注重对数学概念的反思,发挥数学问题的教育功能(论文资料)

1、发表于中学数学2008,11注重对数学概念的反思，发挥数学问题的教育功能台州市第一中学 陈勇众所周知，数学具有学术形态和教育形态这两个方面的表现形式，而数学教师的任务即在于将数学的学术形态转化为学生易于接受的教育形态。而要让学生易于接受，则有必要使得展现出来的教育形态是自然而平和的，因为数学知识和思想方法本身就是自然而平和的（1）；同时数学知识的生成和发展更应是顺其自然，追求自然的（2）。显然，在当前的新课程理念下，实现不同数学现实基础上的“再创造”是大家共同关注的话题。那么，如何才能在自然平和的数学学习体系下实现这一目标呢？笔者认为，唯有以反思为核心的数学教育才能实现，因为数学学习的本质就是

2、数学思考的过程，学生数学思维实质上就是对数学活动的反思。但是纵观各类相关研究文章，大都停留在对数学问题的题后反思，很少涉及对数学概念本身含义的反思，因而也就容易事倍功半，收效甚微。因为各种数学性质和思维方法无不由概念本身衍生而出，只有真正理解概念，才能很好的抓住数学的本质，数学问题的教育功能才能真正的得以发挥延伸。基于此念，本文以一道高考题为例初步探讨如何加强对数学概念的反思，以期达到真正提高数学学习品质的目的。1.案例呈现与反思案例2008年浙江省高考卷数学(理)第8题（ ）a. b.2 c. d.-21.1.常规思路分析：从题目自身结构来看，这是三角函数问题中常见的知值求值问题，主要考查同

3、角三角函数基本关系式的运用，基本思路是利用正余弦函数的平方关系解决。解法一：利用方程思想评注：对于本题而言，上述常规解法应该是比较符合学生现有知识体系的，自然而简单易行，其间的方程思想作为高中数学学习的重要内容，是高考考查重点。易错点在于解方程组的准确性问题，特别是符号处理要倍加小心。问题的解决似乎到这里就嘎然而止，然而，若从三角函数的概念结构进行深入分析，不难发现此题涉及的知识点十分丰富，如能认真挖掘相关概念的本质涵义，拓展反思的知识维度，必能发挥其很好的教育价值。1.2反思策略例说策略一：关注概念的基本内涵，转换题干的表达方式分析：如从三角函数的基本定义入手，则问题可以转化为定义中的几个基

4、本元素之间的关系式。解法二：在平面直角坐标系上构造一个角，将其顶点放在原点，一边和x轴正半轴重合，在其另一边上任取一点p（x,y）,令,则r=，则有原题可化为：已知而在具体解答过程中，只需将r消去即可求解。评注：显而易见，如果能真正理解数学概念的本质涵义，对于数学问题的解决将会有很大的促进作用。因为一切的数学性质无不从基本概念出发而逐步形成发展的，是否真正理解概念的内涵，也就决定了能否很好的运用数学性质，这实际上也就是一切数学问题得以解决的基本前提。策略二：抓住概念的联系纽带，化解变量的维数难度分析1：本题的难点在于有三个不同的函数，如能实现其间的相互转化，减少变量的维数，自然就能降低问题的难

5、度。若能从入手，则可转化为齐次式进行处理，将三个不同的函数统一转化为正切函数。 解法三：分析2：类似的，如直接将正弦，余弦转化为正切，则又有下列思路;解法四：策略三：寻求概念的内在联结，挖掘问题的丰富外延分析：受解法三、四的启发，如能考虑万能公式，这三种三角函数又能统一表示成tan的代数式，显然也能起到消元的效果，进而在很大程度上降低了解题难度。解法五：设则那么原题可以转化为：已知，求的值。显然t是其间的唯一变量，而求出t的值则是轻而易举的了。评注：本题涉及到三个函数，如何寻找它们之间的转化方式，减少函数种类则是必然的思考方案，解法三、四是在内部实现的转化和联结归属，而解法五则跳出了本身的束缚

