平行四边形面积计算公式推导过程及其原理

1、 八、四边形 朱建良 太仓市实验中学 【课标要求】 （1）能探索并了解多边形的内角和与外角和公式，了解正多边形的概念 （2）能掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念、判定及其性质，了解它们之间的关系；了解四边形的不稳定性 （3）能掌握梯形的概念，探索并了解等腰梯形的有关性质，并会运用将梯形分解为平行四边形与三角形的方法来解决一些简单问题 （4）能通过探索平面图形的镶嵌，知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面，并能运用这几种图形进行简单的镶嵌设计 【课时分布】 四边形部分在第一轮复习时大约需要6个课时，其中包括单元测试下表为内容及课时安排（仅供参考） 课时数 内 容 1 平行四边形

2、特殊的平行四边形（矩形、菱形、正方形）2 梯形1 四边形单元测试与评析2 【知识回顾】 1、知识脉络 形矩 平行四边形 正方形 形菱 四 边 形 等腰梯形 形梯 直角梯形 2、基础知识）平行四边形是中心对称图形，具有两组对边分别平行且相等、对角相等及邻角互（1 补、两条对角线互相平分等特征 ）平行四边形的识别方法有：（2 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 两组对边分别平行的四边形是平行四边形； 对角线互相平分的四边形是平行四边形； 两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 （3）矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，它们除了具有平行四边形的所有特征

3、外，还具有以下性质： 矩形：四个角都是直角、对角线互相平分且相等 菱形：四条边都相等、对角线互相垂直平分且每一条对角线平分一组对角 正方形：四条边都相等、四个角都是直角、对角线互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角（具有矩形、菱形的所有特征） （4）矩形、菱形、正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形；矩形、菱形都有两条对称轴，而正方形有四条对称轴，它们的对称中心都是对角线的交点 （5）矩形、菱形、正方形的识别方法有： 有三个角是直角的四边形是矩形； 有一个角是直角的平行四边形是矩形； 两条对角线相等的平行四边形是矩形； 有四条边相等的四边形是菱形； 有一组邻边相等的平行四边形是菱形； 两

4、条对角线垂直的平行四边形是菱形； 有一组邻边相等的矩形是正方形； 有一个角是直角的菱形是正方形 （6）有且只有一组对边平行的四边形叫做梯形，这组平行的边叫做梯形的上底与下底，不平行的两边叫做梯形的腰，两腰相等的梯形叫做等腰梯形，有一个角是直角的梯形叫做直角梯形 （7）等腰梯形是轴对称图形，它的对称轴是过两底中点的直线，它有以下特征： 等腰梯形同一底上的两个内角相等； 等腰梯形的两条对角线相等 （8）等腰梯形的识别方法有： 同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形； 两条对角线相等的梯形是等腰梯形 3、能力要求 例1 下列哪一个角度可能成为某个多边形的内角和（ ） A260 B1980 C600 D

5、2180 【分析】（1）多边形问题一般可转化为三角形问题来解决，从n边形的一个顶点出发可(n?2)?180?，内角和为个三角形，2）n可将以连结（n3）条对角线，n边形分割成（因此，n边形的内角和必为180的整数倍 （2）求正多边形的内角和，可先求其每个外角的度数，因为多边形的外角和是一360?360?)(180?，其每个内角即为 边形的每个外角为n360个常量，即正 nn【解】1980是180的整数倍，故选B 【说明】本题要求学生熟记多边形的内角和与外角和公式，也可以利用公式求出多边形 的边数，教师在复习时要引导学生掌握用分割法确定多边形的对角线条数、三角形的个 数等变化规律Y、和BF分别平

