沈阳理工大学秦俭常微分大纲修改版

1、常微分方程课程教学大纲 课程代码： 090131018 课程英文名称： Ordinary Differential Equations 课程总学时： 64 讲课： 64 实验： 0 上机： 0 适用专业：信息与计算科学 大纲编写（修订）时间： 2010.7 一、大纲使用说明 （一）课程的地位及教学目标 本课程是信息与计算科学专业的一门专业基础课， 通过本课程的学习， 可以使学生获得关于 常微分方程的基本理论知识， 掌握普通的线性微分方程的求解办法， 为对非线性微分方程的求解 打下一定的基础， 同时， 使学生能够简单地利用数学手段去研究自然现象和社会现象， 或解决工 程技术问题 , 是进一步学习

2、偏微分方程、微分几何、泛函分析等后继课程的基础。 通过本课程的学习，学生将达到以下要求： 1.掌握一阶线性微分方程的初等解法及理论、高阶线性微分方程的解法及理论，线性微分 方程组理论，着重培养学生解决问题的基本技能。 2.熟悉和掌握本课程所涉及的现代数学中的重要思想方法，提高其抽象思维、逻辑推理和 代数运算的能力。 （二）知识、能力及技能方面的基本要求 1. 基本知识：要求学生掌握一阶微分方程的初等解法；一阶微分方程解的存在唯一性定理、 解对初值的连续性和可微性定理及解的延拓；高阶微分方程理论、常系数线性微分方程的解法、 以及高阶微分方程的降阶和幂级数解法； 求矩阵指数， 求解常系数线性微分方

3、程组； 非线性微分 方程的稳定性、 V 函数方法。 2. 基本理论和方法： 掌握一阶和高阶线性微分方程以及方程组的求解方法，理解解的存在唯 一性定理及解的延拓、 解对初值的连续依赖定理等理论， 并能应用到具体的证明题中。 了解非线 性微分方程的基本理论， 会对稳定性等做出讨论。 培养学生逻辑推理能力和抽象思维能力； 对微 分方程的建模、求解的分析能力；利用微分方程理论解决实际问题的能力。 3.基本技能：使学生获得求解一阶和高阶微分方程、线性微分方程组的运算技能。 （三）实施说明 1教学方法：课堂讲授中要重点对基本概念、基本方法和解题思路的讲解；采用启发式教 学，培养学生思考问题、 分析问题和解

4、决问题的能力； 引导和鼓励学生通过实践和自学获取知识， 培养学生的自学能力；讲课要联系实际并注重培养学生的创新能力。 2 教学手段：本课程属于专业基础课，在教学中采用多媒体教学系统等先进教学手段，以 确保在有限的学时内，全面、高质量地完成课程教学任务。 （四）对先修课的要求 本课程的教学必须在完成先修课程之后进行。本课程主要的先修课程有数学分析 3、高等 代数 2。 （五）对习题课、实践环节的要求 1. 至少两章安排一次习题课，总学时在 10 学时左右。 2. 习题课的教学内容要配合主讲课程的教学进度，由老师和同学在课堂上通过讲、练结合 的方式进行。 主讲教师通过批改学生的作业， 将作业情况反

5、馈给学生， 要补充有一定难度和综合 度的练习题，以拓宽同学们的思路。 （六）课程考核方式 1 .考核方式：考试 2考核目标：在考核学生对常微分方程基本知识、基本原理掌握的基础上，重点考核学 生的运用适当解法的能力和对问题的分析能力。 3成绩构成：本课程的总成绩主要由三部分组成：平时成绩（包括作业情况、出勤情况 等）占15%期中成绩占15%期末考试成绩占 70% （七）参考书目 常微分方程（第二版），王高雄，周之铭，朱思铭，王寿松编，高等教育出版社，1983. 常微分方程教程（第二版），丁同仁，李承治编，高等教育出版，1991. 常微分方程（第二版），叶严谦编，高等教育出版社，1982. 常微分