6、，统一转化为另外一个变量，从而实现了问题外向转化。这也为转化化归思想的运用提供了一种切实可行的思路和方法，亦即：内部消化和外部发展。当然这一切都离不开概念本身结构的内在关联性。策略四：研究概念的基本要素，拓宽思维的发展方向分析：上述的几种思路，都是着眼于函数本身的转化来解决问题的，如果我们能抓住三角函数的基本要素角的变化，则又能寻找出不同的解题思路。解法六：评注：这是典型的正余弦函数合一变形，通过角度的添设和转化，极易使问题得到顺利解决，但在此题的研究过程中，我们经常过于关注三个函数名称之间的转化，而忽视了函数的基本元素角的变化和发展，这对于数学概念的理解和运用都是一个值得思考的问题。策略五：

7、挖掘概念的几何特性，实现问题的数形转化分析：很多数学概念都有其本身具备的几何意义，这也就是所谓数形结合的入手点。考虑到正余弦之间的平方关系，可以联系到单位圆的问题，于是下列思路也便水到渠成。解法七：评注：华罗庚说过：数缺形时少直观，形缺数时难入微。显然，数形结合是一种基本而有效的数学方法。它兼有数的严谨与形的直观之长，是优化解题过程的重要途径之一，但并非所有人都能很好的运用这种方法，究其原因，主要是缺乏对概念内在意义的深入理解，没有深入挖掘概念本身所具有的几何涵义。因此，从反思的深度和广度来说，我们有必要深究知识概念本质所隐含的那一层基本意义，而不仅仅是停留在只对解法的细节变换处理上。2.思路

8、延伸每个数学问题都具有它丰富的内涵和意蕴，我们通常说某个问题是个好题，实质上是说它本身具备或是我们能发掘出的教育价值比较丰富，其间至少包括题目本身对数学思维发展的正面引导功能，也包括对后继学习能力的促进功效。比如一道好的高考题经常让人回味无穷，也许是因为它的题干构成、情境创设等都有其独到的一面；而有些看似普通的问题，如果我们能够及时反思，深入挖掘其潜在的知识蕴含，我们也会发现其间的无穷奥妙，我想这就是学习数学的乐趣所在。之所以有人对数学入迷，而有人却对数学畏而却步，除却他们知识水平底蕴的区别之外，有没有重视对数学问题的深入理解和思考是一个本质的区别。而作为一名数学老师，我们应该率先示范，在平时

9、教学过程中逐步引导学生从概念出发，深入挖掘概念所具备的涵义和性质所在，从微观上积极反思数学概念蕴含的每一个基本要素，充分体现每一个知识点的本质特性，使得每一个看似平常的数学问题都能发挥它应有的作用。比如本例，如果没有从三角函数的概念上进行细致入微的分析，那么这个问题也就失却了本应具有的教育功能和思维训练价值。以一叶而知春秋，以一管而知天下，说的就是以小见大的价值趋向形成，在本例的不同反思过程中，各种解决方略和思想可谓水到渠成，真正可以说是窥一题之斑而知三角函数之全貌，我想这就是所谓数学问题的教育功能发挥之极致。简言之，以下几点值得我们引以重视。（1）数学问题具有无穷的思维训练功能，我们学习的当

10、务之急不应该仅仅强调重复机械的操作，而要努力从一个问题中挖掘各种积极而有益的思维因子，努力发挥数学问题的教育功能，只有这样，才能使得我们的数学学习过程变得有益和丰富多彩。（2）我们要善于反思，才能真正发挥数学问题的教育功能。数学教育决不能只停留在冷冰冰的学术形态上，我们要善于从看似冰冷的数学问题里挖掘出火热的学习乐趣和愉悦，唯有养成良好的反思意识，让反思成为数学学习的自觉行为，才能真正做到这一点。（3）唯有注重对数学概念本身的反思和延伸，才能让我们的数学反思真正收到实效。因为数学知识本身就应该是实实在在的东西，其概念的形成过程就注定了数学思想方法应该是切实可行、自然而平和的。我们要通过对概念的多层次反思，强化数学反思的切实可行性，才能使得数学反思真正收到实效，比如本例中的若干反思策略。（4）另外，就概念反思本身而言，必须要认真遵循其科学性、严谨性和准确性，任何错位和不完整的思考必将导致不合理甚至错误的结果。比如下解：对等式两边求导，可得则易得从答案来看似乎没错，并且解答过程远比前面的几种方法简单得多，但偏偏忽略了导数概念中对变量要求的严谨性，这就是对概念理解不到位导致的错误。对