岩土工程结构可靠度

1、岩土工程结构可靠度岩土工程结构可靠度 李地元李地元 资源与安全工程学院资源与安全工程学院岩土工程结构可靠度岩土工程结构可靠度课程：课程： 32学时学时: 9-14周，每周周，每周3次课（次课（6学时）学时） 2学分学分: 选修课程选修课程 教材：教材：岩土工程结构可靠度岩土工程结构可靠度邓建编著邓建编著 成绩：平时成绩成绩：平时成绩30%：适当的作业和到课：适当的作业和到课 考试成绩考试成绩70%：开卷或闭卷开卷或闭卷待待 定定 教学计划与管理教学计划与管理 所需专业背景知识所需专业背景知识 概率论与数理统计概率论与数理统计 结构设计原理与方法结构设计原理与方法 岩石

2、力学岩石力学 土力学土力学 其它与岩土工程、地下工程的相关设计等其它与岩土工程、地下工程的相关设计等 matlab程序设计程序设计 第一章：绪论第一章：绪论 1.1 引言引言 1.2 岩土工程中的不确定性岩土工程中的不确定性 1.3 可靠度理论与实践的发展可靠度理论与实践的发展 1.4 可靠度分析的目的和程序可靠度分析的目的和程序 岩土工程结构可靠度与岩土工程结构可靠度与 可靠性理论的区别与共可靠性理论的区别与共 同点同点 可靠度是可靠度是“产品或系统在规定条件下和产品或系统在规定条件下和 规定时间内完成规定功能的概率规定时间内完成规定功能的概率”。 可靠性理论侧重于产品或一个系统的可靠度，可

3、靠性理论侧重于产品或一个系统的可靠度， 主要是一些基础理论；岩土工程结构可靠度侧重于主要是一些基础理论；岩土工程结构可靠度侧重于 工程领域应用。工程领域应用。 岩土工程自身也是一系统，其可靠度的计算远岩土工程自身也是一系统，其可靠度的计算远 比单个或一批产品的可靠度计算复杂。比单个或一批产品的可靠度计算复杂。 n1.1 引言引言 岩土工程结构可靠度与岩土工程结构可靠度与 可靠性理论的区别与共可靠性理论的区别与共 同点同点 产品失效率有产品失效率有 浴盆曲线特征；岩浴盆曲线特征；岩 土工程结构失效也土工程结构失效也 有浴盆曲线特征，有浴盆曲线特征， 只不过其中间段一只不过其中间段一 般比较长，特

4、征不般比较长，特征不 明显而已。明显而已。 想过快乐生活，需要高超技术 n技术高，才能站得高， n站得高，才安全性高！ n技术包括很多种专业技术熟练，处理 人际关系策略，各种娱乐的技术，提高 做事效率的技术，等等技术 2.心理学是让人快乐的技术 n乐观、积极、进取、勇敢、勤劳、自信 n所有的事情都是人干的，所以人心理都 是相通的，了解自己的心理，就可以认 识别人的心理。彼此了解，就会增加互 信互助，心有烦恼可以分担，好事可以 分享。这样心理就健康，工作效率就高 岩土工程结构可靠度与岩土工程结构可靠度与 可靠性理论的区别与共可靠性理论的区别与共 同点同点 彩色电视机的平均寿命为彩色电视机的平均寿

5、命为15000小时，假设其服从小时，假设其服从 指数分布，如果我们每天使用指数分布，如果我们每天使用2小时，小时，5年的可靠度年的可靠度 和和10年的可靠度各为多少？年的可靠度各为多少？解解 产品产品 可靠可靠 度计度计 算算 一土坡工程，得出状态函数：一土坡工程，得出状态函数： 已知正压力均值为已知正压力均值为100kpa，标准差，标准差20kpa，土的磨，土的磨 擦角均值为擦角均值为35度，标准差度，标准差5度，土的粘结力均值度，土的粘结力均值 50kpa，标准差，标准差10kpa。求该土坡的安全度。求该土坡的安全度。 岩土岩土 工程工程 可靠可靠 度计度计 算算 tanfc 传传 统统

6、工工 程程 结结 构构 设设 计计 早期的工程结构设计一般采用早期的工程结构设计一般采用容许应力法容许应力法。 容许应力法是按照结构构件的截面计算应力不大容许应力法是按照结构构件的截面计算应力不大 于规定的材料容许应力的原则，它要求在荷载作于规定的材料容许应力的原则，它要求在荷载作 用下，结构或构件某截面应力不超过材料的容许用下，结构或构件某截面应力不超过材料的容许 应力。应力。 r rs s 结构面应力容许应力为材料强度， 为安全系数。 随着工程结构分析方法的发展，出现了破损随着工程结构分析方法的发展，出现了破损 (或破坏或破坏)阶段设计法。破损阶段设计法与容许应力阶段设计法。破损阶段设计法

7、与容许应力 法的主要区别在于考虑材料的塑性性质，计算截法的主要区别在于考虑材料的塑性性质，计算截 面或构件在塑性状态下的承载能力。面或构件在塑性状态下的承载能力。 安全系数法安全系数法 工工 程程 结结 构构 设设 计计 容许应力法容许应力法 破损阶段破损阶段 设计法设计法 (a)应力-应变模型(b)损伤模型 mazars损伤模型 p u p p 0 . 1 u d (a)应力-应变模型(b)损伤模型 loland损伤模型 p p u p d 0 . 1 u p d 安全系数法安全系数法 安安 全全 系系 数数 法法 优优 缺缺 点点 通常认为安全系数大于通常认为安全系数大于1，结构安全；安全

