos) 6 212( 2cos) 64 2( 42 2 4 2 42 r d r c bar r d bar r d r c b r r 对上式应用边界条件（b），并由边界条件： 0)(, 0)( arrarr 得到方程： 2 64 2 42 q b d b c b 0 62 26 0 64 2 2 62 26 42 2 42 42 2 a d a c baa a d a c b q b d b c bab 求解 、 、 、 ，令 ，得

31、：abcd0 b a 4 , 4 , 0 4 2 qa dqac q ba 将各已知量代入应力分量表达式，即得齐尔西的解答： 2sin)31)(1 ( 2 2cos)31 ( 2 )1 ( 2 2cos)31)(1 ( 2 )1 ( 2 2 2 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 r a r aq r aq r aq r a r aq r aq rr r 二、矩形板四边受二、矩形板四边受q的均布拉力的均布拉力 如果矩形薄板在左右两 边受有均布拉力 ，并在上 下两边受有均布拉力 ，如 图4-11，也可由前面解答得 出应力分量。首先命该解答 中的 等于 ，然后命该解 答中的 等于 ，将

32、 用 代替，最后将两个结果相叠 加。得到： 1 q 2 q q 1 q q 2 q 0 90 2sin)31)(1 ( 2 2cos)31 ( 2 )1 ( 2 2cos)31)(1 ( 2 )1 ( 2 2 2 2 2 21 4 4 21 2 2 21 2 2 2 2 21 2 2 21 r a r aqq r aqq r aqq r a r aqq r aqq r r 图4-11 1 q1 q 2 q 2 q 4-10 4-10 楔形体在楔顶或楔面受力楔形体在楔顶或楔面受力 r rr p 图4-12 楔形体的中心角为 ，下端为无限长。 1. 顶部受集中力p 设楔形体在楔顶受有集中力，与楔形

33、体 的中心线成角 。取单位宽度的部分来考虑， 并令单位宽度上所受的力为 。 楔形体内一点的应力分量决定于、p、 r、，因此，应力分量的表达式中只包含这 几个量。其中、是无量纲的量，因此根 据应力分量的量纲，应力分量的表达式应取 pn/r的形式，其中n是、组成的无量纲 的量。由应力函数的表达式可以看出应力函 数中r的幂次应当比各应力分量的幂次高出两 次，因此可设： p )(rf 代入相容方程后得： 0)( d )(d 2 d )(d1 2 2 4 4 3 f ff r 求解这一微分方程，得： )sincos(sincos )sincos(sincos)( dcrbrar dcbaf byaxbr

34、arsincos不影响应力，取：其中 )sincos(dcr 于是得： 0) 1 ( 0 )sincos( 211 2 2 2 2 2 rr r cd rrrr rr r 楔形体左右两面的边界条件： 0)(, 0)( 2/2/ ara 上述应力分量满足该边界条件。集中力p按圣维南原理处 理，取出任一圆柱面ab，则该截面上的应力和p合成平衡力系： 0sinsind:0 0coscosd:0 2/ 2/ 2/ 2/ prf prf ry rx 将 的表达式代入，可求出c、d，最后得到密切尔解答： r 0 0 ) sin cossin sin coscos ( 2 rr r r p 2.顶部受有力偶

35、m作用 r r r 图4-13 设楔形体在楔顶受有力偶，而每单位 宽度内的力偶矩为m ，如图4-13。 根据和前面相似的分析，应力分量应 为mn/r2的形式，而应力函数应与r无关。 )( 代入相容方程后，得： 0 d d 4 d d1 2 2 4 4 4 r 求解这一微分方程，得： dcba2sin2cos 力偶可看成反对称力，正应力和应力函 数应当是 的奇函数，从而a=d=0,于是： 2 2 2 22 2 2 2cos2 ) 1 ( 0 2sin411 r cb rr r r b rrr rr r 楔形体左右两面边界条件： 0)( ,0)( 2/2/ ara 上述应力分量自动满足第一式，根据

36、第二式，可得： cos2bc 于是： 2 2 )cos2(cos2 0 2sin4 r b r b rr r 集中力偶m按圣维南原理处理，取出任一圆柱面ab，则 该截面上的应力m成平衡力系： cossin 2 0d:0 2 2/ 2/ m b mrm ro 最后得到英格立斯的解答： 2 2 )cos(sin )cos2(cos 0 )cos(sin 2sin2 r m r m rr r 3.一面受均布压力q r 图4-14 设楔形体在一面受有均布压力 ,如 图4-14。 q 应力分量应为qn的形式，而应力 函数应为qnr2的形式： )( 2 fr 代入相容方程后，得： 0 d )(d 4 d

37、)(d1 2 2 4 4 2 ff r 求解这一微分方程，得: )2sin2cos( 2 dcbar cba dcba dcba rr r 2cos22sin2 222sin22cos2 222sin22cos2 边界条件为: 0)(, 0)( 0)(,)( 0 0 rr q 求解常数，得应力分量的李维解答： q qq qq rr r )(tg2 2sintg)2cos1 ( )(tg2 )2sin2()2cos1 (tg )(tg2 )2sin2()2cos1 (tg 4-11 4-11 半平面体在边界上受法向集中力半平面体在边界上受法向集中力 x y p r o 0 0 cos2 rr r

38、 r p 利用坐标变换可得到直角坐标中的应力分量式（2）： r p r p r p xy y x 2 2 3 cossin2 cossin2 cos2 （1） （2） 命楔形体的中心角等于一个平角，这 楔形体的两个侧边就连成一个直边，而楔 形体就成为一个半平面体，如图4-15。 一、应力分量一、应力分量 0 p 当平面体在边界上受有垂直于边界的力 时，在密切尔解答中令 、 。于是得 式（1）： 图4-15 或将其中的极坐标改为直角坐标而得： 222 2 222 2 222 3 )( 2 )( 2 )( 2 yx yxp yx xyp yx xp xy y x 二、位移分量二、位移分量 假设是平

