第10讲比和比例应用---奥数

1、北师大二附中培训中心思维班讲义第十讲比和比例知识要点：1. 两个数相除叫做两个数的比。例如:5 可记作5:652. 比的前项除以后项的商，叫做这个比的比值。例如：是5:6的比值63. 表示两个比相等的式子叫做比例式。两个比的比值相等，这两个比能组成比例，否则不 能。例如23=4:64. 在任意一个比例式中，两个外项的积等于两个内项的积。即由a:b=c:d ,可知ad=bc5. 两个数的比叫做单比，三个或三个以上的数的比叫做连比。化连比的关键，找相同量在两个比例式中值的最小公倍数。例如:a:b=5:6, b:c=4:3，化为连比式是 a:b:c=10:12:96. 行程问题中比例的应用： 时间相

2、等时，路程比等于速度比； 速度相等时，路程比等于时间比； 路程相等时，速度比与时间比成反比。典型例题:1.已知 3 : ( x-1) =7:9，求 x.2. 某班的男、女生之比为3:2，又来了 4名女生后，全班共有44人。求现在的男、女生人数之比。解:原有40人，男生有 40X35=24人，女生40-24=16人，现在男女人数之比 24:20=6:53. 甲、乙两个长方形，它们的周长相等。甲的长与宽之比是3:2，乙的长与宽之比是 7:3,那么甲与乙的面积之比是多少？解:长+宽相等。甲的长：宽=6:4，乙的长：宽=7:3.所以甲乙的面积比为(6 4):(7 3) =8: 74. 两个相同的瓶子装

3、满酒精溶液，一个瓶中酒精与水的体积之比是3:1,而另一个瓶中酒精与水的体积之比是4:1,若把两瓶酒精溶液混合，则混合后的酒精和水的体积之比是多少？解:两个瓶子体积相同。第一个瓶子酒精：水=3:1=15:5，第二个瓶子酒精：水=4:仁16:4，于是混合后酒精 冰=(15+16):(5+4)=31:95. 水果店运来的西瓜个数与白兰瓜个数的比为7:5.如果每天卖白兰瓜40个，西瓜50个，若干天后卖完白兰瓜时，西瓜还剩36个。问：水果店运来的西瓜有多少个？解:卖的瓜的总数比为西瓜：白兰瓜=5:4=25:20,原有西瓜：白兰瓜=7:5=28:20,西瓜剩3份36个, 每份12个，所以原有西瓜 28X1

4、2=336个。6. 商店购进甲乙两种不同糖果，所用费用之比为2:1,甲种糖果每千克 6元，乙种每千克2元。如果把这两种糖果混在一起成为什锦糖，那么，这种什锦糖每千克多少元？2 16工2+2工3解:费用比2:1，单价比3:1,重量比一：-=2：，平均价格为3.6（元/千克）3 12+37. 甲乙二人共加工零件 400个，甲加工一个零件用9分钟，乙加工一个零件用15分钟。完成任务时，甲比乙多加工多少个零件？解:甲乙工效之比15:9=5:3，甲比乙多加工 400 乞3 =100 （个）5+38. 甲乙走完同一段路分别用40分和30分，甲先走5分后乙再追，乙几分钟才能追上甲?解：甲乙速度之比3:4，设

5、乙x分追上甲，则甲用（5+x）分，3（5+x）=4x，x=151 19. 甲走的路比乙多，乙用的时间却比甲多，则甲乙两人的速度比是多少？34解:甲乙路程之比是 4:3，甲乙时间之比是 4:5，所以甲乙速度之比是5:310. 从A地到B地，甲、乙两人骑自行车行完全程所用的时间的比是4:5，如果甲、乙两人同时分别从 A、B两地相对骑出，40分钟相遇。相遇后继续前进，乙到达 A地比甲 到达B地晚多少分钟？解:甲速:乙速=5:4.所以相遇时，甲与乙所行路程之比为5:4。一 4040相遇后，甲还要行（4 5） -40 =32分，乙还要行（4 5） -40 =50分5 4所以乙到达A比甲到达B晚18分钟。

