立体几何大题练习文科资料全

1、立体几何大题练习(文科)：BC=CD=侧面SAD丄底面ABCD1.如图，在四棱锥S - ABCD中，底面ABCD是梯形，AB / DC，/ ABC=90,AD=SD ，(1) 求证：平面SBD丄平面SAD ;(2) 若/ SDA=120，且三棱锥 S - BCD的体积为，求侧面厶SAB的面12ABCD，设BC=a，贝U CD=a，AB=2a，运用勾股定理和由线面垂直的判定定理可得 BD丄平面SAD，运用面面垂直的判定定理即可得证；(2)运用面面垂直的性质定理，以及三棱锥的体积公式，求得BC=1，运用勾股定理和余弦定理，可得 SA，SB，运用三角形的面积公式，即可得到所求值.【解答】(1)证明：

2、在梯形 ABCD 中, AB / DC，/ ABC=90，BC=CD=- . 设 BC=a，贝U CD=a，AB=2a，在直角三角形 BCD 中，/ BCD=90, 可得 BD= :.：a，Z CBD=45，Z ABD=45,由余弦定理可得AD= ，则BD丄AD， 由面SAD丄底面ABCD .可得BD丄平面SAD，又BD?平面SBD，可得平面SBD丄平面SAD ;(2)解：/ SDA=120，且三棱锥S - BCD的体积为丰！，由 AD=SD= a,在厶 SAD 中，可得 SA=2SDsin60 = i .a, SAD 的边 AD 上的高 SH=SDsin60 = a ,由SH丄平面BCD，可

3、得解得a=1 ,边SA上的高为的体积公式的运用,以及推理能力和空间想象能力，属于中档题.由BD丄平面SAD，可得BD丄SD ,SB= i：=2a ,又 AB=2a , 在等腰三角形SBA中,=-咕2 ，x SA x 厂匸 a= a=2【点评】本题考查面面垂直的判定定理的运用， 注意运用转化思想，考查三棱锥2 .如图，在三棱锥 A - BCD中，AB丄AD , BC丄BD ,平面ABD丄平面BCD , 点E、F （E与A、D不重合）分别在棱 AD , BD上，且EF丄AD .求证：（1） EF /平面ABC ;(2) AD 丄AC .【分析】(1)利用AB / EF及线面平行判定定理可得结论；(

4、2)通过取线段 CD上点G ,连结FG、EG使得FG / BC，则EG / AC ,利 用线面垂直的性质定理可知 FG丄AD ,结合线面垂直的判定定理可知 AD丄平面 EFG ,从而可得结论.【解答】证明：(1)因为AB丄AD , EF丄AD，且A、B、E、F四点共面， 所以 AB / EF ,又因为EF?平面ABC , AB?平面ABC ,所以由线面平行判定定理可知：EF /平面ABC ;(2)在线段CD上取点G,连结FG、EG使得FG / BC，则EG / AC,因为 BC 丄 BD , FG / BC ,所以FG丄BD ,又因为平面 ABD丄平面BCD ,所以FG丄平面ABD，所以FG丄

5、AD ,又因为AD丄EF，且EF A FG=F ,所以AD丄平面EFG，所以AD丄EG , 故AD丄AC .【点评】本题考查线面平行及线线垂直的判定,考查空间想象能力，考查转化思想，涉及线面平行判定定理，线面垂直的性质及判定定理，注意解题方法的积累, 属于中档题.3 .如图，在三棱柱 ABC - AiBiCi中，CCi丄底面ABC，AC丄CB，点M和N 分别是Bi Ci和BC的中点.(i)求证：MB /平面 ACiN ;【分析】(i)证明MCiNB为平行四边形，所以CiN / MB，即可证明MB /平 面 ACiN;(2)证明AC丄平面BCC iBi，即可证明AC丄MB .【解答】证明：(i

6、)证明：在三棱柱 ABC - AiBiCi中，因为点M，N分别是 BiCi，BC的中点，所以 CiM / BN，CiM=BN .所以MCiNB为平行四边形.所以 CiN / MB .因为CiN?平面ACiN, MB?平面ACiN ,所以MB /平面ACiN ;(2)因为CCi丄底面ABC ,所以AC丄CCi .因为 AC 丄 BC , BC n CCi=C ,所以AC丄平面BCCiBi.因为MB?平面BCC iBi ,所以AC丄MB .【点评】本题考查线面平行的判定，考查线面垂直的判定与性质，考查学生分析 解决问题的能力，属于中档题.4 .如图，在四棱锥P- ABCD中，底面ABCD为直角梯形