8、系数小，结构安全；安全系数小 于于1，结构将产生失稳。安全系数法由于使用方便，应，结构将产生失稳。安全系数法由于使用方便，应 用时间较长、应用范围也比较广。用时间较长、应用范围也比较广。 但长时间的实践也证明，安全系数法具有局限性，但长时间的实践也证明，安全系数法具有局限性， 表现在：表现在： (1)由于安全系数是根据经验确定的数值，使结构由于安全系数是根据经验确定的数值，使结构 设计非常粗糙。设计非常粗糙。 (2)安全系数法不能作为度量结构可靠度的统一尺安全系数法不能作为度量结构可靠度的统一尺 度。例如：强度均值相同，方差不同的材料，计算的度。例如：强度均值相同，方差不同的材料，计算的 安全

9、系数一样，但安全度不会一样。安全系数一样，但安全度不会一样。 (3)加大结构的安全系数，不一定能按比例地增加加大结构的安全系数，不一定能按比例地增加 结构的安全度。结构的安全度。 安安 全全 系系 数数 法法 固固 有有 缺缺 限限 传统的安全系数法设计没有考虑到如下的事实：传统的安全系数法设计没有考虑到如下的事实： 材料性能、构件尺寸以及结构的荷载都是随机的几材料性能、构件尺寸以及结构的荷载都是随机的几 何量或物理量，而不是确定的单值量。如岩土的强何量或物理量，而不是确定的单值量。如岩土的强 度测试离散性很大度测试离散性很大(如果正态分布，方差很大如果正态分布，方差很大)，结构，结构 构件尺

10、寸测量，各次测量的结果肯定有误差。安全构件尺寸测量，各次测量的结果肯定有误差。安全 系数法只是把这些不确定量用一个笼统的安全系数系数法只是把这些不确定量用一个笼统的安全系数 掩盖起来。掩盖起来。 为克服这些缺点，人们发展一门新的学科为克服这些缺点，人们发展一门新的学科 工程结构可靠度工程结构可靠度。 工程结构可靠度定义工程结构可靠度定义 工程结构可靠度工程结构可靠度是在规定的时间内、在规定的条是在规定的时间内、在规定的条 件下，工程结构完成预定功能能力。可靠度是从件下，工程结构完成预定功能能力。可靠度是从概率概率 的角度对可靠性的定量描述。可靠度设计是以承认结的角度对可靠性的定量描述。可靠度设

11、计是以承认结 构有失效构有失效(或破坏或破坏)的可能性为前提的。的可能性为前提的。 (1)半经验半概率法半经验半概率法-对影响结构可靠度的某些参数进对影响结构可靠度的某些参数进 行数理统计分析，并与经验相结合，然后引入某些经行数理统计分析，并与经验相结合，然后引入某些经 验系数。该法对结构可靠度还不能作出定量的估计。验系数。该法对结构可靠度还不能作出定量的估计。 (2)近似概率法近似概率法-一次二阶矩法，它采用概率论的方法一次二阶矩法，它采用概率论的方法 对结构可靠度进行计算，不过不是采用精确的计算方对结构可靠度进行计算，不过不是采用精确的计算方 法，而是采用近似的方法计算结构的可靠度，是目前

12、法，而是采用近似的方法计算结构的可靠度，是目前 结构可靠度实际计算中应用最多的方法。结构可靠度实际计算中应用最多的方法。 (3)全概率法全概率法-是完全基于概率论的结构可靠度精确分是完全基于概率论的结构可靠度精确分 析法。计算比较复杂，目前还很少直接使用该方法。析法。计算比较复杂，目前还很少直接使用该方法。 工工 程程 结结 构构 设设 计计 方方 法法 1.2 岩土工程中的不确定性岩土工程中的不确定性 岩土工程的介质很复杂。以岩体为例，岩体是地岩土工程的介质很复杂。以岩体为例，岩体是地 质体的一部分，这种地质体中存在着大量的结构面，质体的一部分，这种地质体中存在着大量的结构面， 如节理，裂隙

13、，断层等，具有非常复杂的力学特性；如节理，裂隙，断层等，具有非常复杂的力学特性； 以土介质为例，土体的含水率不同，内部孔隙及结构以土介质为例，土体的含水率不同，内部孔隙及结构 各异，所表现的力学性质各异，所表现的力学性质(如强度如强度)千差万别。千差万别。 岩土工程地质条件及岩体性质参数具有不确定性，岩土工程地质条件及岩体性质参数具有不确定性， 岩土工程中的不确定性主要表现在三个方面：岩土工程中的不确定性主要表现在三个方面： (1)岩土本身固有的不均匀性；岩土本身固有的不均匀性； (2)统计所带来的不确定性；统计所带来的不确定性； (3)模型不准确引模型不准确引 起的不确定性。起的不确定性。

14、(1) 岩土自身固有的不均匀性岩土自身固有的不均匀性 岩土介质与其它材料介质的最根本区别是它的性质岩土介质与其它材料介质的最根本区别是它的性质 和结构的不均匀性。和结构的不均匀性。 a、岩体中裂隙分布的不确定性：岩体中存在着大量、岩体中裂隙分布的不确定性：岩体中存在着大量 结构面结构面(断层和节理断层和节理)。(照片照片)(in2) 节理裂隙调查节理裂隙调查(in3) b、岩体力学性质的不确定性：岩体是非均质的各、岩体力学性质的不确定性：岩体是非均质的各 向异性体，各点间的性质往往有较大差异，同一试样在向异性体，各点间的性质往往有较大差异，同一试样在 相同试验条件下测定其强度，结果也表现出一定

