高中数学初高衔接第三讲 一元二次方程(必上)

1、第三讲一元二次方程根与系数的关系现行初中数学教材主要要求学生掌握一元二次方程的概念、解法及应用，而一元二次方程的根的判断式及根与系数的关系，在高中教材中的二次函数、不等式及解析几何等章节有着许多应用本节将对一元二次方程根的判别式、根与系数的关系进行阐述一、一元二次方程的根的判断式一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)，用配方法将其变形为：bb2-4ac(x+)2=2a4a2(1)当b2-4ac0时，右端是正数因此，方程有两个不相等的实数根：x=-bb2-4ac2a1,2=-(2)当b2-4ac=0时，右端是零因此，方程有两个相等的实数根：xb2a(3)当b2-4ac0，原方程有两个不相等的实

2、数根(2)原方程可化为：4y2-12y+9=0=0d=(-12)-449，原方程有两个相等的实数根(3)原方程可化为：5x2-6x+15=040k13；(2)4-12k=0k=13；1(3)4-12k0k；31(4)4-12k0k0时，右端是正数因此，方程有两个不相等的实数根：2x=-bb2-4ac2a1,2=-(2)当b2-4ac=0时，右端是零因此，方程有两个相等的实数根：xb2a所以x=即x=1或-2【典例】解一元二次方程x2+x-2=0解：由d=b2-4ac=90所以原方程有两个不相等的实数根-bb2-4ac-19-13=2a22练：解一元二次方程（1）x2-4x-12=0（2）2x2

3、+x-6=0（3）-4x2+5x-1=0三、一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的两个根为：-b+b2-4ac-b-b2-4acx=,x=2a2a所以：x+x=12-b+b2-4ac-b-b2-4acb+=-，2a2aa2a2a(2a)24a2aa12a-b+b2-4ac-b-b2-4ac(-b)2-(b2-4ac)24accxx=12定理：如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的两个根为x,x，那么：12bcx+x=-,xx=12说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为”韦达定理”上述定理成立的前提是d0【例3

4、】若x,x是方程x2+2x-2007=0的两个根，试求下列各式的值：12(1)x2+x2；(2)1211+；xx12(3)(x-5)(x-5)；(4)|x-x|1212分析：本题若直接用求根公式求出方程的两根，再代入求值，将会出现复杂的计算这里，可以利用韦达定理来解答解：由题意，根据根与系数的关系得：x+x=-2,xx=-20071212(1)x2+x122=(x+x)2-2xx=(-2)2-2(-2007)=401812123(2)xxxx-200720071212x+x11-22+=12=(3)(x-5)(x-5)=xx-5(x+x)+25=-2007-5(-2)+25=-19721212

5、12(4)|x-x|=(x-x)2=(x+x)2-4xx=(-2)2-4(-2007)=2200812121212说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：xxxxx2+x122=(x+x)2-2xx，1212121211x+x+=12，(x-x)2=(x+x)2-4xx，121212|x-x|=(x+x)2-4xx，xx2+x2x=xx(x+x)，12121212121212x3+x3=(x+x)3-3xx(x+x)等等韦达定理体现了整体思想12121212练：若x,x是方程2x2+5x-3=0的两个根，试求下列各式的值12（1）x+x12（2）xx12(3)x2+x2；12x(

6、3)1x11+；(4)(x-5)(x-5)；122练习a组(5)|x-x|121一元二次方程(1-k)x2-2x-1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是()ak2bk2,且k1ck2,且k12若x,x是方程2x2-6x+3=0的两个根，则1211+的值为()xx12a2b-2c192d23已知菱形abcd的边长为5，两条对角线交于o点，且oa、ob的长分别是关于x的方程x2+(2m-1)x+m2+3=0的根，则m等于()a-3b5c5或-3d-5或34若t是一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根，则判别式d=b2-4ac和完全平方式4m=(2at+b)2的关系是()ad=mbdmc

7、d0，关于x的方程x2-(m-2n)x+1mmn=0有两个相等的的正实数根，求的值4n13已知关于x的一元二次方程x2+(4m+1)x+2m-1=0(1)求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；(2)若方程的两根为x,x，且满足12111+=-，求m的值xx21214已知关于x的方程x2-(k+1)x+1k2+1=0的两根是一个矩形两边的长4(1)k取何值时，方程存在两个正实数根？(2)当矩形的对角线长是5时，求k的值b组1已知关于x的方程(k-1)x2+(2k-3)x+k+1=0有两个不相等的实数根x,x12(1)求k的取值范围；(2)是否存在实数k，使方程的两实根互为相反数？如果存在，求出k的值；如果不存在，请您说明理由52已知关于x的方程x2+3x-m=0的两个实数根的平方和等于11求证：关于x的方程(k-3)x2+kmx-m2+6m-4=0有实数根3若x,x是关于x的方程x2-(2k+1)x+k2+1=0的两个实数根，且x,x都大于11212(1)求实数k的取值范围；(2)若x1=x212，求k的值第三讲一元二次方程根与系数的关系习题答案a组1b2a3a4a5a6a+c=