6、分如图（8-1）DABABCD中，AE例2 EFDC 相交于点ME、F，AE、BFABC，交CD于点M BF；（1）试说明：AEAB 与CE的大小关系，并予以说明（2）判断线段DF8-1和BAE与ABFAEBF，可探求ABM中【分析】要证的大小关系时，DF与CE的度数，通过正确识图分析，把已知条件巧妙转化判断线段中寻求相等的数量关系，再依据、BCFADE先探求DE与CF的大小关系，可在Y ABCD对边相等的性质过渡求证 ），【解】（1）方法一：如图（8-2Y 180， DABABC在ABCD中，ADBC， EFDC、，2BAE DABAEBF分别平分DAB和ABC，M ABFABC2BA 90

7、，即BAEABF2BAE2ABF1808-2 BF AEABM90 P，BC、AE相交于点方法二：如图（8-3），延长Y APB DAP在ABCD中，ADBC，P DAPPABAE平分DAB， EFDC. BP ABAPBPAB M BF，即AEABC， APBFBF平分AB CE，是相等关系，即DF（2）线段DF与CE8-3Y DEAEAB中，CDAB在，ABCD DEADAEEAB 平分又AEDAB， DAE BC同理可得 CFDEADY CFBC，DE又在中，ABCDAD CEEF，即DFDEEFCF【说明】本题考查了平行四边形的性质、角平分线的定义、垂直的定义、等腰三角形的 2）问也是

8、一道开放性试题性质等知识的综合应用，同时本题的第（绕，若将ABCABAC已知如图（3 8-4），在ABC中，例A 得到FEC180点C顺时针旋转180 与BF有何关系？说明理由；（1）猜想AEEBC2 的面积；，求四边形）若ABC面积为3cmABFE（28-4 ABFE为矩形？说明理由3（）当ACB为多少度时，四边形F，其实旋转变FCB【分析】根据图形旋转的性质可证ACEYABFE为矩形，可考虑证明C成中心对称；欲判断关于点换后，ABC与FEC 的度数，再探求ACB对角线AFBE ，ACEBCFCECF1（）旋转可知，AC，BC，【解】 ABFEAF，BFAE ，FCBACE 的关系为平行且相

9、等 即AE与BFAEBFSSS?S? 2）由（1）知：CE，又BC（ACEVVBCFVVACEABC2)cm4?12(S?3?SS? 同理，BCFVCEFVABFE四边形 60时，四边形ABFE为矩形（3）当ACBABC60时，CF，四边形ABFE为平行四边形当ACB，理由：BCCEAC 为矩形，四边形ABFEBC为等边三角形AC，AFBE新课标在四边形内容中加强了与对称、平移、旋转几何变换的联系本题【说明】以两图形成对中心对称的特性为背景设计，结合三角形全等、特殊四边形的性质与判断 进行考查教师在复习时要加强几何变换中识图能力的训练 ）所示的四边形ABCD例4 将两张宽度相等的矩形纸片叠放在

10、一起得到如图（8-5 是菱形；）求证：四边形ABCD（1的周长那么菱形ABCD）如果两张纸片的长都是8，宽都是22（DC请请求出来；如果不存在，是否存在最大值或最小值？如果存在， 简要说明理由AB的数量关系，依据有一组邻边相AD、AB【分析】第（1）题寻求）题，动手实验操作寻求等的平行四边形是菱形进行判别；第（28-5互相垂直；对角线重合时，探求两矩形纸片的特殊位置关系 ABCD周长的最大值、最小值菱形 DC，ADBC，AB【解】（1）如图（8-6）， ABCD为平行四边形四边形，EAB，垂足为点F、BF分别过点B、D作AD，DEDC 则DEBFF ADABBAF，RtDAERt，BAFDAE

11、AEB 是菱形四边形ABCD ）存在最大值和最小值（28-6周长最小值为正方形，时，菱形ABCD当DAB90DC 8为； 8-7），AC为矩形纸片的对角线时，设ABx，如图（当AGB172222?x)?x(8?x 中，在RtBCG 48-7 17周长最大值为【说明】本题涉及了菱形的判断、矩形的性质、三角形的全等、勾股定理及函数的综合 应用，考查了学生灵活运用四边形知识识别图形、动手操作探究的能力BC，DEABCD中，ADBC，已知梯形 例5如图（8-8）ADABCD求梯形，ACB3045DBC，于点EDEa 的面积梯形问题一般通过添加辅助线转化为平行四边形和【分析】CEFB8-8 特殊的三角形