15、的离散相同试验条件下测定其强度，结果也表现出一定的离散 性。性。(岩石力学试验岩石力学试验in4) (岩石力学试验结果岩石力学试验结果in5) c、所受载荷的不确定性：地下岩体工程的结构所受、所受载荷的不确定性：地下岩体工程的结构所受 的载荷是多种多样的，同时也具有不确定性，如岩石容的载荷是多种多样的，同时也具有不确定性，如岩石容 重、地应力、地下水、地震、爆破震动、降雨等，这些重、地应力、地下水、地震、爆破震动、降雨等，这些 载荷很难用确定性指标描述，它们都是随机变量载荷很难用确定性指标描述，它们都是随机变量 (2) 统计所带来的不确定性统计所带来的不确定性 目前人们对岩体性质参数的掌握主要

16、方法是通过现场目前人们对岩体性质参数的掌握主要方法是通过现场 取样，实验室测试，然后统计推断而得到，使得结果不可取样，实验室测试，然后统计推断而得到，使得结果不可 避免地带有不确定性。具体表现在：避免地带有不确定性。具体表现在： (a)岩体本身固有的性质和结构的不均匀性，使得少量岩体本身固有的性质和结构的不均匀性，使得少量 的试验难以得出岩体力学参数，由此产生不确定性；的试验难以得出岩体力学参数，由此产生不确定性； (b)取样和测试过程中，测试环境条件的变化以及测取样和测试过程中，测试环境条件的变化以及测 试方法的不一致等，都使结果有差异；试方法的不一致等，都使结果有差异； (c)从实验室试验

17、的力学参数，推断岩体力学参数，这从实验室试验的力学参数，推断岩体力学参数，这 就使结果具有很大的不确定性。就使结果具有很大的不确定性。 不同的人，不同的单位对同一工程进行力学计算，所不同的人，不同的单位对同一工程进行力学计算，所 计算的结果有很大的差异，这完全不奇怪。计算的结果有很大的差异，这完全不奇怪。 (3) 模型不准确引起的不确定性模型不准确引起的不确定性 岩土工程的设计和分析是通过数学模型或模拟岩土工程的设计和分析是通过数学模型或模拟(例如例如 公式、方程、算法、计算模拟程序等公式、方程、算法、计算模拟程序等)来实现一组输入变来实现一组输入变 量或基本变量与所要求的输出量之间的联系。量

18、或基本变量与所要求的输出量之间的联系。 岩体力学模型可以采用弹性力学模型；损伤力学模型；岩体力学模型可以采用弹性力学模型；损伤力学模型； 弹塑性力学模型；流变力学模型等。弹塑性力学模型；流变力学模型等。 采用有限元进行力学计算是通过输入岩体的弹性模型采用有限元进行力学计算是通过输入岩体的弹性模型 参数、体重、粘结力参数、内摩擦角参数、抗压强度等，参数、体重、粘结力参数、内摩擦角参数、抗压强度等， 得出工程岩体的变形量，应力分布，工程中各点的安全系得出工程岩体的变形量，应力分布，工程中各点的安全系 数等结果。采用不同的模型进行计算，结果肯定不同。数等结果。采用不同的模型进行计算，结果肯定不同。

19、e (4) 岩土工程可靠度研究的必要性岩土工程可靠度研究的必要性 岩土工程中存在的不确定性，使人们对用安全系数来岩土工程中存在的不确定性，使人们对用安全系数来 表示安全程度产生了疑问。岩土工程中的不确定性导致了表示安全程度产生了疑问。岩土工程中的不确定性导致了 目前岩土力学分析难以满足工程实际要求。目前岩土力学分析难以满足工程实际要求。 鉴于复杂岩土具有不确定性，以往沿用的鉴于复杂岩土具有不确定性，以往沿用的“确定确定”参参 数和安全系数概念已不完全适用，确定性模型不足以概括数和安全系数概念已不完全适用，确定性模型不足以概括 复杂的岩石力学特性，可靠性理论有可能为岩石力学提供复杂的岩石力学特性

20、，可靠性理论有可能为岩石力学提供 更合适的分析手段。更合适的分析手段。 可靠度分析方法对现有数据资料进行概率统计分析，可靠度分析方法对现有数据资料进行概率统计分析， 使许多不确定性因素定量化。使许多不确定性因素定量化。 以上分析说明：采用可靠性理论研究岩土工程无疑具以上分析说明：采用可靠性理论研究岩土工程无疑具 有重要的意义。有重要的意义。以随机可靠性理论为基础对工程结构进行以随机可靠性理论为基础对工程结构进行 极限状态设计是工程结构设计理论的一个重大发展。极限状态设计是工程结构设计理论的一个重大发展。 1.3 可靠度理论及可靠度标准的发展可靠度理论及可靠度标准的发展 可靠度的研究早在可靠度的

21、研究早在1930年代就开始，当时主要是围绕飞机失年代就开始，当时主要是围绕飞机失 效进行研究。可靠度在工程结构设计中的应用大概从效进行研究。可靠度在工程结构设计中的应用大概从1940年代开年代开 始。在我国，结构可靠性问题的研究始于始。在我国，结构可靠性问题的研究始于1950年代中期。于年代中期。于1984 年提出的年提出的建筑结构设计统一标准建筑结构设计统一标准采用国际上正在发展和推行采用国际上正在发展和推行 的以概率统计理论为基础的极限状态设计方法。的以概率统计理论为基础的极限状态设计方法。1985年建筑科学年建筑科学 研究院会同建工、铁道、公路、港工、水工等五大部门，开始编研究院会同建工

