分式运算的几种技巧

1、分式运算的几种技巧分式运算的一般方法就是按分式运算法则和运算顺序进行运算。但对某些较复杂的题目，使用一般方法有时 计算量太大，导致岀错，有时甚至算不出来，下面列举几例介绍分式运算的几点技巧。一、整体通分法2例1计算：亠-。-1a- 1【分析】本题是一个分式与整式的加减运算如能把C61)看作一个整体，并提取“丿后在通分会使运算 更加简便通常我们把整式看作分母是1的分式.G-1。一1。一1a0 1-1二、先约分后通分法x+ I /-2x 例2计算/+3时2十匚可分析：直接通分，极其繁琐，不过，各个分式并非最简分式，有化简的余地，显然，化简后再通分计算会方便许 多。工+1班尤一2)1x x+1解：原

2、式二(x+l)(x+2) + (x2)(x+2) = x+2 + x+2 二 x+2三、分组加减法1 2 2 1例 3 计算 a_2 + a+ -。一1 - a+2分析：本题项数较多，分母不相同因此，在进行加减时，可老虑分组分组的原则是使各组运算后的结果能出现 分子为常数、相同或倍数关系，这样才能使运算简便。1 1 2 2解：原式二(万2 匚巨)+ (匚TT 荷 )4-412二 6/2_4 + a2- 二（6/2-4）（6/2-1）例4计算音四、分离整数法x + 3 x-5 x-4 + x+2 x-4 x-3方法：当算式中各分式的分子次数与分母次数相同次数时，一般要先利用分裂整数法对分子降次后

3、再通分；在解 某些分式方程中，也可使用分裂整数法。解：原式二站丄吐凹+口丄上！x+1 x + 2x-4x-31111=+x+1 x+2 x-4 x-3五、逐项通分法例5计算:1_1_ 2x 4x3a x a + x a+xax分析：若一次通分，计算量太大，注意到相邻分母之间，依次通分构成平方差公式，采用分段分步法，则可使问 题简单化。1 1 2同类方法练习题：计算-齐48x4+lx8+l六、裂项相消法计算:1 1 1 1+ + a(a + 1) ( + l)(a + 2) (a + 2)( + 3) (a + 9)(“ +10)分析：本题的10个分式相加，无法通分，而式子的特点是：每个分式的分

4、母都是两个连续整数的积（若。是整数）.联想到注厂;这样可抵消-些项.解：原式二(丄-)+(亠-一)+(亠一一)+(a +1d + 1 a+ 2 a+ 2 a +3 a +9 a +1011 10a d + 10 g(g + 10)七、整体代入法例7.已知丄+丄二5求2严+ 2，的值x yx + 2xy + y2 c 2 J 1、u 5 + 2( + ) 5_、亠、1 1 c cr- m 2x-5xy + 2y y x x y2x5-5 5解法1：._ + _二5xyH0,.所以 二 二 X + 2Q +)，丄+ 2 +丄丄 + 丄+ 25 + 2 7y x x yIX* + 解法 2:由一 +

5、 二5 得，-一二5, x+y二5xyx yxy2x-5xy + 2y _ 2(x + y)-5xy _ 2x5xy -5xy _ 5xy _ 5 x + 2xy + y(x+ y) + 2xy5xy + 2xy 7xy 7练习：若1-1.5,求z严F的值.x yx _ 3xy _ y八. 公式变形法例&已知02-50+1二0,计算W+士解：由已知条件可得0工0,.0+十二5a4+丄二 护 _L )辺二(q+ -产2卜2二2产2二527acra练习：(1)已知x?+3x+l二0,求x2+X的值.九、设中间參数法nc+ c a + c u + b X1 _ (a + b)(h + c)(c +

6、a)例9.已知=二,计算：-abcabc“5 ” + c a + c a + b t ml解：设=k,贝ijb+c二ok; a+c=bk; o+b二ck;abc把这3个等式相加得2(o+b+c)二(Q+b+c)k若 o+b+c二0, o+b二则 k二-1若 a+b+c*0,则 k二2(a + b)(b + c)(c + a) _ ak bk ck _3abcabc当k=】时，原式二-1当k二2时，原式二8练习：(1)已知实数X、y满足x:y二1:2,则竺二2二。x + y(2)已知+ O 则2一严二。4563z十、先取倒数后拆项法(尤其分子单项，分母多项)2例10已知，二7,求4 J，的值cr