12、问题解决 F作DFAC，交BC的延长线于点【解】方法一：过DSS?SS? ，即易知：BDFVDCFVVABDABCD梯形 a?3EF a又DEEFtanF，DBEDBC45，45，BEDE11 2aDE?(1?3)(BE?S?SEF)g BDFVABCD梯形22 ，BC于H）方法二：如图（8-9，过点A作AHDA a3HC? 则AHDEa， DEa45，DBE45，BEDBCCEBH8-91?DE?BC)S?(AD ABCD梯形21?DE)?(BH?HE?ECHE 211 2a3)(1HC)?DE?(BE? 22【说明】方法一：平移腰是研究梯形问题常用方法；方法二：通过作梯形高转化已知条 上述

13、两种解法同样运用了梯形中常见的辅助线的添加方法，渗透了转化的思想件求解； BC10，3ABCD中，ABCD，ABCD，AB 例6已知在等腰梯形 的长DMCA，求AM（1）如果M为AB上一点，如图（8-10），且满足交A，MN，边上移动（点M与AB不重合），且满足DMN）如果点（2M在AB的函数解析式，并写y关于xx，CNy，求，设BC延长线于点N，如图（8-11）AM 的取值范围时，不写推理过程）x出x的取值范围（写BMAMBA321CCDD8-10N8-11 边上移动，运动变化中寻求基本图形，探究出蕴含不变的关系：ABM在【分析】点的数量关系解题与xBMN，通过相似比的转化找出yADMBMC

14、、ADM AB上的两个特殊位置与自变量取值范围的联系应注意点M在 ，BCD中，AB，AABCD【解】（1）在等腰梯形 180，32+DMC+A1+DMCA又，+2 BMCADM，31 x32x?10 x?9?0?设AM， x，则 x310?9x?1x? 9AM的长为或1或，经检验都是原分式方程的根x3?，可得 （2）同理可证ADMBMN 3?y10?x1102x?x?3y?（1x 9） 33【说明】这是一道集等腰梯形、方程、函数、相似形于一体的综合性试题，三角形相似的性质、方程的思想方法是解决该类问题的重要途经 【复习建议】 1关注中考热点，聚焦考查难点 四边形这部分内容中考中常以填空题、选择

15、题、证明题、计算综合题、探究操作题的形式呈现，重点考查平行四边形及特殊平行四边形的性质在实际中的应用、梯形问题及多边形问题的研究方法，还会考查学生的动手操作和实践创新能力，识图、分析、灵活运用几何知识解决实际问题的能力及探索、发现问题的能力，本章内容复习时重点关注一类通过实验、操作探究出简单的几何结论后，再加以证明的新题型，寓意在于揭示四边形在运动状态下几何关系的不变性 2加强知识间的相互联系，提高综合应用能力 平行四边形的性质与判断是本章内容的重点，它是菱形、矩形、正方形的基础和铺垫复习时要注意梳理知识间的衔接与过渡，掌握平行四边形、菱形、矩形、正方形的之间的区别与联系，基础知识不能忽视，复习训练时注意运用特殊四边形的面积公式解决图形的面积计算问题（含应用问题），注意结合平移、翻折、旋转等几何变换，并能根据现实几何情境的需要能进行恰当的操作、说明和逻辑推理，并通过用文字语言的表述进一步深化对四边形的理解，进一步提高学生的综合能力和数学素养 3注重数学思想方法渗透，发展合情推理能力 四边形与三角形都是平面几何的基本图形，复习时可通过将多边形分割，将四边形问题转化为三角形问题，运用平移、对称的有关知识将梯形分割成三角形、平行四边形等熟悉图形，启迪学生在实际问题的转化过程中要善于多角度寻