22、、铁道、公路、港工、水工等五大部门，开始编 制全国的制全国的“工程结构可靠度设计统一标准工程结构可靠度设计统一标准”。同时，铁路工程结。同时，铁路工程结 构、公路工程结构、港口工程结构、水利水电工程结构可靠度设构、公路工程结构、港口工程结构、水利水电工程结构可靠度设 计统一标准陆续开始编制。计统一标准陆续开始编制。 建筑结构可靠度设计统一标准建筑结构可靠度设计统一标准(gb50068-2001)、 公路工程结构可靠度设计统一标准公路工程结构可靠度设计统一标准(gb/t50283-1999)、 港口工程结构可靠度设计统一标准港口工程结构可靠度设计统一标准(gb50158-92)、 水利水电工程结

23、构可靠度设计统一标准水利水电工程结构可靠度设计统一标准(gb50199-94)和和 铁路工程结构可靠度设计统一标准铁路工程结构可靠度设计统一标准(cb50216-94)相继建立，相继建立， 使工程结构可靠度设计有据可依。使工程结构可靠度设计有据可依。 岩土工程可靠度理论与实践的发展岩土工程可靠度理论与实践的发展 n岩土工程的可靠性问题研究明显落后于 结构工程。 n岩土工程可靠度分析有许多应用领域， 如边坡、采矿、隧道、挡土墙、地基、 桩基、大坝等 (岩土工程的几个照片）。 n我国岩土工程可靠性研究开始于70年代 末80年代初，主要集中在土坡、地基、 桩基、隧道等工程。 1.4 工程结构可靠度研

24、究目的及研究步骤工程结构可靠度研究目的及研究步骤 工程结构可靠度分析的目的大概可分为三类：工程结构可靠度分析的目的大概可分为三类：(1)已知已知 结构尺寸、荷载、材料特性以及目标可靠指标，校核结构结构尺寸、荷载、材料特性以及目标可靠指标，校核结构 的可靠度；的可靠度；(2)校核现行规范，给出规范中有关系数所对校核现行规范，给出规范中有关系数所对 应的安全水准；应的安全水准；(3)在给定目标可靠指标下，计算现行规在给定目标可靠指标下，计算现行规 范设计式中的系数，得出具有新的分项系数下的设计表达范设计式中的系数，得出具有新的分项系数下的设计表达 式，以供设计使用。式，以供设计使用。 工程结构可靠

25、度分析步骤具体包括：工程结构可靠度分析步骤具体包括：(1)确定工程的可确定工程的可 靠度分析模式；靠度分析模式；(2)基本变量数据的搜集；基本变量数据的搜集；(3)基本变量的基本变量的 概率模型及统计参数；概率模型及统计参数；(4)建立工程极限状态方程；建立工程极限状态方程；(5)计计 算可靠度与可靠指标，并进行决策。算可靠度与可靠指标，并进行决策。 第二章：工程随机数据的采集与处理第二章：工程随机数据的采集与处理 工程随机数据的采集工程随机数据的采集 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 随机过程及其最大值分布随机过程及其最大值分布 工程随机数据的处理方法工程随机数据的处理方法 工程结构

26、的可靠性分工程结构的可靠性分 析，首先需要确定工程结析，首先需要确定工程结 构基本变量和参数展现出构基本变量和参数展现出 来的随机信息，对基本变来的随机信息，对基本变 量和参数建立起适宜的概量和参数建立起适宜的概 率模型，方可用于可靠性率模型，方可用于可靠性 分析。分析。 可靠性分析过程是基可靠性分析过程是基 本变量的随机信息采集、本变量的随机信息采集、 处理、模拟和应用过程。处理、模拟和应用过程。 随机信息采集、处理、模拟和应用过程随机信息采集、处理、模拟和应用过程 2.1 工程随机数据的采集工程随机数据的采集 1、试验与观测方法、试验与观测方法 (1)真实情况的实测与观察真实情况的实测与观

27、察 这是利用近现代的各种测量与观察工具来获得随机变量这是利用近现代的各种测量与观察工具来获得随机变量 样本数据的一种方法。例如深部的地应力可通过实测获得。样本数据的一种方法。例如深部的地应力可通过实测获得。 当所需的样本容量较大时，将花费大量的人力和财力，有时当所需的样本容量较大时，将花费大量的人力和财力，有时 需要作破坏性的试验。需要作破坏性的试验。 (2)标准试件的试验标准试件的试验 这是在实验室进行的一种专门试验。例如对某种岩石的这是在实验室进行的一种专门试验。例如对某种岩石的 标准试件做单轴抗压试验，以确定岩石单轴抗压强度的概率标准试件做单轴抗压试验，以确定岩石单轴抗压强度的概率 分布

28、。分布。 (3)模拟实验模拟实验 这是基于相似原理的一种试验方法。用这种实验方法所这是基于相似原理的一种试验方法。用这种实验方法所 获得的数据真实性较差。由于对一些复杂产品及大型工程系获得的数据真实性较差。由于对一些复杂产品及大型工程系 统难以进行现场测试，就可以采用这种方法，它具有良好的统难以进行现场测试，就可以采用这种方法，它具有良好的 经济性。模拟实验可分为物理模拟和数学模拟经济性。模拟实验可分为物理模拟和数学模拟(数值模拟或计数值模拟或计 算机模拟算机模拟)两种。两种。 2.1 工程随机数据的采集工程随机数据的采集 2、工程估计方法、工程估计方法 (1)当测试结果近似正态分布，且均值为