6、11. 甲乙两列车分别从 A、B两站同时相向开出，已知甲车速度与乙车速度之比为3:2，C站在A,、B之间。甲、乙两列车到达C站的时间分别是上午 5点和下午3点。问：甲、乙两车在几点相遇？解:甲行驶到C点时乙行驶到 D点，从D到C，乙行驶了 12+3-5=10小时甲乙在CD中某点E相遇，路程比为 3:2，共5份，乙行5份用了 10小时,所以乙相遇用了2104小时，所以在上午（5+4=） 9点相遇512. 快、慢两列车的长分别是 150米，200米，它们相向行驶在平行轨道上，如果坐在慢车上的人见快车驶过窗口的时间是6秒，那么坐在快车上的人见慢车驶过窗口所用的时间是多少秒？解:设慢车驶过快车窗口所用

7、的时间是x秒。两车相对速度一样，路程与时间成正比，所以有150:200=6: X，解得x=813. 有甲、乙两辆汽车，在机场与售票处之间往返行驶。甲车去时速度为60千米/小时，回来时速度为40千米/小时。乙车往、返的速度都是50千米/小时。那么，甲、乙两车往返一次所需的时间之比是多少？11 1解:设机场到售票处的距离为1,两车所需时间之比为（丄丄）：（丄 2） = 25 : 2460 405014. 一段公路分为上坡、平路、下坡三段，各段路程长之比是1:2:3.某人走各段路程所用的时间之比是4:5:6，已知他上坡的速度为每小时3千米，路程全长50千米，那么此人走完全程用了多少时间？解:上坡路程

8、为50二25千米，上坡时间为 2-3=25小时，1+2 +3339全程时间为 空-，=10 2小时9151215. 如图，甲、乙、丙三个互相咬合的齿轮，若使甲轮转5圈时，乙轮转7圈，丙轮转2圈，这三个齿轮齿数最少应分别是多少齿？解:用甲齿、乙齿、丙齿代表三个齿轮的齿数.甲乙丙三个齿轮转数比为5 : 7 : 2，根据齿数与转数成反比例的关系.甲齿：乙齿=7 : 5=14 : 10,乙齿：丙齿=2 : 7=10 : 35,所以甲齿：乙齿：丙齿=14 : 10 : 35由于14, 10 , 35三个数互质，且齿数需是自然数，所以甲、乙、丙三个齿轮齿数最少应分别是14, 10, 3516. 某高速公路

9、收费站对于过往车辆收费标准是：大客车30元，小客车15元，小轿车10元。某日通过该收费站的大客车和小客车数量之比是5:6,小客车与小轿车之比是4:11,收取小轿车的通行费比大客车多210元。求这天三种车辆通过的数量。解:大客车:小客车：小轿车=10:12:33以10辆大客车，12辆小轿车，33辆小轿车为一组，每组中小轿车的通行费比大客车多10 33 -30 10 =30 （元），所以这天通过的车辆共有210,30=7组大客车10 7 =70 （辆） 小客车12 784 （辆） 小轿车33 7 = 231 （辆）一 一 1 ,亠17. 某供销公司将1200吨化肥售给甲、 乙、丙三个乡使用，若甲乡

10、分售的是乙乡的 2-倍,61乙乡分售的是丙乡的1丄倍，则甲、乙、丙三个乡分别得多少吨化肥？5111解：甲：乙:丙 =2 1-: 1-: 1=13:6:5，于是有 13+6+5=24 份，每份 1200-24=50 吨，于6 55是甲分得13X50=650吨，乙6拓0=300吨，丙5X50=250吨。1218. 某小学四、五、六年级共有学生697人，已知六年级学生的 一等于五年级学生的，2 512六年级学生的等于四年级学生的。冋:四、五、六年级各有多少学生？3 71 21 2解：由题意，四年级：六年级=-：-7:6，五年级:六年级=:-5:43 72 5所以四年级：五年级：六年级=14:15:1