7、，AD|BC , PD丄底面ABCD，/ ADC=90, AD=2BC，Q为AD的中点，M为棱PC的中点.(I)证明：PA /平面BMQ ;(U)已知PD=DC=AD=2 ，求点P到平面BMQ的距离.【分析】(i)连结AC交BQ于N，连结MN，只要证明MN / PA，利用线面平行的判定定理可证;（2）由（1）可知，PA /平面BMQ，所以点P到平面BMQ的距离等于点A 到平面BMQ的距离.【解答】解：（1）连结AC交BQ于N，连结MN，因为/ ADC=90, Q为AD的中点，所以N为AC的中点.（2分）当M为PC的中点，即PM=MC 时，MN PAC的中位线，故MN / PA，又MN?平面BM

8、Q，所以PA /平面BMQ .（5分）（2 ）由（1）可知，PA /平面BMQ，所以点P到平面BMQ的距离等于点A到平面BMQ的距离，所以 V P BMQ =V A BMQ =V M ABQ ，取CD的中点K，连结MK，所以MK / PD，皿誌PD二1，7分）又PD丄底面ABCD，所以MK丄底面ABCD .又，PD=CD=2，所以 AQ=1，BQ=2，聪沁,NQ 二 1，（ 10 分）U!所以 Vp BMQ =V A -BMQ =V M - ABQ =二寺 AQ B A 册# 辿二逅，（分）则点P到平面BMQ的距离d=严阿 半（ 12分）【点评】本题考查了线面平行的判定定理的运用以及利用三棱锥

9、的体积求点到直 线的距离.5 .如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1中，BC丄AC，D，E分别是 AB，AC的中占I 八、(1)求证：BiCi /平面 AiDE ;BiCi /平面 AiDE ;（2）证明DE丄平面ACCiAi，即可证明平面 AiDE丄平面ACCiAi.【解答】证明：（i）因为D , E分别是AB , AC的中点，所以DE / BC，（2分） 又因为在三棱柱 ABC - AiBiCi中，BiCi / BC，所以Bi Ci / DE-（ 4分）又 BiCi?平面 AiDE，DE?平面 AiDE，所以 BiCi /平面 AiDE-（ 6 分）（2）在直三棱柱 ABC - AiBi

10、Ci中，CCi丄底面ABC，又DE?底面ABC，所以CCi丄DE-（ 8 分）又BC丄AC，DE / BC，所以DE丄AC，（i0分）又 CCi，AC?平面 ACCiAi，且 CCi n AC=C，所以 DE 丄平面 ACCiAi （i2分）又DE?平面AiDE，所以平面 AiDE丄平面ACCiAi -（i4分）【点评】本题考查线面平行、线面垂直、面面垂直的判定，考查学生分析解决问 题的能力，属于中档题.6 .在四棱锥P-ABCD中，PC丄底面ABCD，M，N分别是PD，PA的中点,AC 丄 AD，/ ACD= / ACB=60, PC=AC .(1)求证：PA丄平面CMN ;(2)求证：AM

11、 /平面PBC .【分析】(1)推导出 MN / AD , PC丄AD , AD丄AC ,从而 AD丄平面 PAC,进而AD丄PA, MN丄PA，再由CN丄PA，能证明PA丄平面CMN .(2)取CD的中点为Q，连结MQ、AQ，推导出MQ / PC ,从而MQ /平面PBC，再求出AQ /平面，从而平面 AMQ /平面PCB，由此能证明 AM /平面PBC .【解答】证明：(1 M，N分别为PD、PA的中点， MN PAD 的中位线，二 MN / AD， PC 丄底面 ABCD，AD?平面 ABCD，二 PC 丄 AD，又 AD 丄 AC，PC n AC=C，二 AD 丄平面 PAC， AD

12、丄 PA，二 MN 丄 PA，又 PC=AC，N 为 PA 的中点，二 CN 丄PA， MN n CN=N，MN ?平面 CMN，CM ?平面 CMN， PA丄平面CMN .解(2 )取CD的中点为Q，连结MQ、AQ，v MQ是厶PCD的中位线， MQ / PC，又 PC?平面 PBC，MQ ?平面 PBC，二 MQ / 平面 PBC，v AD 丄 AC，/ ACD=60，aZ ADC=30:丄 DAQ= / ADC=30,：/ QAC= / ACQ=60,/ ACB=60,a AQ / BC , AQ?平面 PBC , BC?平面 PBC，二 AQ /平面 PBC , MQ n AQ=Q，二