29、当测试结果近似正态分布，且均值为x时，根据时，根据 经验选取随机变量的变异系数经验选取随机变量的变异系数x，用，用“3”原则，可估算原则，可估算 出该随机变量的标准差出该随机变量的标准差x、最小值、最小值xmin和最大值和最大值xmax minmax ;3;3 xxxxxxx xx (2)如果已给出数据的偏差，如果已给出数据的偏差，xx，可用，可用“3”原则，原则， 可估算出该随机变量的均值可估算出该随机变量的均值x和标准差和标准差x ;/3 xx xx (3)如果已知数据的变动范围如果已知数据的变动范围xmin， ，xmax，可估算出 ，可估算出 该随机变量的均值该随机变量的均值x和标准差和

30、标准差x maxminmaxmin ()/2;()/6 xx xxxx 2.1 工程机数据的采集工程机数据的采集 2、工程估计方法、工程估计方法 (4)如果已知数据最小值为如果已知数据最小值为xmin，变异系数为，变异系数为x，数据，数据 小于小于xmin的概率为的概率为p，可估算出该随机变量的均值，可估算出该随机变量的均值x min 1 1 ( ) x x x z zp 1 随机变量的类型随机变量的类型 在实际问题中，常用的随机变量有在实际问题中，常用的随机变量有离散型随机变量离散型随机变量和和连连 续型随机变量续型随机变量两种类型：两种类型： (1)如果随机变量所可能取的值能够一一列出来，

31、即它的如果随机变量所可能取的值能够一一列出来，即它的 取值是有限个或无限个但可列出来，则称取值是有限个或无限个但可列出来，则称x为离散型随机变为离散型随机变 量。如掷骰子，出现的点数量。如掷骰子，出现的点数x是能够一一列出来的是能够一一列出来的(x=1， x=2，x=6)，x是一个离散型随机变量是一个离散型随机变量。 (2)如果随机变量如果随机变量x的所有可能取值充满某个区间的所有可能取值充满某个区间(a,b）。）。 a可以是可以是-，b可以是可以是+ ，则称，则称x为连续型随机变量。如一为连续型随机变量。如一 批零件的测量直径，规定其偏差不超过批零件的测量直径，规定其偏差不超过1mm，则偏差

32、是一个，则偏差是一个 连续型随机变量。连续型随机变量。 2.2 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 2 离散型随机变量的概率分布离散型随机变量的概率分布 (1) 分布律分布律 对于离散型随机变量对于离散型随机变量x，其概率分布就是指它的概率，其概率分布就是指它的概率 分布律，简称分布律。离散型随机变量分布律，简称分布律。离散型随机变量x的一个可能取值，的一个可能取值， 它取该值的概率为它取该值的概率为pi，则，则x的分布律可用下式表示：的分布律可用下式表示： () ii p xxp 离散型随机变量离散型随机变量x的分布律满足以下两条性质：的分布律满足以下两条性质： (1)x的每个取值的概

33、率的每个取值的概率a非负；非负； (2)x的所有可能取值对应的概率之和为的所有可能取值对应的概率之和为1，即，即pi=1。 判断离判断离 散型随散型随 机变量机变量 的条件的条件 2.2 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 (2) 累积分布函数或分布函数累积分布函数或分布函数 累积分布函数定义：累积分布函数定义：x取值不大于取值不大于x的概率为累积分布函数的概率为累积分布函数 或分布函数，离散型随机变量或分布函数，离散型随机变量x的分布函数可表示为：的分布函数可表示为： ( )()() i i xx f xp xxp xx 离散型随机变量的分布函数离散型随机变量的分布函数f(x)具有以下

34、三条性质：具有以下三条性质： (1)f(x)是不连续的，是一个非减的跳跃函数；是不连续的，是一个非减的跳跃函数； (2)f(- )=0，f(+ )=1; (3) 0f(x)1。 例如：例如： 2.2 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 3 连续型随机变量的概率分布连续型随机变量的概率分布 (1) 分布密度函数分布密度函数 连续型随机变量的取值充满某个区间连续型随机变量的取值充满某个区间(a， b)，可以证明：连续型随机变量取任一确定值，可以证明：连续型随机变量取任一确定值 的概率为的概率为0，即，即p(x=c)=0，c(a,b)。因此连续。因此连续 型随机变量的概率分布就不能用分布律来描

35、述。型随机变量的概率分布就不能用分布律来描述。 实际上，我们只有知道实际上，我们只有知道x在任一区间上取值的在任一区间上取值的 概率，才能掌握其概率分布规律，所以必须引概率，才能掌握其概率分布规律，所以必须引 入分布密度函数的概念。入分布密度函数的概念。 2.2 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 连续型分布密度函数的性质连续型分布密度函数的性质 (1)( )0 (2)( )1 f x f x dxf xx ，即概率密度曲线 ( )与 轴所形成的面积为1 分布密度函数分布密度函数f(x)在任一点在任一点xo 处的函数值处的函数值f(xo)不是概率而是分布不是概率而是分布 密度。密度。 随

36、机变量随机变量x落在一个区间落在一个区间a,b 上的概率等于分布密度函数上的概率等于分布密度函数f(x)在在 该区间上的定积分，即该区间上的定积分，即 ()( ) b a p axbf x dx 2.2 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 (2) 连续型随机变量分布函数连续型随机变量分布函数 ( )()( ) x f xp xxf t dt 由右图不难得出：由右图不难得出： ()( )( )( ) b a p axbf t dtf bf a 2.2 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 分布函数分布函数f(x)具有以下性质：具有以下性质： 1. f(x)是一个单调不减的函数；是一个单