6、方程，东北师范大学数学系编，高等教育出版社，1982. 二、中文摘要 常微分方程是高等学校数学专业的一门必修的专业基础课程。本课程通过对各种类型 的常微分方程理论和解法的研究，使学生掌握常微分方程基础知识、基本计算方法以及如何解决 实际问题的能力。课程主要内容包括一阶及高阶线性常微分方程基本解法及理论、常微分方程组 理论等。本课程将为后续课程的学习奠定重要的基础。 三、课程学时分配表 序号教学内容学时讲课实验上机 1 绪论 22 1.1 常微分方程模型、基本概念和发展历史 22 2 一阶微分方程的初等解法 1212 2.1 变量分离方程与变量变换 22 2.2 线性微分方程与常数变易法 22

7、2.3 恰当微分方程与积分因子 44 2.4 一阶隐式微分方程与参数表示 22 2.5 习题课 22 3 一阶微分方程解的存在定理 1212 3.1 解的存在唯一性定理与逐步逼近法 44 3.2 解的延拓 22 3.3 解对初值的连续性和可微性定理 44 3.4 习题课 22 4 高阶微分方程 1616 4.1 线性微分方程的一般理论 44 4.2 常系数线性微分方程的解法 66 4.3 高阶微分方程的降阶和幕级数解法 44 4.4 习题课 22 5 线性微分方程组 1616 5.1 存在唯一性定理 22 5.2 线性微分方程组的一般理论 66 5.3 常系数线性微分方程组 66 5.4 习题

8、课 22 6 非线性微分方程和稳定性 66 6.1 稳定性 22 6.2 V函数方法 22 6.3 习题课 22 合计 6464 四、教学内容及基本要求 第1部分绪论 总学时（单位：学时）:2 讲课:2实验:0上机:0 第1.1部分 常微分方程模型、基本概念和发展历史（讲课 2学时） 具体内容： 1） 了解常微分方程典型模型； 2 ）了解微分方程解的形式、方程的阶；理解微分方程线性与非线性区别； 重 点： 微分方程的阶 难 点： 线性微分方程与非线性微分方程的判断 习 题： 此部分应布置一次至少两道题的课后习题，内容可覆盖微分方程的阶、线性微分方程与非线 性微分方程的判断。 第2部分一阶微分方

9、程的初等解法 总学时（单位：学时）:12 讲课:12 实验:0上机:0 第2.1部分变量分离方程与变量变换（讲课 2学时） 具体内容： 1）理解变量分离方程、 齐次微分方程和可化为变量分离方程的形式之间的转化关系；掌握此 类微分方程的求通解方法。 2 ）会用适当的变量变换求解微分方程。 第2.2部分 线性微分方程与常数变易法（讲课 2学时） 具体内容： 1） 理解常数变易法；掌握线性微分方程求通解方法。 2） 掌握n阶伯努利微分方程求通解方法。 第2.3部分 恰当微分方程与积分因子（讲课 4学时） 具体内容： 1 ）理解恰当微分方程成立的条件、积分因子概念； 2） 掌握恰当微分方程求解方法 3

10、） 利用积分因子求解非恰当微分方程 4） 会做关于积分因子的证明问题。 第2.4部分一阶隐式微分方程与参数表示（讲课 2学时） 具体内容： 1 ）理解四种隐式方程形式，掌握四种隐式方程求解方法及相互关系。 重点： 常数变易法、一阶隐式方程求解。 难 点： 非恰当微分方程的积分因子解法。 习 题： 此部分应布置至少两次至少八道题的课后习题，内容覆盖各类微分方程。 第 2.5 部分 习题课（讲课 2 学时） 具体内容： 1）本章基本内容总结、本章基本题型及拓展题型总结。 2）课后题及各类题型讲解。 第 3 部分 一阶微分方程解的存在定理 总学时 （单位：学时 ）:12 讲课 :12 实验 :0 上