13、平面 AMQ /平面 PCB , AM ?平面 AMQ，二 AM / 平面 PBC .【点评】本题考查线面垂直、线面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间 的位置关系，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转 化思想、数形结合思想、函数与方程思想，是中档题.7 如图，在四棱锥P- ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD 丄底面ABCD，且PA=PD=)_AD , E、F分别为PC、BD的中点.2(1) 求证：EF /平面PAD ;(2) 求证：面PAB丄平面PDC .【分析】(1)连接AC,则F是AC的中点，E为PC的中点，证明EF / PA , 利用直线与

14、平面平行的判定定理证明 EF /平面PAD ;(2)先证明CD丄PA，然后证明PA丄PD .利用直线与平面垂直的判定定理证 明PA丄平面PCD，最后根据面面垂直的判定定理即可得到面 PAB丄面PDC .【解答】证明：(1)连接AC,由正方形性质可知，AC与BD相交于BD的中 点F，F也为AC中点，E为PC中点.所以在 CPA中，EF / PA，又PA?平面PAD，EF?平面PAD，所以EF /平面PAD ;(2)平面PAD丄平面ABCD平面 PAD 面 ABCD=AD ? CD 丄平面 PAD? CD 丄 PA 正方形ABCD中CD丄ADPA?平面PADCD ?平面ABCD 又_ .,i，所以

15、 PA2+PD2=AD2所以 PAD是等腰直角三角形，且 乙防D二辛，即PA丄PD .因为 CD n PD=D，且 CD、PD?面 PDC所以PA丄面PDC又 PA?面 PAB，【点评】本题考查直线与平面垂直的判定， 直线与平面平行的判定的应用，考查 逻辑推理能力.8 .如图，在四棱锥 P-ABCD中，PA丄平面ABCD，底面ABCD为菱形，且PA=AD=2 , BD=2 . ,:, E、F 分别为 AD、PC 中点.(1)求点F到平面PAB的距离;【分析】(1 )取PB的中点G,连接FG、AG,证得底面ABCD为正方形.再 由中位线定理可得FG / AE且FG=AE，四边形AEFG是平行四边

16、形，则 AG / FE ,运用线面平行的判定定理可得 EF /平面PAB ,点F与点E到平面PAB 的距离相等，运用线面垂直的判定和性质，证得AD丄平面PAB ,即可得到所求 距离；(2)运用线面垂直的判定和性质，证得 BC丄平面PAB , EF丄平面PBC，再 由面面垂直的判定定理，即可得证.【解答】(1 )解：如图，取PB的中点G,连接FG、AG ,因为底面ABCD为菱形，且PA=AD=2，一L 一 :,所以底面ABCD为正方形. E、F分别为AD、PC中点， FG / BC , AE / BC，阳冷BC,陋斗AD, FG / AE 且 FG=AE ,四边形AEFG是平行四边形，二AG /

17、 FE , AG?平面 PAB , EF ?平面 PAB，二 EF / 平面 PAB ,点F与点E到平面PAB的距离相等, 由PA丄平面 ABCD，可得PA丄AD ,又 AD 丄 AB , PA A AB=A ,AD丄平面PAB ,则点F到平面PAB的距离为EA=1 .(2)证明：由(1 )知 AG 丄PB , AG / EF , PA丄平面 ABCD , BC 丄 PA , BC 丄AB , AB A BC=B , BC 丄平面 PAB ,由AG?平面PAB , BC 丄 AG，又 t PB A BC=B , AG丄平面PBC , EF丄平面PBC ,t EF?平面 PCE ,【点评】本题考

18、查空间点到平面的距离，注意运用转化思想，考查线面平行和垂 直的判定和性质，以及面面垂直的判定，熟练掌握定理的条件和结论是解题的关 键，属于中档题.9 .在四棱锥P-ABCD中，底面 ABCD为直角梯形，/ BAD= / ADC=90,求证：（1） PC /平面DEF ;PBD .DC=2AB=2AD , BC 丄 PD , E , F 分别是 PB , BC 的中点.PC / EF，故而 PC / 平面 DEF ;(2)由直角梯形可得BC丄BD，结合BC丄PD得出BC丄平面PBD，于是平面PBC丄平面PBD .【解答】证明：（1 E , F分别是PB , BC的中点, PC/ EF ,又PC?平面DEF , EF?平面DEF , PC / 平面 DEF .（2）取CD的中点M，连结BM ,贝U ABDM , 又 AD 丄AB , AB=AD ,四边形ABMD是正方形， BM 丄 CD , BM=CM=DM=1 , BD=.：, BC