7、 -G + la +/ +1解：由条件知工0八a _ + i二丄即+丄二色a 7 a 714二 “+A+1 二（。+丄）+舟traa 49/_49 a4+a2 + T?练习：已知。+ 二5则 一二aa +cr +1十一、特殊值法(选填题)例1丨 已知 obc二1，则 + + 二ab + + 1 be + b + cg + c + 1分析：由已知条件无法求出。、b、c的值，可根据已知条件取字母的一组特殊值，然后代入求值. 解：令 a=l, b=l, c二 1,则K 亠111_111-原式+ +丨lxl+1+l lxl+1+l lxl+1+l 333说明：在已知条件的取值国取一些特殊值代入求值，可

8、准确、迅速地求出结果.练习：(1)已知：xyz=O,x+y+z二0,计算丄二+丄二+ = a y z已知则冲也二4563z十二、主元法例 12.已知 xyzHO,且 3x-4y-z=0z2x + y-8z二0,求 :的值.xy + yz + 2zx解：将Z看作已知数，把3x-4y-z=0与2x + y-8z二0联立，得3x-4y-z=0,2x + y - 8z二 0.解得X二3乙y二2乙所以，原式二(3+(2+厂二兰 =1.(3z)(2z) + (2z)z + 2z(3z)14z22 . 2 2练习：已知3e4bc二0,2Q+b-8c二0,计算：十 “ab + be+ ac混合运算练习题x +

9、 3y x + 2y 2x-3y ()5 55 57xx -y厂_牙,% 2xy x十一r + 兀_)厂 x+ y y-x(6)+ 2x + 66-2x9 x(10)x _ 2x +1x2-l八 XT、（y）(13)mx-lx + 3x2-l十 +2x + lx + 2 （15）计算：（卓寸一 jc 一 2x一】）x2 一 4x + 4(11)(H)(4-xX(9)3x x x + 2x-2+2) +2xx2-4a-hx + 2x2-2xA-! -16 f -4x + 4 jc +4x并求当x = -3时原式的值.【错题警示】一、错用分式的基本性质13丿一北+尹例1 化简24x-y）-3 =_

10、 工3（x+y）- 2 _错解：原式2乳+2分析：分式的基本性质是“分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变”， 而此题分子乘以3,分母乘以2,违反了分式的基本性质.（-/） 6 二 2兀-切正解：原式（2X+/）6弘+3二、错在颠倒运算顺序=-珂1一。）= 1错解：原式、分析：乘除是冋一级运算，除在刖应先做除，上述错解颠倒了运算顺序，致使结果出现错误._ 1 1 1-_ 1正解:原式1 a a 3一么卩疔三.错在约分x-1例1当X为何值时，分式3兀+2有意义?x-1_1错解原式匕1）任一2） x-2.乳一1乳北2时，分式/-3兀+ 2有意义.解析上述解法错在约分这一

11、步，由于约去了分子、分母的公因式（兀一1）,扩大了未知数的取值围，而导致 错误.正解由X2-3x+ 20得/工1且2.当/Hl且x註2,分式z2-3x + 2有意义.四、错在以偏概全1-例2工为何值时，分式 乳+ 1有意义？错解当乳+ 1疋0,得兀盖T.当兀莖一1 ,原分式有意义.丄1L解析上述解法中只考虑K+1的分母，没有注意整个分母X + 1,犯了以偏概全的错误.正解乳+ 1学,得兀莖一1,由 X+1,得乳芒0.当兀莖0且兀莖一1时，原分式有意义.五、错在计算去分母例3计算 &+1错解原式二-恥+1)-/=a2-1-a2 =-1.解析上述解法把分式通分与解方程混淆了，分式计算是等值代换，不

12、能去分母，.-悴+1) a2二 正解原式a+1么+1a2 -1-a21二 二 Hi么+1么+1.六、错在只考虑分子没有顾及分母忖-2例4当X为何值时，分式乳+X6的值为零.错解由lxl_2=0,得艺.当兀二2或兀=一2时，原分式的值为零.解析当 = 2时，分式的分母x2+x-6 = 0,分式无意义，谈不上有值存在，出错的原因是忽视了分母不 能为零的条件.正解由lxl_2= ,得2.由X2 +X- 6 0 ,得兀莖一3且乳学2.当x=-2时，原分式的值为零.七、错在“且”与“或”的用法例7 =为何值时，分式-x-2有意义错解：要使分式有意义，须满足/即（1）（卄2）.由乳一1学0得/字1,或由x+2莖0得乳莖一 2./.当或_2时原分式有意义.分析：上述解法由（xT）（xQ疋得x-10或x+2莖0是错误的因为T）h 与x+2莖0中的一个式 子成立并不能保证匕一1）（刀h 定成立，只有a-UO与兀+店0同时成立，才能保证匕-1）（“ 2） h 0_ 定成立.故本题的正确答案是/工1旦/莖-2.八、错在忽视特殊情况2m=3血例8解关于X的方程x-1错解：方程两边同时