难点突破：立体图形的外接球与内切球问题

1、2018届高三数学第一轮复习教学案18：难点突破：立体图形的外接球与内切球问题一、基础知识与概念：1球的截面：用一个平面去截球，截面是圆面；用一个平面去截球面，截面是圆；大圆：截面过球心，半径等于球半径（截面圆中最大）小圆：截面不过球心2球心和截面圆心的连线垂直于截面3球心到截面的距离d与球半径r及截面圆半径r的关系：r2=d2+r24几何体的外接球：几何体的顶点都在球面上；几何体的内切球：球与几何体的各个面都相切二、多面体的外接球（球包体）模型1：球包直柱（直锥）：有垂直于底面的侧棱（有垂底侧边棱）球包球径公式：r=+r2，直柱球包正方体球包长方体球包四棱柱球包三棱柱h22（r为底面外接圆半

2、径）球包直三棱锥四锥棱锥r速算模型2：“顶点连心”锥：锥体的顶点及球心在底面的投影都是底面多边形外接圆的圆心（两心一顶连成线）实例：正棱锥球径计算方程：(h-r)2+r2=r2h2-2hr+r2=0r=h2+r22h，（h为棱锥的高，r为底面外接圆半径）特别地，（1）边长为a正四面体的外接球半径：r=_（2）底面边长为a，高为h的正三棱锥的外接球半径：r=_（3）底面边长为a，高为h的正四棱锥的外接球半径：r=_例：1（2017年全国卷iii第8题）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为4capb3pp2dp4【解析】模式辨识：球包体”中的“垂底侧边

3、棱（母线）类型，h=1，r=1，底面半径为r，则由r=+r2h2得：12=+r2r2=，v=pr2h=“”21233p2442（2010年全国新课标卷第10题）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为3c113d5pa2apa27bpa2pa2a，r2=+r2=+=【解析】“球包体”中的“垂底侧边棱”类型，h=a，r=33h2a2a27a224312，7a27a2=所以该球的表面积s=4pr2=4p答案b1233（2014年全国大纲卷第8题）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为4b16pa81pc9pd27p4【

4、解析】模式辨识：“球包体”中的“顶点连心锥”，h=4，r=2，则r=222h2+r216+29=，2h84所以s=4pr2=4p8181p=，答案：a1644（2013年全国卷i第6题）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为a5003cm3b8663cm3c13723cm3d20483cm3【解析】设水面与球的接触点（切点）为p，球心为o，则po垂直于正方体的上表面，依题意p到正方体上表面的距离为h2，球与正方体上表面相交圆的半径r4，有：r22r2r2，r244500

5、r3r5，所以球的体积v433三、定心大法：球心在过截面圆的圆心且垂直于截面圆所在平面的直线上两圆定心法：如下图，过两个截面圆的圆心分别作相应截面圆的垂线，由两垂线的交点确定圆心例2：1已知边长为23的棱形abcd中，60，现沿对角线bd折起，使得二面角abdc为120，此时点a，b，c，d在同一个球面上，则该球的表面积为（）a20b24c28d322在矩形abcd中，ab4，bc3，沿ac将矩形折成一个直二面角bacd，则四面体abcd的外接球的体积为_3在边长为1的菱形abcd中，bad60，沿对角线将菱形折成直二面角abdc，则三棱锥abcd的外接球的表面积为_四、正多面体的内切球（体中

6、球）锥体的内切球：圆锥的内切球：边长为a的正方体：等边圆柱（母线a）：边长a的正八面体：2r=r=_r=r=aa2r=五、正多面体的“切边球”（与所有的棱都相切的球）bc=8，aa=3，则v的最大值是正四面体边长为a，球半径r=正方体边长为a，球半径r=正四面体边长为a，球半径r=例3：1一个球的外切正方体的全面积为6，则球的体积为_2某圆锥的截面为边长为2的正三角形，则该圆锥的内切球的表面积为_3（2016年全国卷iii第10题）在封闭的直三棱柱abc-abc内有一个体积为v的球，若abbc，ab=6，11112c6pa4pb9pd32p3【解析】考查直三棱柱中截面的内切圆为球的大圆的情景，

7、有(6+8+10)r=68r=2aa31=22，故当球半径为344279p=时球的体积最大为v=pr3=p答案b23382练习：1（2015年全国卷ii第9题）已知a，b是球o的球面上两点，aob=90，c为该球面上的动点，若三棱锥o-abc体积的最大值为36，则球o的表面积为a36pb64pc144pd256p2（2016年福建漳州市5月质检）三棱锥s-abc中，sb平面abc，sb=5，dabc是边长为3的正三角形，则三棱锥s-abc的外接球的表面积为（a3pb5p）c9pd12p3（2014年湖南卷）一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半

8、径等于（）a1b2c3d4（42013年辽宁卷理10）已知三棱柱abc-abc的6个顶点都在球o的球面上，若ab=3，ac=4，abac，111aa=12，则球o的半径为（1）2b2102d310a317c13（52012年全国新课标卷第11题）已知三棱锥s-abc的所有顶点都在球o的球面上，dabc是边长为1的正三角形，sc为球o的直径，且sc=2，则此棱锥的体积为6ba236c23d226在正三棱锥p-abc中，pa=pb=pc=3，侧棱pa与底面abc所成的角为60，则该三棱锥外接球的体积为（）3c4papbpd4p37已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该

9、球的体积为（）3b4pa32pc2pd4p38（2017年福建省质检）空间四边形abcd的四个顶点都在同一球面上，e、f分别是ab、cd的中点，且efab,efcd，若ab=8,cd=ef=4，则该球的半径等于16b2d65a6526528c659若三棱锥p-abc的最长的棱pa=2，且各面均为直角三角形，则此三棱锥的外接球的体积是_10（2008年高考浙江卷理14）已知球o的面上四点a、b、c、d，da平面abc，abbc，da=ab=bc=3，则球o的体积为_11（2016年东北三省三校联考）三棱柱abc-abc各顶点都在一个球面上，侧棱与底面垂直，acb=120，111ca=cb=23，aa=4，则这个球的表面积为_112在三棱柱abc-abc中，侧棱aa垂直底面，acb=90，bac=30，bc=1，且三棱柱abc-abc1111111的体积为3，则三棱柱abcabc的外接球表面积为_11113在正三棱锥sabc中，m，n分别是棱sc、bc的中点，且ammn，若侧棱sa23，则正三棱锥sabc外接球的表面积是_14在三棱锥abcd中，abcd2，adbc5，acb