11、机:0 第 3.1 部分 解的存在唯一性定理与逐步逼近法（讲课 4 学时） 具体内容： 1） 理解利普希茨条件、解的存在唯一性定理； 2） 掌握构造皮卡序列的方法。 第 3.2 部分 解的延拓（讲课 2 学时） 具体内容： 1） 理解解的延拓的几何意义、延拓区间； 2） 掌握初值问题解的存在区间求法。 第 3.3 部分 解对初值的连续性和可微性定理（讲课 4 学时） 具体内容： 1） 理解解对初值的连续性和可微性定理； 2） 掌握关于初值的偏导在确定点处的表达式求法。 第 3.4 部分 习题课（讲课 2 学时） 具体内容： 1）本章基本内容总结、本章基本题型及拓展题型总结。 2）课后题及各类题

12、型讲解。 重 点： 解对初值的连续性和可微性定理证明。 难 点： 关于初值的偏导表达式应用。 习 题： 此部分应布置至少一次至少两道题的课后习题， 内容覆盖对称性定理、 对初值的偏导计算等。 第 4 部分 高阶微分方程 总学时 （单位：学时 ）:16 讲课 :16 实验 :0 上机:0 第 4.1 部分 线性微分方程的一般理论（讲课 4 学时） 具体内容： 1） 理解函数线性相关性与朗斯基行列式的关系、n阶齐次线性微分方程通解的结构、n阶 非齐次线性微分方程的常数变易法； 2） 掌握相关性的证明题、给定基本解组会求n阶非齐次线性微分方程的通解。 第 4.2 部分 常系数线性微分方程的解法（讲课

13、6学时） 具体内容： 1）理解复值函数与复值解、欧拉待定指数函数法、比较系数法、拉普拉斯变换法； 2）掌握齐次方程、欧拉方程、非齐次方程的通解求法。 第 4.3 部分 高阶微分方程的降阶和幂级数解法线性微分方程的一般理论（讲课4 学时） 具体内容： 1） 理解特殊方程降幂方法、幂级数解法； 2） 掌握特殊方程降幂求解过程、二阶线性微分方程的幂级数解法。 . 第 4.4 部分 习题课（讲课 2 学时） 具体内容： 1）本章基本内容总结、本章基本题型及拓展题型总结。 2）课后题及各类题型讲解。 重 点： 欧拉待定指数函数法。 难 点： 比较系数法。 习 题： 此部分应布置至少三次至少十道题的课后习

14、题，内容覆盖证明题，求通解问题等。 第 5 部 线性微分方程组 总学时 （单位：学时 ）:16 讲课 :16 实验 :0 上机:0 第 5.1 部分 存在唯一性定理（讲课 2 学时） 具体内容： 1）掌握存在唯一性定理，理解存在唯一性定理证明过程。 第 5.2 部分线性微分方程组的一般理论（讲课 6 学时） 具体内容： 1）理解线性微分方程组的矩阵表示；掌握 n 阶线性微分方程的初值问题与矩阵表示的方程 组间的相互转化。 2）理解方程组的相关性与向量函数的朗斯基行列式的关系、基解矩阵相关定理； 3）掌握非齐次线性微分方程组的常数变易法应用。 第 5.3 部分 常系数线性微分方程组（讲课 6 学

15、时） 具体内容： 1）理解矩阵指数性质；掌握基解矩阵计算公式。 2）掌握系数矩阵的特征根法应用及与矩阵指数的关系。 求通 第 5.4 部分 习题课（讲课 2 学时） 具体内容： 1）本章基本内容总结、本章基本题型及拓展题型总结。 2）课后题及各类题型讲解。 重 点： 非齐次线性微分方程组求通解。 难 点： 基解矩阵与矩阵指数的关系。 习 题： 此部分应布置至少两次至少六道题的课后习题， 内容覆盖相关性证明题， 求基解矩阵、 解问题等。 第 6 部分 非线性微分方程和稳定性 总学时 （单位：学时 ）:6 讲课:6 实验 :0 上机 :0 第 6.1 部分 稳定性（讲课 2 学时） 具体内容： 1）理解李雅普诺夫稳定性、零解稳定性定理； V函数判断法。 2）掌