数学新同步湘教版选修2-1讲义+精练：第1章1.1.3充分条件和必要条件Word版含解析

1、1. 1.3充分条件和必要条件抽象问题情境化，新知无师自通高中数学读教材填要点充分条件与必要条件命题真假“若p,则q”是真命题“若p,则q”是假命题“若p,则q”和“若q,则p”都是真命题推出关系pL qpP qpL q条件关系p是q的充分条件q是p的必要条件p不是q的充分条件q不 是p的必要条件p是q的充分必要条件，p和q称为互相等价小问题大思维1. 如果p是q的充分条件，则 p是唯一的吗？提示：不唯一，如 x3是x0的充分条件，x5，x10等都是x0的充分条件.2. 若“ x A”是“ x B”的充要条件，则 A与B的关系怎样？提示：A= B.3. p是q的充要条件，q是s的充要条件，p是

2、s的充要条件吗？提示：是.T p是q的充要条件， p? q.又q是s的充要条件，二q? s故p? s,即p是s的充要条件.高频掉点题组化.名师一点就通充分条件、必要条件的理解- 下列“若p,则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件：2若 x= 1，则 x 4x + 3= 0;(2) 若f(x)= x，贝U f(x)在( 8,+ )上为增函数；(3) 若x为无理数，则x2为无理数；(4) 若两条直线平行，则这两条直线的斜率相等.自主解答 当x= 1时，x2 4x + 3 = 1 4 + 3 = 0，因此命题是真命题，即 p? q,故 p是q的充分条件.(2)易知函数f(x) = x在(m

3、 ,+ m )上是增函数，因此命题是真命题，即p? q,故p是q的充分条件.(3)当x=曲2时，x2=卜J2)2= 2不是无理数，因此命题是假命题，即p q,故p不是q的充分条件.两条垂直于x轴的直线平行，但是斜率都不存在，因此命题是假命题，即p q,故p不是q的充分条件.p是q的充分条件是由命题“若p,则q”为真来定义的，因此理解时也需回归定义，从相应命题入手，若命题“若p,则q”为真，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若命题“若p，则q”为假，则p不是q的充分条件，q不是p的必要条件.1.下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？(1) 若b2 = ac，则a，b,

4、 c成等比数列；(2) 若有且只有一个实数入使a=入鸟则a/ b;(3) 若I / a则直线I与平面a所成角大小为0 (4) 若函数f(x)= a (a 0且a* 1)，贝U f(x)是单调增函数.解：命题(2)(3)是真命题，命题(1)(4)是假命题，所以命题 (3)中的q是p的必要条件.充分条件与必要条件的判断(1)(2017 天津高考)设 x R，则“ 2 x 0”是“ |x 1| 1 ”的()A .充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件(2) (2017北京高考)设m, n为非零向量，则“存在负数人使得m =入n是“ m n0,得xw 2,由 |

5、x- 1| 1,得 0W x 0”是“ |x- 1|w 1 ”的必要而不充分条件.2(2) / m =入 n 二 m = X nn =开n| .当 X0,0 时，m n 0? m, n 寺 n ,当m, n才 n时，m, n不共线.故存在负数X,使得m=入丫是“m n0”的充分而不必要条件.(3) 命题若xm y,贝U cos xm cos y”等价于命题若cosx = cos y,贝U x= y”，这个命 题是假命题，故 xm y cos xm cos y;命题 若cos xm cos y,贝U xm y”等价于命题 若x =y,贝U cosx= cosy”，这个命题是真命题， 故 cosx

6、 m cosy? x m y.故 “ xm y” 是 “ cosx m cos y”的必要不充分条件.答案B (2)A(3)C充要条件的判断方法(1) 定义法：分清条件p和结论q：分清哪个是条件，哪个是结论；找推式：判断“ p? q”及“ q? p”的真假；下结论：根据定义下结论.(2) 等价法：将命题转化为另一个与之等价的、又便于判断真假的命题.集合法：写出集合A = x|p(x)及B = x|q(x)，利用集合之间的包含关系加以判断.用集合法判断时，要尽可能用Venn图、数轴、直角坐标平面等几何方法，图形形象、直观，能简化解题过程，降低思维难度.2.在厶ABC中，角A, B, C所对应的边

