标准偏差为什么要除以N-1

1、标准偏差为什么要除以 n 1叶连昌 印象中，在我的求学过程里并未接触到标准偏差的概念，师大毕业后在国中任教了 十三年，也只有在资料整理中教学生画画统计图表而已；后来转进高中教学，才开始研 讨离差及相关系数等教材（说白一点，第一次教高二数学时，我跟学生一样是个 flnZZ 初学者）。一晃又是十三年多，对统编本 S 1 （xi X）2的公式，无论正的、 n i i 倒的、横的、竖的都可以跟学生解释得头头是道之时，丨纲多本的数学教材中突然冒出了 S 1 （Xi X）2这样一个莫名其妙的公式（即样本标准偏差）。好长丨 n 1 i i 段时间，心里既自责又彷徨更气愤，自责的是这十三年来被我教到的学生全被

2、我误了； 彷徨的是我该如何去解释这n 1？要学生死背吗？（这那是我的教学态度？）还是另编 一套理论来误人子弟，硬是将公式说得清清楚楚？（那又该怎么说才好呢？）气愤的是 为什么不继续沿用S ”1 （xi X）2呢？（新教材简直就是在整人吗？） 这个问 题在很多的研讨会中被提出来讨论（原来我并不孤独，与我一样心路历程的人还真不少）， 勉强接受了不偏估计的说法，但会后讨论、抱怨声仍不断，多数人还是希望统一使用 S J1 n （Xi X）2这个公式，不要再分什么母群体标准偏差或样本标准偏 n i 1 差，徒增教、学之困扰。（说的也对，您怎么分辨是母群体还是样本？ 题目是求标准偏差时，到底要算哪一个？总

3、不会两个都要算吧？） I 1 n 抱怨归抱怨，心想新书既敢出版，表示S （Xi X）2这样的定义应该是无 Yn 1 i 1 庸置疑的，不妨先弄清楚它的理论根据再说吧。没想到经过一段时间的摸索、学习之后，不 但接受了这个说法，更认为 S 、 1（Xi X）2应该是高中数学中标准偏差 卄1 i 1 的唯一定义，略举数项个人论点如下：（仅提供参考，非论教材之是非） 高中数学的统计教材，开宗明义就是统计抽样，其目的是想藉由抽取之样 本所提供的信息来推估、了解母群体的状况。重点既然在于由小看大、 以少推多，因此一概看成样本数据而直接采用 S . 1 化 X）2的 V n 1 i 1 定义似较合理，母群体

4、标准偏差应该是可以不必讨论的。 样本标准偏差一词很容易被解释成被抽取之样本数据的标准偏差，其实不 然，它应该还是母群体的标准偏差，因它是藉由 样本来推估全体的标准偏 差，才称之为样本标准偏差的。 班上40位同学之数学成绩的标准偏差为多少？看到这个题目，不免要问：要除 以39还是要除以40?除数为39很难算耶？只要出题者多用心，将数据凑得好，欲 求近似值之小数位数给的巧，让两种算法之答案一样，争议其实不大。但如果将题目 设计如某校高一学生数百人，利用系统抽样得40位同学之成绩如下，试估算该 校高一学生成绩之标准偏差多点情境，或标准偏差的定义只有一个，疑问、争议 都没了 四、 Microsoft

5、Excel试算软件中，标准偏差函数STDE V所传回之值就是样本标 I1 n 准偏差S J (xi X)2(不信，您可试试；人家老外早就这样算)，难怪以 勺 n 1 i i 前在教统编本时，用计算机算的都非标准答案，今天才恍然大悟。 五、 若取母群 体的算术平均数E(X)(即整 群资料的中 央趋势)来算离均差，因为 n (Xi X) i 1 2 n Xi E(X) 2 n E(X) X 2 i 1 n 2 Xi E(X)，为了使 i 1 1 n 2 (XiX)的 ni 1 值与J- Xi ,n i 1 1 (Xi X)2作为样本标准偏差的定义, ,n 1 i 1 信息教师手册中详细的说明(如附