11、2共14+15+12=41份，一份为 697詔仁17人所以，四年级17X14=238人，五年级17X15=255人，六年级697-238-255=204人佃.某俱乐部男女会员的人数之比是3:2,分为甲、乙、丙三组，甲、乙、丙三组的人数之比是10:8:7，如果甲组中男女会员的人数之比是3:1，乙组中男女会员的人数之比是5:3.那么丙组中男女会员的人数之比是多少？解：由甲，乙,丙三组的人数之比是10:8:7，总人数为10+8+7=25份，贝U32共有男会员25 =15份，女会员25 =10份,3 23 2甲组男会员有10 15二15份，女会员151015 份3 123 12乙组男会员有8 53=5

12、份，女会员8 = 3份5 35 3丙组男会员有15-1-5 = 5份，女会员59八10 -3份222 2所以，丙组中男女之比是 5:920. 有三堆棋子，每堆棋子数相等，并且都只有黑白两色棋子，第一堆里的黑子和第二堆2里的白子一样多，第三堆里的黑子占全部黑子的，把这三堆棋子集中到一起，问白子5占全部棋子的几分之几？解:把一二堆黑白子调换，可得 ：第一堆全是白棋，第二堆全是黑棋，第三堆是白+黑，且三堆数目一样，由已知可设第三堆有 2份黑子，第二堆有3份黑子，可见每堆有3份棋子，所以第一堆有3份白子，第三堆有1份白子，所以白子占了全部的21. 一个容器内已注满水，有大、中、小三个球。第一次把小球沉

13、入水中，第二次把小球 取出，把中球沉入水中；第三次取出中球，把小球和大球一起沉入水中。现在知道每次1从容器中溢出的水量情况是：第一次是第二次的,第三次是第一次的 2.5倍，那么，这3三个球的体积之比是多少？解:设小球体积是1，当容器水满时，放入一个球，会溢出同样体积的水。 第一次溢出水量为1,第二次为3，第三次为2.5,因此中球体积为 4,小球和大球的体积之 和为6.5,大球体积为 5.5，小：中:大=1:4:5.5=2:8:1122. 有正方形和长方形两种不同的纸板(正方形的边长与长方形的宽同样长)，正方形纸板与长方形纸板数之比为2:5。现在用这些纸板拼成一些长方形纸无盖纸盒(即每个纸盒只用

14、5块纸板)，可以拼成两种纸盒，恰好用完全部的纸板。那么，这两种纸盒的比是 多少？解:两种纸盒,4块长方形和1块正方形4:1 , 3块长方形和2块正方形3:2 设第一种纸盒与第二种纸盒的比为x:y(x+2y):(4x+3y)=2:5 可得 x:y=4:3课堂检测班级姓名1. 一个长方体，长与宽的比为 2:1，宽与高的比为3:2，则长与高的比为 3:1 2. 个长方形与一个正方形的周长之比为6:5，长方形的长是宽的1-倍，则这个长方形与5正方形的面积之比为是多少？5 (7+5)解:长方形长：宽=7:5，正方形边长为5，面积比为(5 7):(5 5) =7:56 23. 加工一个零件，甲需 3分钟，

15、乙需3.5分钟，丙需4分钟。现有1825个零件需要加工。 如果规定三人用同样的时间完成任务，那么，甲、乙、丙应分别加工多少个零件？1 1 1解：甲:乙:丙=一：:28:24： 21 , 28+ 24 + 21=733 3.5 4甲加工700个,乙加工600个,丙加工525个4. 一班和二班人数之比为8:7，如果将一班的 8名同学调到二班去，则一班和二班的人数 之比为4:5。求原来一班的人数。解:原来，一班：二班=8:7=24:21现在，一班:二班=4:5=20:25一班减少24-20=4份，8人，可见1份为2人，于是原来一班有 2X24=48人。 也可以用方程解决。5. 甲、乙、丙三人分 138只贝壳，甲每取走 5只乙就取走4只，