等差数列的有关极值问题

1、 等差数列（三）等差数列（三） 有关最值问题有关最值问题 练习：练习： n a n s n an mn ss nm s 1.1.已知数列已知数列是等差数列，是等差数列， 是数列是数列 的前的前 项和，若项和，若 ，则，则 )(mn 法法1. 1. 法法2. 2. 法法3.3. 8 6 4 2 -2 -4 -6 -8 -10-5510 一、关于数列的基本运算的方法有：一、关于数列的基本运算的方法有： 1.1.设出数列的公差和首项，然后列出方程设出数列的公差和首项，然后列出方程 （组）解出（组）解出; ; 2.2.利用等差数列的性质解题利用等差数列的性质解题. . 二、体现出的数学思想二、体现出的

2、数学思想: 1.函数与方程的思想函数与方程的思想; 2. 整体处理的思想整体处理的思想. 1. 1. 首项为正数的等差数列首项为正数的等差数列 n a 问此数列前多少项之和最大？问此数列前多少项之和最大？ ，它的前，它的前3 3项之和与前项之和与前1111项项 之和相等，之和相等， n a0 1 a 1121321 aaaaaa 0 1154 aaa 0)(4 87 aa n a 7 a 8 a 7 a 8 a 0 7 a0 8 a 解法一：因为数列解法一：因为数列为等差数列，且为等差数列，且 ，即，即 , 8796105114 aaaaaaaa ，由题可知此数列为，由题可知此数列为 由于由于

3、 所以所以 由于数列由于数列为递减的等差数列，且为递减的等差数列，且与与为相邻两项，为相邻两项， 与与 必不全为必不全为0 0，故，故， 即此数列前即此数列前7 7项之和最大项之和最大. . 递减数列，且递减数列，且 所以所以 n a0 1 a , 13 2 2 1011 11 2 23 3 111 ad d a d a 0 k a0 1 k a 5 . 75 . 6 0) 13 2 (1 0) 13 2 )(1(1 k k k 解法二：设数列解法二：设数列为等差数列，其中首项为等差数列，其中首项 公差公差d d，则由题意知：，则由题意知： 设当设当n=kn=k时，时，且且，即，即 所以所以k

4、=7k=7，即数列第，即数列第7 7项最大项最大. . n a 113 ss , 0 2 13 2 1011 11 2 23 3 111 dadada 0d )14( 22 ) 1( 2 13 2 ) 1( 2 1 nn d d nn ndd nn nas n 49)7( 2 2 n d 0d .7 7最大 时，当sn 解法三：设数列解法三：设数列 的公差为的公差为d d，则由题意可知，则由题意可知 ，即，即 n a )(. 2 nfbnans n 113 )11() 3(sffs )(nf 7 2 113 n n a n a 0a 7n 7 s 解法四：由于数列解法四：由于数列为等差数列，所

5、以设它的前为等差数列，所以设它的前n项和项和 由题意可知由题意可知 可知可知 对称轴为对称轴为 又由题意可知数列又由题意可知数列 为首项为正数公差小于为首项为正数公差小于0的，的， 为递减数列，故为递减数列，故 由二次函数的性质可知当由二次函数的性质可知当时时 最大最大. 所以数列所以数列 n a总结：在求等差数列总结：在求等差数列的前的前n n项和的最大值或最小值时，项和的最大值或最小值时， 我们要充分利用数列与函数的关系分析解决问题，我们要充分利用数列与函数的关系分析解决问题， 因而有如下方法：因而有如下方法： , 1 nn ss即递减即递减 0 n a0 n a 0 n a, 1 nn