37、调不减的函数； 2. 0f(x) 1; 3. f(x)是右连续函数是右连续函数 2.3 离散型随机变量常用的分布离散型随机变量常用的分布 (1) 0-1分布或两点分布分布或两点分布 即：即：p(x=1)=p，p(x=0)=1-p 0p1 (2) 二项分布二项分布 二项分布所解决的问题：二项分布所解决的问题： 二项分布适用于一次试验中只能出现两种结果的场合，二项分布适用于一次试验中只能出现两种结果的场合， 如成功与失败，或命中与未命中，次品与合格品等，这两种如成功与失败，或命中与未命中，次品与合格品等，这两种 结果的事件分别用结果的事件分别用a与与 表示，设它们发生的概率分别为表示，设它们发生的

38、概率分别为 p(a)=p，p( )=1-p，现在独立地重复做，现在独立地重复做n次试验，那么在次试验，那么在n 次试验中事件次试验中事件a恰好发生恰好发生k次的概率是多少次的概率是多少? a a 2.3 离散型随机变量常用的分布离散型随机变量常用的分布 knkk n qpckxp )( (注：注：p+q=1) 例如例如 如果用如果用x表示在表示在n次重复试验中事件次重复试验中事件a发生发生 的次数，显然，的次数，显然，x是一个随机变量，是一个随机变量，x的可能取的可能取 值为值为0,1,2,n，则随机变量，则随机变量x的分布律为：的分布律为： ( )( )1( )1 kkn k nn p kc

39、 p qpp aqp ap 随机变量随机变量x的取值不大于的取值不大于k次的累积分布函数为：次的累积分布函数为： 0 ( )() k rrn r n r f kp xkc p q 二项分布是一种离散型分布，广泛应用于可靠性二项分布是一种离散型分布，广泛应用于可靠性 和质量控制领域。和质量控制领域。 如检验一批产品是否合格常用二如检验一批产品是否合格常用二 项分布来计算。项分布来计算。 (3) 泊松分布泊松分布 () (0,1,2,3,0) ! np ek k n k 在二项式分布中，如果lim常数 ，则二项式分布变为： p(x=k)=， (0,1, ) ! 200.5 k kn k npp q

40、ekn k npnp k n 当 很大， 很小时，有：c 其中：，实践表明，当，时，近似程度比较好 随机变量随机变量x的取值不大于的取值不大于k次的累积分布函数为：次的累积分布函数为： 0 ( )() ! r k r f kp xke r 例题例题 05次的累积分布函数次的累积分布函数 (1) 均匀分布均匀分布 a a 2.4 连续型随机变量常用的分布连续型随机变量常用的分布 0 ( )( ) t f tf x dx (1) 均匀分布均匀分布 2.4 连续型随机变量常用的分布连续型随机变量常用的分布 标准差标准差/ 均值均值 (2) 正态分布正态分布 实际上就是随机变量均值，实际上就是随机变量

41、均值， 为标准差。如果对一个随机变量为标准差。如果对一个随机变量 进行试验，得出了该随机变量的均进行试验，得出了该随机变量的均 值值和标准差和标准差，用上式即可得出，用上式即可得出 随机变量的分布密度函数。由式：随机变量的分布密度函数。由式： 可得出该随机变量的分布函数。可得出该随机变量的分布函数。 ( )( ) t f tf x dx 2.4 连续型随机变量常用的分布连续型随机变量常用的分布 (2) 正态分布正态分布 2.4 连续型随机变量常用的分布连续型随机变量常用的分布 正态分布的数学期望是：正态分布的数学期望是：e(x)=， 方差为：方差为：d(x)=2 2 2 1 ( )( ) 2

42、x tt tt dtedx 分布密度函数：分布密度函数： 分布函数：分布函数： (2) 正态分布正态分布 2.4 连续型随机变量常用的分布连续型随机变量常用的分布 由正态分布变成标准正态分布由正态分布变成标准正态分布 在正态分布公式中令在正态分布公式中令z=(t-)/，可将随机变，可将随机变 量量x标准化，标准化后的随机变量标准化，标准化后的随机变量z服从标准正服从标准正 态分布。则：态分布。则： t=+z ( )() t z 分布函数： (2) 正态分布正态分布 2.4 连续型随机变量常用的分布连续型随机变量常用的分布 由于标准正态分布曲线是唯由于标准正态分布曲线是唯 一的，通常将一般正态分

43、布进行一的，通常将一般正态分布进行 标准化后，查标准正态分布表，标准化后，查标准正态分布表， 即可得出正态分布的概率。即可得出正态分布的概率。 例题例题 由标准正态表由标准正态表 (z)=0.95 反查得反查得z=1.64485 z= (x-)/ x= +z (2) 正态分布的特征正态分布的特征 2.4 连续型随机变量常用的分布连续型随机变量常用的分布 (2) 正态分布的特征正态分布的特征 2.4 连续型随机变量常用的分布连续型随机变量常用的分布 (2) 正态分布的特征正态分布的特征 2.4 连续型随机变量常用的分布连续型随机变量常用的分布 (2) 正态分布的特征正态分布的特征 2.4 连续型

44、随机变量常用的分布连续型随机变量常用的分布 (2) 正态分布的特征正态分布的特征 2.4 连续型随机变量常用的分布连续型随机变量常用的分布 标准正态分布的近似计算标准正态分布的近似计算 (a)由由x计算计算(x) (2) 正态分布的特征正态分布的特征 2.4 连续型随机变量常用的分布连续型随机变量常用的分布 标准正态分布的近似计算标准正态分布的近似计算 (a)由由(x) 计算计算x，即：，即：(x) 的值求的值求x 例题例题 一结构体支承在一结构体支承在a、b、c三个点上，虽然能精确三个点上，虽然能精确 计算由结构体传至三个支点上的荷载，但在计算由结构体传至三个支点上的荷载，但在a、b和和c

