大学物理第5章角动量守恒定律

1、大学物理第大学物理第5章角动量守恒定律章角动量守恒定律 5.1 质点的角动量 角动量定理 1.质点的角动量 L rp r mv 称为质点相对参考点O的 角动量或动量矩 m L r p O sinsinrmvrpL 第5动量 角动量守恒定律 大学物理第大学物理第5章角动量守恒定律章角动量守恒定律 大学物理第大学物理第5章角动量守恒定律章角动量守恒定律 大学物理第大学物理第5章角动量守恒定律章角动量守恒定律 例：求从A点自由下落质点在任意时刻的角动量 vm r o R r A 任意时刻 t， 有 2 2 1 t gr t gmvmp （1） 对 A 点的角动量 0 3 2 1 ggmtprLA R

2、rr （2） 对 O 点的角动量 prRprL O )(t gmRpR gR RmgtL O m 大学物理第大学物理第5章角动量守恒定律章角动量守恒定律 2. 质点的角动量定理 角动量的时间变化率 dt pd rp dt rd pr dt d dt Ld )( v mvrF 力矩 定义：对O点力矩 MrF 质点的角动量定理 dL M dt rF 大小 Fr 质点对某固定点所受的合外力矩等于它对该点角动量的 时间变化率 sinFrM F r r M O A 大学物理第大学物理第5章角动量守恒定律章角动量守恒定律 3角动量守恒定律 0 外 M 则 0 dL dt 或 L 常矢量 若对某一固定点，质

3、点所受合外力矩为零，, 则质点对该固定点的角动量矢量保持不变。 若 dL M dt 质点的角动量定理 r mv 例：质点做匀速直线运动中，对0点角动量是否守恒？ pmv r L O A r sinrmv o Lrm v 大学物理第大学物理第5章角动量守恒定律章角动量守恒定律 例. 试利用角动量守恒定律: 1) 证明关于行星运动的开普勒定律: 任一行星和太阳之间的联线,在 相等的时间内扫过的面积相等, 即掠面速度不变. (2) 说明天体系统的旋转盘状结构. (1) 行星对太阳O的角动量的大小为 sin t s mrL lim t0 sinmvrprL 其中是径矢 r 与行星的动量 p 或速度 v

4、 之间的夹角. s表示t时间内行星所走过的弧长, 则有 2sinsrsr r 表示从O到速度矢量 v 的垂直距离, 则有 O A v B r S r 用 证明 dt d m t mL lim 0t 22 大学物理第大学物理第5章角动量守恒定律章角动量守恒定律 时间内行 星与太阳间的联线所扫 过的面积, 如图中所示. 其中 是t dt d m t mL t 22 lim 0 d /dt 称为掠面速度. 由于万有引力是有心力, 它对力心O的力矩总是 等于零,所以角动量守恒, L=常量, 行星作平面运 动, 而且 常量 m L dt d 2 这就证明了掠面速度不变, 也就是开普勒第二定律. O A

5、1 v C D B 2 v 1 r S2 r 1 r 2 r 大学物理第大学物理第5章角动量守恒定律章角动量守恒定律 (2)角动量守恒说明天体系统的旋转盘状结构 天体系统的旋转盘状结构 大学物理第大学物理第5章角动量守恒定律章角动量守恒定律 5.2 质点系的角动量定理 mi mj m1 i F j F ji f ij f O i r j r 质点系角动量 1 () n iii i LLrp 第i个质点角动量的时间变化率 () i iiij ij dL rFf dt () iiiij iiij dL rFrf dt MM 外内 M 外ii i rF M 内 () iij iij rf 0 dL

6、M dt 外 质点系的角动量定理 0M 外 时 质点系的角动量守恒 i i LL 常矢量 大学物理第大学物理第5章角动量守恒定律章角动量守恒定律 例.两个同样重的小孩，各抓着跨过滑轮绳子的两端。 一个孩子用力向上爬，另一个则抓住绳子不动。 若滑轮的质量和轴上的摩擦都可忽略，哪一个小 孩先到达滑轮？两个小孩重量不等时情况又如何？ hh m1m2 解：把每个小孩看成一个质点，以滑轮的 轴为参考点，把两个小孩看成一个系统。 此系统的总角动量为)( 21 vvmRL v1左边孩子向上的速度； v2右边孩子向上的速度； 此系统所受外力矩：只有两个小孩所受重力矩， 彼此抵消。 （内力矩不改变系统角动量。）

7、 因此整个系统角动量守恒。 R 大学物理第大学物理第5章角动量守恒定律章角动量守恒定律 设两个小孩起初都不动，即0, 0 02010 t Lvv 以后，虽然 v1 ,v2 不再为零，但总角动量继续为零， 即v1 ,v2 随时保持相等，所以他们将同时到达滑轮。 若两个小孩重量不等，即 21 mm 系统所受外力矩 ,) 12 gRmmM （ 外 系统总角动量 RvmvmL)( 2211 仍设起初两个小孩都不动， 0, 0 02010 t Lvv 由角动量定理 ,)( 12 dt dL gRmmM 外 若0, 0: 21 L dt dL mm 有 212211 , 0vvvmvm轻的升得快； )(

