圆锥曲线方程知识点总结

1、 8.圆锥曲线方程知识要点、椭圆方程.|PFlPF2I =2a方程为椭圆，|PF1 +|PF2I =2a 伞冋无轨迹,1.椭圆方程的第一定义:|P Fl PF2I =2a =卩店2|以F1,F2为端点的线段椭圆的标准方程：i.中心在原点，焦点在x轴上:2 2“57ii.中心在原点，焦点在y轴上:22笃+笃“an)a b2 2一般方程：Ax +By /(AT, BT)X = a cos日椭圆的标准方程:（一象限日应是属于的参数方程为I八bsin日0* 2I pF=e(xo+?) =a+exo(XoYo),| pF J =&十 f)之冷利x。)归结起来为).顶点：或（0,也）（俎0）.轴：对称轴：

2、x轴，y轴；长轴长2a，短轴长2b.焦点:(Y,0)(C,0)或(0,Y)(0,C).焦距:IF1F2I =2c,c=Ja2422 2 a, a准线:X =亠y = c或 c离心率：却3）焦点半径:i.设p（xo，yo）为椭圆2 2+ =1(a A b A 0)a2 b2 ()上的一点，Fi,F2为左、右焦点，则PFi=a + exo, PF 2=a 一 exo=2 j 乂 ii.设xoy。）为椭圆b222 =1(a f 0) a+ eyo, PF 2上的一点，Fl,F2为上、下焦点，贝yPFi=aey戸由椭圆第二定义可知:“左加右减”.注意：椭圆参数方程的推导：得N(acos8,bsin8)

3、T方程的轨迹为椭圆.2b 2yX=1(a,b 0),七一2 =1(a,b 0)ab ( b2)b2通径：垂直于X轴且过焦点的弦叫做通经.坐标：二孑(c,a和(c,T)2 2的离心率是X y + 丄？ =1(a Ab A0) 共离心率的椭圆系的方程：椭圆a2 b2()c e aFf)的离心率也是 2我, 2 2e=a(gaR),方程詁* (t是大于0的参数，们称此方程为共离心率的椭圆系方程2 2若P是椭圆：0+*上的点.Fi,F2为焦点，若NFiPf9，贝F1F2的面积b2t 9为b怡右(用余弦定理与|PFi|+iPF2|=2a 可得)、双曲线方程.|PFjI PF2I =2|F1f2方程为双曲

4、线|PFi| PF2I =2a a|FiF2|无轨迹1.双曲线的第一定义:|P FjI PF 21 =2|F1F2|以F1,F2的一个端点的一条射线双曲线标准方程:22X y2 -7? a b般方程：AxyUz)i.焦点在x轴上:顶占：(a,O),(p,O) 隹占：(c,O),(p,O)2、八、八、八、准线方程2x=a-0c渐近线方程：a b 或2 2x y _oii. 焦点在y轴上:2顶点：（Oyga）.焦点：（o，c）,（oT）.准线方程：y渐近线方程：a-Voy2 x2rx = asec0Jx = bta nS或，参数方程： b=btanT或ty=ase旳.轴x,y为对称轴，实轴长为2a

5、,虚轴长为2b，焦距2c.c e 离心率a2a2准线距 W （两准线的距离）；c2 = a2 +b2,6 = 2参数关系a焦点半径公式：对于双曲线方程（Fi，F2分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点）“长加短减”原则：（与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，而 双曲线不带符号）MFiMF 2=exo 怡|mFi| = exoa 构成满足 lMFMF 2 =2a|mF2| 4YXo+a-exo -aMF 1MF 2M F 1M F 2=ey o a=ey o +a+ a=-ey o=ey o-aFi等轴双曲线:x2r2=均2称为等轴双曲线，其渐近线方程为y=x，离心率e =2 .

6、共轭双曲线:以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.2 2 2一严“与孑一b2 一儿互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线:2 2x yP才0a b共渐近线的双曲线系方程:X2 y2 _ _X2 y2訐一訐”仏HO）的渐近线方程为-产=0如果双曲线的渐近线为30时，它的双曲线方程可设为1 1例如：若双曲线一条渐近线为 y=0X且过P（32），求双曲纟X221解：令双曲线的方程为：，代入（3，2）得-12 2 x _y T TT a b=A H 0)y3？1X3直线与双曲线的位置关系:区域：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计 2条;区域：即定点在双曲线上，1条切

7、线，2条与渐近线平行的直线，合计 3条;区域：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计 4条;区域：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计2条;区域：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线小结：1.过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条.2.若直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入“直法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号2 2若P在双曲线詁一詁F，则常用结论PFiePF3e(4ac-b2 b )注：ay%y+c=x顶点(4a 杰)3.设pF，抛物线的标准方程、类型及其几何性质:1：从双曲线一个焦点到另一条

8、渐近线的距离等于b.di _ dl2：P到焦点的距离为m= n,则P到两准线的距离比为 m： n.简证：三、抛物线方程.y2 =2px(pH0)则焦点半径PFBx+P四、圆锥曲线的统一定义4.圆锥曲线的统一定义:平面内到定点F和定直线l的距离之比为常数e的点的轨迹.当OYeY1时，轨迹为椭圆;当e =1时，轨迹为抛物线；当er时，轨迹为双曲线；当e=0时，轨迹为圆，当 c=O,a =b 时).5.圆锥曲线方程具有对称性.例如：椭圆的标准方程对原点的一条直线与双曲线的交点是关于原点对称的.因为具有对称性，所以欲证AB=CD,即证AD与BC的中点重合即可.注：椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性

9、质椭圆双曲线抛物线定义1.到两定点F1,F2的距 离之和为定值2a（2a|F1F2|）的点的轨迹1.到两定点F1,F2的 距离之差的绝对值为 定值 2a（02a|F1F2|） 的点的轨迹2.与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.（0e1）与定点和直线 的距离相等的 点的轨迹.方程标 准 方 程2 2a2 b2(aAb0)2 2-丄a2 b2(a0,b0)y2=2px参lx =a cos8 y =bs in 日 （参数日为离心角）x = asecP y = bta n 日 （参数日为离心角）x = 2 pt21厂2 pt (t为数方程参数）范围axa,b y0中心原点0(0, 0)原点0( 0, 0)顶点(a,0),(a,0),(0,b) ,(0, b)(a,0),(a,0)(0,0)对称轴x轴，y轴；长轴长2a,短轴长2bx轴，y轴；实轴长2a,虚轴长2b.x轴隹占八、八、F1(c,0),F2(c,0)F1(c,0),F2(c,0)f（o）焦距2c(c=Ja2 -b2 )2c(c=Ja2 +b2 )离心率ce= 一(0 e c1)ace = (e A1)ae=1准线2+a x= c2+a x= cX 卫2渐近线y= ax焦半径r = a exr = 土(ex a)r=x+卫2通径2b2a2b2a2p