6、录)。 E(X) 2更接近，就必须将 I d . 1 (Xi X)2的值适度放大，通常采用 n i 1 至于为什么要取n 1，请参考大同 n 【附录】所述，老师们看看可以，要跟学生讨论，那就难了！S 1 (Xi X)2很好 n i 1 解释(平均除以n是天经地义的事)，那除以n 1该怎么讲呢？我是这样 骗学生的，也提供您当参考。 【例】某家庭10个成员的年纪为：33, 47, 51, 57, 61,65, 75, 80, 87, 94(岁) 当家的是65岁的老杨，请问这个家中平均一个人差老杨几岁？ 【解】|33-65|=32，|47-65|=18，|51-65|=14， |57-65|=8，|

7、61-65|=4，|75-65|=10， |80-65|=15，|87-65|=22，|94-65|=29， 32+18+14+8+4+10+15+22+29=152 152 竺 16.89 (是除以9喔，居然少了丨头杨！) 9 平均一个人差老杨16.89岁。 【注】这个例题是在未教离差之前即让学生练习，结果95%勺学生是这样解的(除以 9),另外5%勺学生也不是除以10,他们是不屑算(我没有强迫他们非算不可)。 【注】65岁恰为岁数平均数，16.89岁应可称为平均绝对离差 【附录】(摘录自大同信息第四册教师手册第 274页至第277页) 设全体数据数值有N个，它们分别为X, X2, X3,，

8、Xn，如果以简单随机抽样法，从全 体中抽出 1 N n个数值，它们分别为X1, X2, X3,，Xn，贝U全体的平均数X Xi，全体的变 N i 1 异数2 1 N - 2 (Xi X)2。而抽到的n个数值的样本X1, X2, X3,，xn的平均数为 N i 1 n X 1Xi，且在N个数值中取n个的方法数为cN。因此，就有 C：个样本的平均数X , 这些平均数x的平均数以E(x)表示时，E(x)的值为何呢？下面就来推算它，并讨论样本 的标准偏差的处理原则。 (1) E(x) X (此处X为全体的平均数) 1,若X1,X2，,Xn中的第i個數值Xi被選入樣本時, 0, 证明：令i 则P( 1)

9、 若X1,X2，,Xn中的第i個數值Xi沒被選入樣本時， N (因为每个数值被抽到的机率为 N)， P( 0) P( i 因此E( 0) 而变异数Var( 其中 E( i2)12 即可得Var( i) n 1 N i) E( n N n N 1) 1 N N n 0 - N i2) E( n N n N n N， i)2， n N， n 02 J N =1 -) N iXi， 因此 E(x) x的变异数 1 N E(- n i 1 (_) iXi) E( i) 1 Xi Xi n i 1 N N i1Xi 只。 证明：对两个变数 i, E( i) j) 记E i cov( i, N 1 n j

10、而言， j E( j) E( E( P( P( 1) P( 因此, Var (x) E( i) cov( i， i j) i)E( j) n N 1) E( j)之积也是一变数, j)称为i与 j的互变异数, 1) (卫)2 N 1 Var (- n(N n) n i 1 2 ) N (N 1) n1 N xi) Var (- n i 1 iXi) 2Var(N iXi) n i 1 1 N 2 2 X i Var( n i 1 1 N n 2 X i S(1 n i 1 N 1 n(N N n) 2 n N 2 i 1 N n N 1 n(N 1) N2 N n 1 N n(N 1) N i

11、 1 N n 1 N n(N 1) N i 1 2 N n 2 x 2 Xi Xi2 Xi2 N Xi2 i 1 N 1 N n i)2 1 i n N) XiXj cov( N n(N N2(N XiXj N 2 NT1 i N N2( N i 1 N 1 Ny(i n) 1)1 XiXj j N Xi2 Xi)2 n(N n) N2(N 1) XiXj N XiXj) j N n(N 1) 2 Xi N n 2 n(N 1) 因此, In 1 n N n N 通常称：n为有限全体的修正系数。 因此，当样本抽出率 N无穷大时, (3)如何选择样本标准偏差的求法 (A)设 S n (Xi i 1 n (Xi i 1 x)2， X) 其中X Xi i 1 n (X x)2 (Xi 1 X)2 n(X x)2， 因此, 可知 (Xi 1 X)2 (Xi X)2 1 n 亦即丄(Xi n i 1 X)2 ni1(Xi X)2， 所以要以.1(Xix)2来评估全体的标准偏差时,