8、21 vvmRL hh m1m2 R 大学物理第大学物理第5章角动量守恒定律章角动量守恒定律 例.光滑水平桌面上放着一质量为 M的木块, 木块与一原长为L0, 劲 度系数为k的轻弹簧相连, 弹簧另 一端固定于O点. 当木块静止于A处时, 弹簧保 持原长, 设一质量为m的子弹以初 速 v0水平射向M并嵌在木块中. 当 木块运动到 B (OBOA)时, 弹簧 的长度为L. M m 0 L L A O B 0 v B v 求木块在B点的速度 vB的大小和方向. 解: (1) m和M相撞时,系统的动量守恒 A vMmmv)( 0 (2) AB, 只有弹力作功, 机械能守恒 2 02 1 2 2 1 2

9、 2 1 )()()(LLkvMmvMm BA (3) AB, 弹力对O点的力矩为零, 对O点角动量守恒 sin)()( 0 LvMmLvMm BA 2/ 1 2 0 2 0 2 2 )( )( Mm LLk v Mm m vB 2 1 2 0 2 0 2 00 )()(arcsin mMLLkvm L vmL k 大学物理第大学物理第5章角动量守恒定律章角动量守恒定律 5.3 刚体的定轴转动 (1)平动: 在运动过程中刚体上 的任意一条直线在各个时 刻的位置都相互平行 A B A BB A 刚体的平动 任意质元运动都代表整体运动 (2) 定轴转动 刚体所有质元都绕一固定直线（定轴）做圆周运动

10、 1.刚体的平动和定轴转动 用质心运动代表刚体的平动 （质心运动定理） 大学物理第大学物理第5章角动量守恒定律章角动量守恒定律 2 用角量描述转动 1) 角位移 : 在 t 时间内刚体转动角度 2)角速度 : 0 lim t d tdt 3)角加速度 : 2 2 0 lim t dd tdtdt z 刚体定轴转动 角速度 的方向按右手螺旋法则确定 大学物理第大学物理第5章角动量守恒定律章角动量守恒定律 vr a 切向分量 t dvd arr dtdt 法向分量 2 2 n v ar r z v O P 线量与角量关系 r dSr d d dS 匀变速直线运动 d dt d dt dS v dt

11、 dv a dt 0 vvat 2 0 1 2 Sv tat 22 0 2vvaS 匀变速定轴转动 0 t 2 0 1 2 tt 22 0 2 大学物理第大学物理第5章角动量守恒定律章角动量守恒定律 5.4 定轴转动刚体的角动量定理 角动量守恒 dL M dt 外 质点系的角动量定理 Z轴分量 z dL M dt z : i m质元 i F 对O点的力矩 ioii MrF oiioiiz rFrF （垂直z轴） ? oiiiiizi rFrFrF i r i r z M i O iz F i F i F z O oi r i m i i v iz r （垂直z轴） iz MM z sin ii

12、i rF ? ziz LL ii r F sin iziii MrF 1.刚体对转轴的力矩和角动量 大学物理第大学物理第5章角动量守恒定律章角动量守恒定律 ioii i Lrmv oii rv ii oii Lm r v sin izi LL i L iz L sin i oi i mr v izi ii Lm rv sin ioi rr i m质元到转轴的垂直距离 ii vr 2 () i i m r 刚体到转轴的转动惯量 2 zi i i Jmr 2 () zi i i Lmr z dL M dt z ? z z dLd MJ dtdt z 对固定轴MJ i r i r z M i O i

13、z F i F i F z O oi r i m i i v iz r z J 大学物理第大学物理第5章角动量守恒定律章角动量守恒定律 2.刚体对定轴的角动量守恒 角动量定理 1 质点由 微分式 M dtdL 积分式 22 11 21 tL tL M dtdLLL 2 质点系由 dt Ld M 外 微分式 M dt dL 外 积分式 22 11 21 tL tL MdtdLLL 外 3 定轴转动刚体 z d JdLd MJ dtdtdt z(轴) 积分 22 11 21 t t MdtJdJJ 轴 这里 i i LL 定轴转动刚体 角动量守恒 0M 轴合外 当时 21 JJ恒量 dL M dt

14、 若转动惯量有变化，则有： 2211 JJ恒量 大学物理第大学物理第5章角动量守恒定律章角动量守恒定律 1.刚体定轴转动定律MJ 轴外 与牛顿第二定律对比 amF 外 刚体到转轴的转动惯量 2 i i i Jmr 转动惯量的物理意义: (1). 刚体转动惯性大小的量度 (2). 转动惯量与刚体的质量有关 (3). J 在质量一定的情况下与质量的分布有关 (4). J与转轴的位置有关 对比刚体的角动量和质点的动量 LJ mvp 与对应m J 5.5 定轴转动刚体的转动定律 转动中的功和能 大学物理第大学物理第5章角动量守恒定律章角动量守恒定律 2.转动惯量的计算 2 i i i Jm r 称为刚