45、点的土壤情况却不清楚。假设点的土壤情况却不清楚。假设a、b和和c三点的沉降量三点的沉降量 a、b、c 为独立的正态变量，经测得其均值分别为为独立的正态变量，经测得其均值分别为2、 2.5和和3cm，其变异系数分别为，其变异系数分别为20%、20%和和25%。 求该结构体最大沉降超过求该结构体最大沉降超过4cm的概率是多少的概率是多少? (max4)1(max4) 1(4)(4)(4) 1(4) (4) (4) 4242.543 1()()() 2*20%2.5*20%3*25% 0.0925 abc abc pcmpcm pcmcmcm pcm pcm pcm 解： xxx 注意：注意：、是随

46、机变量的是随机变量的 对数的均值和标准差。对数的均值和标准差。 注意：注意：、是对数的是对数的 均值和标准差。均值和标准差。 该分布的意义是通过该分布的意义是通过 对数变换，可以使较对数变换，可以使较 大的数缩小为较小的大的数缩小为较小的 数，常用于把几个数数，常用于把几个数 量级的数据用对数分量级的数据用对数分 布去拟合分析。布去拟合分析。 注意其与正态注意其与正态 分布的区别分布的区别 (3) 对数正态分布对数正态分布 2.4 连续型随机变量常用的分布连续型随机变量常用的分布 (3) 对数正态分布对数正态分布 2.4 连续型随机变量常用的分布连续型随机变量常用的分布 f(x) (3) 对数

47、正态分布对数正态分布 2.4 连续型随机变量常用的分布连续型随机变量常用的分布 例题例题 设一个蓄水池处，年总降雨量服从均值为设一个蓄水池处，年总降雨量服从均值为7.28，标准差为，标准差为 0.25的对数正态分布，统计单位为的对数正态分布，统计单位为mm。求：。求：(1)在今后年在今后年 代里，年降雨量在代里，年降雨量在1000mm至至1750mm的概率是多少？的概率是多少？(2) 年降雨量至少为年降雨量至少为750mm的概率是多少？的概率是多少？ ln17507.28ln10007.28 (1) (10001750)()() 0.250.25 (0.75)( 1.48)(0.75)1(1.

48、48)0.7039 (2) (750)1(750) ln7507.28 ()1( 2.64) 0.25 1 1( 2.64)0.9958 px p xp x 解： (4) 指数分布指数分布 2.4 连续型随机变量常用的分布连续型随机变量常用的分布 0 ( )( ) t f tf x dx 例例 题题 2.5 极值型分布极值型分布 在结构可靠度分析中，极值随机变量的概在结构可靠度分析中，极值随机变量的概 率分布及其统计参数特别有用，比如对结构抗率分布及其统计参数特别有用，比如对结构抗 力要研究其极小值的概率分布，对于结构荷载力要研究其极小值的概率分布，对于结构荷载 则要研究其在设计基准内最大值的

49、概率分布，则要研究其在设计基准内最大值的概率分布， 如结构材料的最小强度值，桥可能承载的最大如结构材料的最小强度值，桥可能承载的最大 载荷。载荷。 (1) 极值型随机变量的确切分布极值型随机变量的确切分布 2.5 极值型分布极值型分布 ( ) ( )( ) df t f tf t dt 相互独立 (1) 极值型随机变量的确切分布极值型随机变量的确切分布 2.5 极值型分布极值型分布 ( ) ( )( ) df t f tf t dt 相互独立 (1) 极值型随机变量的渐进分布极值型随机变量的渐进分布 2.5 极值型分布极值型分布 a、指数型原始分布、指数型原始分布极值极值i型分布型分布 指数型

50、分布的概率密度函数的导数满足条件指数型分布的概率密度函数的导数满足条件 ( )( ) limlim 1( )( ) xx f xfx f xf x 0 2 ( )( )1 ( )( ) limlimlimlim 1( )( ) x xx xx xx xxxx f xef xf t dte f xefxe f xef xe 证明：，则 ( ) 指数分布、正态分布、对数正态分布等都是指数型分布指数分布、正态分布、对数正态分布等都是指数型分布 (1) 极值型随机变量的渐进分布极值型随机变量的渐进分布 2.5 极值型分布极值型分布 a、指数型原始分布、指数型原始分布极值极值i型分布型分布 极值极值i型

51、分布的分布函数为：型分布的分布函数为： (1) 极值型随机变量的渐进分布极值型随机变量的渐进分布 2.5 极值型分布极值型分布 b、哥西型原始分布、哥西型原始分布极值极值ii型分布型分布 (1) 极值型随机变量的渐进分布极值型随机变量的渐进分布 2.5 极值型分布极值型分布 c、有界型原始分布、有界型原始分布极值极值iii型分布型分布 (1) 极值型随机变量的渐进分布极值型随机变量的渐进分布 2.5 极值型分布极值型分布 极值极值i型、极值型、极值ii型和极值型和极值iii型分布的相互转换型分布的相互转换 设办公楼楼面活载荷的统计参数分别为设办公楼楼面活载荷的统计参数分别为 =38620kpa

52、，=17810kpa。经检验，此活荷载服。经检验，此活荷载服 从极值从极值i型分布，求其分布函数。型分布，求其分布函数。 例题例题 0.5772 0.00007230603.33 6 ( )exp exp 0.000072(30603.33)f xx 解： 随机变量的分布函数完整地描述了随机变量随机变量的分布函数完整地描述了随机变量 的统计规律，然而在一些实际问题中要确定一个的统计规律，然而在一些实际问题中要确定一个 随机变量的分布函数却是非常困难的，而且有一随机变量的分布函数却是非常困难的，而且有一 些实际问题，并不要求全面考察随机变量的统计些实际问题，并不要求全面考察随机变量的统计 规律，