6、ss0 n a 或（或（）成立的最大的）成立的最大的n n即可。即可。 时，时，即递增，当即递增，当时，时， 3.3.通项法：求使通项法：求使 这是因为：当这是因为：当 nn 1.1.二次函数法：用求二次函数的最值方法来求其前二次函数法：用求二次函数的最值方法来求其前n n项和的最值，项和的最值， 但要注意的是：但要注意的是： n s2.2.图象法：利用二次函数图象的对称性来确定图象法：利用二次函数图象的对称性来确定n n的值，使的值，使 取得最值取得最值; ; n a ,84 4 a n s . 0, 0 1110 ss 0 n a , 321n ssss 2.等差数列等差数列中，公差为中，

7、公差为d，前前n项和为项和为，且，且 （1）求）求d的取值范围的取值范围; 的最小自然数的最小自然数n的值的值; 求求m的取值范围的取值范围. （3）设集合）设集合 （2）求使得）求使得 中，元素的最大值为中，元素的最大值为m， , 0 2 1011 11 0 2 910 10 843 1 1 1 da da da 4256d . 0, 011 2 11)( 66 111 11 aa aa s 0, 0, 0)(5 2 10)( 56565 101 10 aaaaa aa s n ad , 0 0 n a , 321n ssss 5 s ddas5420105 15 ,700630,4256

8、5 sd )700,630( 解：（解：（1）由）由解得解得 （2） 随随n增大而减小，增大而减小， 使使 的最小自然数的的最小自然数的n为为6. 中中最大，最大， 即即m的取值范围为的取值范围为 (3)由（由（2）知，在）知，在 n a n b ),( * 21 nnaaab nnnn n b n s n a, 083 125 aa n s 3. 3. 设数列设数列是等差数列，数列是等差数列，数列满足满足 的前的前n n项和用项和用表示，若表示，若中满足中满足 试问试问n n多大时，多大时，取得最大值，证明你的结论取得最大值，证明你的结论. . 51255 51 38,38(7 ), 567

9、6 ,0, 55 aaaad d adad n a 1 76 (1)0 0, 5 0,76 0. 5 n n dnd a a dnd 即 11 1516 55 n , 0. 0. 0, 0,16 18171616171615151617 aaabaaabaan , 1131514 ssss , 16151514 ssss . 0 5 9 , 0 5 6 1815 dada , 1815 aa 最大中故即 16141616151615 ,. 0,ssssbbbb n 解：解： 故故是首项是正数的递减数列。是首项是正数的递减数列。 解得解得 n a 12003200420032004 0,0,.0

10、aaaaa 0 n s 练习：练习：1. 若若 是等差数列，首项是等差数列，首项 ，则使前，则使前n项和项和 a4005 b4006 c4007 d4008 成立的最大自然数成立的最大自然数n是：是：（ ）b n a n s0 1 a 3m mm sa n s n a nn as nn as nn as nn as 2.等差数列等差数列的前的前n项和为项和为，且，且，若存在自然数，若存在自然数 ，使得，使得 ，当，当nm时，时，与与 的大小关系为的大小关系为 （ ） b. c. d. a. 方法一方法一. . nn as , 0 121321 mmmm aaaaaaaas n aa , 0 1

11、 )0( , 0 11 daa m 2 ) 1()( 2 ) 1)( 1111 ndmnaanaa as mn nn , 0 2 ) 1()( ndmn 是递减数列且是递减数列且 方法二：方法二： a n a k s m n s n m s nm , nm s 3. m,n为不相等的正整数，等差数列为不相等的正整数，等差数列的前的前k项和为项和为，若，若 ，则，则 a. 必大于必大于4 b. 必小于必小于4 c. 可能等于可能等于4 d.不能判断与不能判断与4的大小的大小 的值为的值为 （a） , 2 ) 1( , 2 ) 1( 11 m n d nn nas n m d mm mas nm , 2 1 1 mn nm d nm a 42 )( 2 )1)( )( 2 1 m n n m mn nm d nmnm anms nm 解法一：解法一： 两式相减得两式相减得 解法二解法二: 利用数列利用数列 n s n 为等差数列来解决为等差数列来解决