7、分别为 a, b, c,则“ aw b”是“ sin Aw sin B” 的()A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件解析:由正弦定理，得asin Absin B故 a b? sin A sin B,选 A.答案：A3.指出下列各组命题中，p是q的什么条件.(1) p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形；2 2(2) p： (x1)+ (y 2) = 0, q： (x1)(y 2) = 0.解：(1) 四边形的对角线相等四边形是平行四边形，四边形是平行四边形形的对角线相等， p是q的既不充分也不必要条件.(2) / (x 1)2+ (y 2)2

8、= 0? x= 1 且 y= 2? (x 1) (y 2)= 0,而(x 1)(y 2)= 0 (x 1)2+ (y 2)2= 0, p是q的充分不必要条件.充要条件的证明ac0. 求证：一元二次方程ax2+ bx + c= 0有一正根和一负根的充要条件是自主解答充分性：(由ac0推证方程有一正根和一负根)/ ac0.方程一定有两不等实根.设为 xi, X2,贝V X1X2 = c0,a方程的两根异号.即方程ax2+ bx+ c= 0有一正根和一负根.必要性：(由方程有一正根和一负根推证ac0)方程ax2+ bx+ c= 0有一正根和一负根，设为Xi, X2,则由根与系数的关系得 XiX2 =

9、 0 ,a即 ac0.综上可知：一元二次方程 ax2 + bx+ c= 0有一正根和一负根的充要条件是acy,求证：0.证明:(1)必要性:由 11，得1 丄0，即 口y,得y x0.充分性：由xy0及xy,x v 11得 ，即-.xy xy x y1 1综上所述，-0.x y解题高手妙解题什么是智慧，智慧就是简单、高效、不走弯路已知p： 2 x 10, q： x2 2x + 1 m20)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.巧思先求不等式的解集，然后根据充分条件以及必要条件的意义，将命题间的关系 转化为集合间的关系即可求解.妙解p： 2W xw 10.2 2q： x 2x +1 m

10、w 0? x (1 m)x (1 + m)w 0(m0)? 1 mw x0).q是p的充分不必要条件，即x|1 m w xw 1+ m x| 2 w xw 10.1 m 2,或v解得mw 3.1+ mw 10,r1 m 2, 故有*1 + m0，所以实数 m的取值范围为(0,3.强化期殖蘇随堂练习常态化，当堂强化所学1.“x = 1” 是“ x2 2x + 1 = 0” 的()A .充要条件B .充分而不必要条件C .必要而不充分条件D .既不充分又不必要条件解析：因为X2 2x+ 1= 0有两个相等的实数根，为x = 1,所以“x= 1”是x2 2x+ 1=0”的充要条件.答案：A2. 设集

11、合 A = x R|x 2 0, B= x R|xv 0, C= x R|x（x 2） 0，则“ x AUB” 是“ x C”的（）A .充分而不必要条件B.必要而不充分条件C .充分必要条件D既不充分又不必要条件解析：AU B= x R|xV 0 或 x2,C= x R|xV 0 或 x 2,/ AU B= C, x AU B是x C的充分必要条件.答案：C3. 设a, b是实数，则“ a + b0”是“ ab0”的（）A .充分不必要条件B.必要不充分条件C .充分必要条件D既不充分又不必要条件解析：特值法：当a =10,b= 1 时，a+ b0, abv0,故a+ b0ab0;当a =2