39、面应力情况。将应力分量代入物理方程，得形变分 量： 0, cos2 , cos2 rr re p re p 再将形变分量代入几何方程，得： 0 1 cos21 cos2 r u r uu r re pu rr u re p r u r r r 于是可以得出位移分量： cossincos )1 ( sin )1 ( lnsin 2 sincossin )1 ( lncos 2 kihr e p e p r e p u ki e p r e p ur 其中 、 、 都是任意常数。hik 由对称条件 ，得：0)( 0 u0, 0kh 代入式（3），得： （3） sinsin )1 ( cos )1

40、( lnsin 2 cossin )1 ( lncos 2 i e p e p r e p u i e p r e p ur 如果半平面体不受铅直方向的约束，则常数 不能确定。 如果半平面体受有铅直方向的约束，就可以根据这个约束条 件来确定常数 。 i i （4） 边界上任意一点 向下的铅直位移，即所谓沉陷。由式 （4）中的第二式可得 点的沉陷为： m m i e p r e p u )1 ( ln 2 )( 2 如果常数 没有确定，则沉陷也不能确定。这时只能求 出相对沉陷。 i 在边界上取定一个基点 ，它距载荷作用点的水平距离 为 。则边界上一点 对于基点 的相对沉陷，等于 点的 b smb

41、m 沉陷减去 点的沉陷，如图4-16：b )1 ( ln 2 )1 ( ln 2 i e p s e p i e p r e p 简化以后，得： r s e p ln 2 p o s y x bm r 图4-16 半平面体在边界上受法向分布力作用时的应力和沉陷,可 以由半平面体在边界上受法向集中力用叠加法得出。 0 a 0 c 0 b 练习练习1 如图1所示，由内外筒组成的 组合筒（长度有限，两端自由），装 配前内筒的外半径比外筒的内半径 大 ，求接触压力 ，并导出环向预 应力的表达式。 a p 解：解：1.设装配后接合处的公共半径为 ，接 触压力 使内筒的外半径减小了 ，而 使外筒的内半径增

42、大了 ，按位移协调 条件有： 0 c p 2 1 21 2.将 代入只受内压力作用圆环的位 移公式，得： pqbbcacr a , 000 )( 1 2 0 2 0 2 0 2 0 1 0 1 cb cb e pc （1） （2） 平面问题的极坐标解答平面问题的极坐标解答习题课习题课 图1 )( 2 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 ac ac e pc （3） 将式（2）、（3）代入式（1），得： )()( 2 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 1 2 0 2 0 2 0 2 0 1 0 ac ac e pc cb cb e pc 3.若内、外筒为同一种材料，则 ， 从上式可

43、解得： 2121 ,eee )(2 )( 2 0 2 0 3 0 2 0 2 0 2 0 2 0 abc accbe p 4.内、外筒的环向应力为： )1 ()(),1()( 2 2 0 2 0 2 0 2 0 2 2 0 2 0 2 0 2 0 r b cb pc r a ac pc 内 外 将 代入只受外压力作用圆环的 位移公式，得： pqcbaacr b , 000 解：解： o y x p r r 练习练习22楔形体顶端受集中力 作用， 与 轴的夹角为 ，如图2所示。取单位厚度考虑， 试确定楔形体内的应力分量。 px 1.由于描述楔形体几何特征的角度 是无 量纲的，故可由量纲分析法得知

44、，应力函 数中 只能以一次幂形式出现，即： r )(rf 2.由调和方程求出 后，即可求得应力函数为：)(f )sincos(sincosdcbar 由于 不影响应力分量，故 可删去，因此有： byaxbrarsincos 0),sincos( 2 )sincos( rr cd r dcr （1） （2） （3） （4） 图2 3.楔形体两侧面的边界条件能自然满足： 0)(, 0)( ara 考虑半径为 的楔形体上部的静力平衡条件： r a a ro a a r a a ry a a a a rrx drm prdrdf prdrdf 0:0 0sincossin:0 0cossincos:0

45、 2 由前两式可解出 和 ，从而求出应力分量（密切尔解）：cd 2sin2 cos , 2sin2 sin p d p c 0, )2sin2( sinsin2 )2sin2( coscos2 rr r p r p 练习练习33求图3所示问题的截面m-n上的应力 。 x m n x p pam o x y m n x y p o x a c2 解：解： （a） （b） 将图（a）所示力系向 点简化，便得图（b）所示与原力 系静力等效的力系，其中 。根据圣维南原理，此 类代换对远离楔顶之处的应力的影响可不计。将楔顶受集 中力作用与受力矩作用下的应力解答叠加，得原问题的应 力： o pam 图3

46、2cos22sin 2cos2cos , 0 2cos22sin 2sin2 2sin2 sin2 2 2 r pa r pa r p r r 由应力分量的坐标变换式可得： )( 2cos )()( 3 2cos22sin 2 )(2sin2 2 cossin2sincos 222322 3 322 3 222 2 22 yx xy yx xy yx yx pa yx yxp rrx ) 1 (0) 11 )( 11 ( 2 2 22 2 2 2 22 2 rrrrrrrr 练习练习4 4 试将以 表示的相容方程式 展开。 0 11 2 2 2 22 2 rrrr ) 1 () 1 ( 1 ) 1 ( 1 ) 1 ()( 1 )( 1 )( 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 rrrrrrrrr rrrrrrrrrr )2(0) 1 ( 1 ) 1 ( 1 2 2 22 2 22 2 2 rrrrr 分项求偏导数，最后相加，得： 解：解： 22 4 2