用洛必达定理来解决高考压轴题

1、用洛必达定理来解决高考压轴题一洛必达法则法则1 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件:(1) Iim f x 0 及 Iim g xx a(2)在点a的去心邻域内,f(x)与 g(x)可导且g(x)Iimx a g x那么Iimxx f =Iim a g x x a g x法则若函数f(x) 和g(x)满足下列条件:(1) Iim f xx0 及 Iim g xxAf 0, f(x)和g(x)在 ，A与 A 上可导，且g(x)丰0；Iim x g x那么t x Iim=Iimx g x x法则3若函数f(x)和 g(x)满足下列条件：Iim f xx a及 Iim gx a(2)在点a的去心

2、邻域内,f(x) 与g(x)可导且g(x)丰0； Iim - x a g x那么f x f Iim = Iim x a g x x a g x利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意: 将上面公式中的 xta, Xis换成 xt+s, xt-a, x a , x a 洛必达法则也 成立。 洛必达法则可处理 *，, 0, i ,0, 0,型。在着手求极限以前，首先要检查是否满足0, -, 0, i ,0, 0,型定式，否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这 时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直

3、到求出极限为止。二.高考题处理x21.(20XX年全国新课标理)设函数f (x) e 1 x ax o(1)若a 0,求f(x)的单调区间;(2) 若当x 0时f(x) 0，求a的取值范围原解：(1) a 0时，f(x) ex 1 x , f (x) ex 1.当 x (,0)时，f(x)0 ;当 x (0,)时，f (x)0 .故 f (x)在(,0)单调减h x h 00 ； g x 0，g(x)在0, 上为增函数。少，在(0,)单调增加(II) f (x) ex 1 2ax由(l)知ex 1 x，当且仅当x 0时等号成立故f (x) x 2ax (1 2a)x，1从而当 1 2a 0，即

4、 a 时，f(x)0 (x 0)，而 f(0)0，于是当x 0时，f(x) 0.1 x(x 0)可得 e1 x(x0).从而当a 1时,YYf(x) e 1 2a(e 1)x , xxe (e 1)(e2a)，故当 x (0,ln 2a)时，f(x)0,而 f (0)0，于是当x (0,ln 2a)时,f(x) 0.综合得a的取值范围为原解在处理第(II )时较难想到，现利用洛必达法则处理如下：另解：(II)当x 0时，f (x)0，对任意实数a,均在f(x) 0 ；当X0时，f (X)X0等价于a ePX令g xXex 12(x0),则Xh xXxe2exx 2 x 0，则 h x知h x在

5、0,上为增函数，h x hxxXq 2qx 2g (x)3，令xXXxXee 1， h xXe0，00 ；知h x在o, 上为增函数，xxx由洛必达法则知，lim e一2lim e lim 号 2，x 0xx 0 2X x 0 2 2故a -2综上，知a的取值范围为2 . ( 20XX 年全国新课标理)已知函数,曲线f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为x 2y 3 0。(I)求 a、b的值;(n)如果当1时,f(x)In xk-，求k的取值范围。x原解：(I) f (x)(匚XIn x)(x 1)2由于直线x 2y0的斜率为1，且过点2(1,1)，故f(1) 1,1即J2f(1)1,解得a

6、(n)由(I)知 f(x)In x 1-，所以xf(x)(Jn xx(k1)(x2 1)。x考虑函数h(x) 2ln x(k 1)(x2x1)(x0)，则 h(x)(k 1)(x21) 2x2x(i)设 k 0 ,由 h(x)k(x21) (x 1)22x知，当x1 时，h(x)0 , h (x)递减。而h(1)0故当 x (0,1)时，h(x) 0，可得 亠 h(x) 0 ；1 xh (x) 0当x (1, +)时，h (x) 0,且x 1时，f （x）-（xln x k、一 + )1 x0，即f (x) 旦+上x 1 x2x = (k1）x2 2x k 1的图像开口向下，且2(ii )设 0k0.故 h(x) 0,而 h (1) =0,故当 x)时,(x)0,1可得 2 h (x) 0,而 h (1) =0,故当x (1, +)时，h (x) 0，可得1 x2h （x） 0,与题设矛盾。综合得，k的取值范围为（-，0原解在处理第（II ）时非常难想到，现利用洛必达法则处理如下：另解：（II）由题设可得，当x 0,x1时，k h1 =0在0,上为增函数Q h 1=0(0,1)时，h x 0，当x（1，+）时，hx0(0,1)时，g x 0，当x(1，+)时,gx0在0,1上为减函数，在1,上为增函数由洛必达法贝U知且li