12、, b= 1 时，ab 0,但 a+ bv 0,所以 ab0 a+ b0.故 “a + b 0” 是 “ab0” 的既不充分又不必要条件.答案：D4“ a和b都是偶数”是“ a+ b是偶数”的 条件.解析：a和b都是偶数？ a + b是偶数；a+ b是偶数a和b都是偶数.答案：充分不必要5.设a 3, 丫为平面，m, n, l为直线，则对于下列条件： a丄 3, aCl 3= l, mX l; aC = m, a丄3, 丄3； a丄y 3丄Y m丄a； n丄 a, n 丄 3, m a.其中为m丄3的充分条件的是 （将你认为正确的所有序号都填上）.解析：由线面垂直的判定定理可知，为m丄B的充分

13、条件.答案：的取值范围.6.如果p： x(x 3)0是q： 2x 3m的充分不必要条件，求实数解：p： x(x 3)VO,即卩 0VXV3, q： 2x 3m，贝U x 3.应用即实数的取值范围为3, +).课下训练经典化，贵在触类旁通一、选择题1. x1 ”是 “xil ”勺()A .充分而不必要条件B.必要而不充分条件C .充分必要条件D.既不充分又不必要条件解析：x1? |x|1，而|x|1 ? x1或x1 是|x|1 的充分而不必要条件.答案：A12. 设a, b为实数，则“ 0v abv 1”是“ bv一”的()aA .充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C .充分必要条件D.既不

14、充分又不必要条件解析：一方面，若0vabv 1,则当av0时，0b,a11-bv -不成立；另一方面，若 bv-，则当av 0时，ab 1,aa 0v abv 1不成立，故选 D.答案：D3. 方程“ ax2 + 2x 1= 0至少有一个正实根”的充要条件是()A. 1 w a 1C. a 1D. 1 w a0解析：a= 0时，方程ax2 + 2x 1= 0有一正根，排除 A、D两项；a = 1时，方程化为 x2 2x + 1 = 0,即（x 1）2= 0, x = 10.答案：C4 .使|x| x成立的一个必要不充分条件是（ ）A. x 0B. x2 xC. log2（x+ 1）0D. 2x

15、 0,选项A是充要条件选项 C, D均不符合题意.对于选项 B,t由x2 x得x(x+ 1)0, x 0 或 x 1.故选项B是使|x| = x成立的必要不充分条件.答案：B二、填空题5. 如果命题“若 A,则B”的否命题是真命题，而它的逆否命题是假命题，则A是B的条件.解析：因为逆否命题为假，所以原命题为假，即A? / B.又因否命题为真，所以逆命题为真，即B? A,所以A是B的必要不充分条件.答案：必要不充分6. 条件p：1 xa，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是 .解析：p： x1，若p是q的充分不必要条件，则 p? q,但q p,也就是说，p对应集 合是q对应集合的真子集，所

16、以a2且y3”是“ x+ y5”的充要条件； b2 4ac0是一元二次不等式 ax2 + bx+ c2且y3时，x+ y5成立，反之不一定，如x= 0, y= 6.所以“x2且y3 ” 是“ x+ y5”的充分不必要条件； 不等式解集为 R的充要条件是a0且b2 4ac0 , y0.所以lg x + lg y= 0”成立，xy= 1必成立，反之不然.因此“xy= 1”是lg x+ lg y= 0”的必要不充分条件.综上可知，真命题是.答案：8. 已知“ivkvm”是“方程 x2+ y2+ kx+ 3y+ k2= 0表示圆”的充分条件，则实数 m的取值范围是.解析：当方程x2 + y2 + kx+ .3y+ k2= 0表示圆时，2 2k + 3 4k 0，解得ivkvl,所以1mb2”是ab”的必要条件；(3) 直线 l1： ax+ y= 3, b： x+ by c= 0,则“ ab= 1”是h/ l2的必要条件；条件p： b= 0,条件q：函数f(x)= ax2 + bx+ c是偶函数，则q是p的充分条件.a 丄 0解：(1) m 丄 0,m? a“(反例：m可能与0平行), “ a丄0不是“ m丄0”的充分条件.(2) / ab a2 b2,22(反例:0 2 但 0 b2”不是ab”的必要条件.(3) / l1 / l2