53、而只需知道它的某些特征，因而并不需要规律，而只需知道它的某些特征，因而并不需要 求出它的分布函数求出它的分布函数 随机变量往往可以用一个或几个数字来描述随机变量往往可以用一个或几个数字来描述 其分布的性态，这种数字称为随机变量的数字特其分布的性态，这种数字称为随机变量的数字特 征征(或统计参数或统计参数)。数字特征虽不能完整地描述它的。数字特征虽不能完整地描述它的 统计规律，但已反映出随机变量在某些方面的重统计规律，但已反映出随机变量在某些方面的重 要特征，它们在理论和实践上都具有重要的意要特征，它们在理论和实践上都具有重要的意 义常用的数字特征有义常用的数字特征有期望，方差、标准差、变期望，

54、方差、标准差、变 异系数、偏度系数，峰度系数和矩异系数、偏度系数，峰度系数和矩。 2.6 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 1、期望、期望(均值均值) 2.6 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 2、方差、方差 2.6 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 3、标准差、标准差 2.6 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 4、变异系数、变异系数 方差、标准差和变异系数均反方差、标准差和变异系数均反 应随机变量的离散程度。应随机变量的离散程度。 5、矩、矩 2.6 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 0 ( )( ) t f tf x dx 6、偏度系数和峰度系数、偏度系数和峰度系数 2

55、.6 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 7、协方差和相关系数、协方差和相关系数 2.6 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 若x与y相互独立，则有ex-e(x)y-e(y)=0 7、协方差和相关系数、协方差和相关系数 2.6 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 当当(x,y)是离散型随机变量，分布律是离散型随机变量，分布律p(x=xi,y=yj)=pij，协方差为：，协方差为： 8、多维随机变量的数字特征、多维随机变量的数字特征 2.6 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 8、多维随机变量的数字特征、多维随机变量的数字特征 2.6 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 8、多维随机变

56、量的数字特征、多维随机变量的数字特征 2.6 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 设随机变量设随机变量x1、x2、x3相互独立，其中相互独立，其中x1在在0,6上上 服从均匀分布，服从均匀分布，x2服从服从=0.5的指数分布，的指数分布，x3服从服从 =3的泊松分布，记的泊松分布，记y=x1-2x2+3x3，求，求d(y)。 例题例题 1 2 1 2 22 3 123 123 123 (60) ()3 12 11 ()4 0.5 ()3 x x x ()(23) ()4()9()3449346 x d x d x d x d yd xxx d xd xd x 解：因在0,6服从均匀分布，其方

57、差为 同理： 由于相互独立，随机变量y的方差为： 2 ()( )( ) ()( )( ) ()( )35 e x ye xey dx ydxdy dkx ck dxp 页 设随机变量设随机变量x服从均值为服从均值为1，方差为，方差为4的正态分布，的正态分布， 且且y=1-3x，求，求e(y)和和d(y)。 习题习题1 经室内试验，测定某工程岩石抗拉强度分别为：经室内试验，测定某工程岩石抗拉强度分别为： 10.3 15.2 8.4 12.2 18.5 7.8 11.2 13.6 求该批岩石抗拉强度的均值，方差，标准差，变异求该批岩石抗拉强度的均值，方差，标准差，变异 系数，系数，2阶原点矩，偏度

58、系数和峰度系数。阶原点矩，偏度系数和峰度系数。 习题习题2 研究某个随机事件，所有能观测的结果的全体研究某个随机事件，所有能观测的结果的全体 称为总体或母体。称为总体或母体。由观察得到总体指标由观察得到总体指标x的一组数的一组数 值值(x1，x2，xn)，其中，其中xi为第为第i次观察结果，并称次观察结果，并称 (x1，x2，.，xn)为总体为总体x的一组容量为的一组容量为n的的样本样本观察观察 值。值。 随机数据处理的基本问题是，通过已获得的样随机数据处理的基本问题是，通过已获得的样 本观察值来了解和判断总体本观察值来了解和判断总体(随机事件随机事件)的统计特征，的统计特征， 其中最主要的是

59、确定它的概率分布其中最主要的是确定它的概率分布(概率密度函数或概率密度函数或 概率分布函数概率分布函数)和数字特征值。对两个或两个以上的和数字特征值。对两个或两个以上的 相关随机事件，还要确定它们之间的相关性。相关随机事件，还要确定它们之间的相关性。 2.7 工程随机数据的处理方法工程随机数据的处理方法 2.7.1 以数值形式定义分布的方法以数值形式定义分布的方法 以数值形式定义已知样本数据的概率分布的方法有：直以数值形式定义已知样本数据的概率分布的方法有：直 方图法和经验分布法。用数值形式定义的分布属于一种无参方图法和经验分布法。用数值形式定义的分布属于一种无参 数的概率密度函数。数的概率密

60、度函数。 (1)、直方图密度估计、直方图密度估计 概率密度估计方法的直方图法可描述如下：概率密度估计方法的直方图法可描述如下： 将整个实轴分成将整个实轴分成m个小区间个小区间ai，ai+1)，i=1,2,.,m。设在。设在 区间区间ai， ai+1)内有内有ni个样本，即个样本，即(x1，x2，xn)中有中有ni个落个落 在区间在区间ai， ai+1)内。根据频率逼近概率的思想，可用内。根据频率逼近概率的思想，可用ni /n去去 估计总体分布在区间估计总体分布在区间ai， ai+1)上的概率，而在区间上的概率，而在区间ai， ai+1) 上的概率密度估计上的概率密度估计 2.7 工程随机数据的