15、体对转轴的转动惯量 对质量连续分布刚体 dmrJ 2 线分布 dxdm 面分布dsdm 体分布 dvdm 是质量的线密度 是质量的面密度 是质量的体密度 大学物理第大学物理第5章角动量守恒定律章角动量守恒定律 例: 一均匀细棒长 l 质量为 m 1) 轴 z1 过棒的中心且垂直于棒 2) 轴 z2 过棒一端且垂直于棒 求: 上述两种情况下的转动惯量 O dxx Z 1 dxdm 解: 设棒质量的线密度 2 2 2 2 12 1 )1 1 mldxxJ l lZ 2 0 2 3 1 )2 2 mldxxJ l z 12 zz JJ 所以只有指出刚体对某轴的转动惯量才有意义 2 l 2 l x d

16、xdm dx O Z 2 l 大学物理第大学物理第5章角动量守恒定律章角动量守恒定律 有关转动惯量计算的几个定理 1） 平行轴定理 2 mhJJ cz h 式中式中: :关于通过质心轴的转动惯量 c J m 是刚体质量, h 是 c 到 z 的距离 z J 是对平行于质心轴的一个轴的转动惯量 z C 大学物理第大学物理第5章角动量守恒定律章角动量守恒定律 2） 转动惯量叠加，如图 CBAz JJJJ 式中: 是A球对z轴的转动惯量 A J B J 是B棒对z轴的转动惯量 c J是C球对z轴的转动惯量 3） 回转半径 任意刚体的回转半径 m J RG 式中: J 是刚体关于某一轴的转动惯量, m

17、 是刚体的质量是刚体的质量 ) ( 2 G RmJ AC z B o 2 z G R 2 l 2 3 1 2 mlJZ m J R Z G 2 例: 73. 1 3 1 2 l m ml G 不是质心 C G 大学物理第大学物理第5章角动量守恒定律章角动量守恒定律 转动惯量的计算 例: 求半径为 R,总质量为 m的均匀圆盘绕垂直于盘面 通过中心轴的转动惯量 如下图: 解: 2 R m dmrJ z 2 dsr R 0 2 R rdrr 0 2 2 R rdr R m r 0 2 2 2 2 2 1 mR R r ds Z 质量面密度 大学物理第大学物理第5章角动量守恒定律章角动量守恒定律 刚体

18、定轴转动定律的应用 R m1 m2 a m1g m2g T 解： 11 m gTma 22 Tm gm a 1212 ()m gm gmm a 12 12 mm ag mm 对否？ T1 T2 T 12 TT否则滑轮匀速转动，而物体加速运动 T1 T2 111 m gTma 222 Tm gm a 12 TR TRJ aR 转动定律 线量与角量关系 2 1 2 JMR 12 12 1 2 mm ag mmM M 例1：质量为M，半径为R的均匀圆盘形定 滑轮上绕一轻绳，绳的两端分别悬挂 质量为m1和m2的物体，m1 m2，滑轮 与轴间无摩擦，绳与滑轮间无相对滑 动。求物体的加速度a 。 大学物理

19、第大学物理第5章角动量守恒定律章角动量守恒定律 l例2.已知：匀质杆m，长 一端O固定，当由水平位置自 由下落到时 求：? F ?F 解： mg C 1 cos 2 Mmgl 质心运动定理 M J 2 1 cos 2 1 3 mgl ml 3 cos 2 g l d dt dd ddt d d 3 cos 2 g l 00 3 cos 2 g dd l 3 sing l 转动定律 1 F 2 F 1 sin n Fmgma 2 cos t mgFma 2 1 2 n al 3 sin 2 g 2 t l a 3 cos 4 g l m O l 大学物理第大学物理第5章角动量守恒定律章角动量守恒

20、定律 1 5 sin 2 Fmg 2 1 s 4 Fmgco 22 12 FFF 2 1 99sin1 4 mg 2 1 cos 10sin F tg F 质心运动定理 1 sin n Fmgma 2 cos t mgFma 2 1 2 n al 3 sin 2 g 2 t l a 3 cos 4 g mg C 1 F 2 F l m O l F 大学物理第大学物理第5章角动量守恒定律章角动量守恒定律 例3:一半径为R，质量为m的匀质圆盘，平放在粗糙的水 平桌面上。设盘与桌面间的摩擦系数为 。令圆盘以 0绕中心轴旋转后，问经过多少时间才停止转动？ 2 R m rrmd2d mgrM z dd mgR 3 2 解: R z rgrM 0 2d 2 0 4 3 g R t R g 3 4 0 ? 0 ? 摩擦力的和? MJ 大学物理第大学物理第5章角动量守恒定律章角动量守恒定律 v O l M m 0 v ? 例4.已知：匀质杆M，长 一端悬挂于固定点O，子弹 m，水平速度 , 射入不复出 l 0 v 求：? 解： 对M， m系统 0M 轴外 系统角动量守恒 2 0 1 3 M mv lmvlJmvlMl vl 0 3 3 vm mM l 射入后瞬间 大学物理第大学物理第5章角动量守恒定律章角动量守恒定律 cos |Fdr cosFrd O