极限计算方法总结(简洁版)

1、极限计算方法总结(简洁版)一、极限定义、运算法则和一些结果1定义：(各种类型的极限的严格定义参见高等数学函授教材，这里不一一叙述)。说明：(1)一些最简单的数列或函数的极限(极限值可以观察得到)都可以用上面的极限严格定义证明，例如:lim -b n an0 (a,b为常数且 a 0) ； lim(3x 1)5 ； lim qnx 2n0，当|q| 1时不存在，当|q | 1时等等(2)在后面求极限时，(1)中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。2 极限运算法则定理1已知lim f (x), limg(x)都存在，极限值分别为A, B,则下面极限都存在，且有(1)li

2、mf(x) g(x) A B(2) lim f (x) g(x) A B(3) lim 半 A,(此时需B 0成立) g(x) B说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。3 两个重要极限(1)sin x limx 01(2) lim (1 x)x e ；x 0lim(1x丄)x ex7说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身,还应能够熟练运用它们的变形形式,作者简介：靳一东，男，(1964),副教授。1例如：lim 泌1, lim(1 2x) 2x e, lim (1x 0 3xx o/x4 .等价无穷小定理2无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小(即极限

3、是定理3当x 0时，下列函数都是无穷小(即极限是0),且相互等价，即有：x sin x tanx arcs in x arctanx ln(1 x)ex 1。说明：当上面每个函数中的自变量x换成g(x)时(g(x) 0 ),仍有上面的等价3x2关系成立，例如：当x 0时，e 13x ； ln(1 x2) X。定理4如果函数f (x), g(x), f1(x), g1(x)都是xx时的无穷小，且f (x)f1(x)，g(x)f1 (x)f(x)f1 (x)g1(x)，则当lim - 存在时，lim也存在且等于f(x) lim -,即x xo g-(x)x x g(x)x xo g-(x).f(x

4、) f-(x)lim = lim -。x xo g(x) x 仓 g-(x)5 洛比达法则定理5假设当自变量x趋近于某一定值(或无穷大)时，函数 f(x)和g(x)满足：(1) f(x)和g(x)的极限都是0或都是无穷大；(2) f (x)和g(x)都可导，且g(x)的导数不为0；r f(X)(3) lim存在(或是无穷大)；g (x)则极限 lim f(x)也一定存在，且等于 lim f (x)，即 lim f-(x) = lim f (x)。 g(x)g(x)g(x)g (x)说明：定理5称为洛比达法则，用该法则求极限时，应注意条件是否满足，只要有一条不满足，洛比达法则就不能应用。特别要注

5、意条件(1)是否满足，即验证所求极限是否为“0 ”型或“一”型；条件0(2) 般都满足，而条件(3)则在求导完毕后可以知道是否满足。另外，洛比达法则可以连续使用，但每次使用之前都需要注意条件。6 连续性定理6 一切连续函数在其定义去间内的点处都连续，即如果 x0是函数f (x)的定义去间内的一点,则有 lim f (x) f (x0)。x X。7 极限存在准则定理7 (准则1)单调有界数列必有极限。定理8 (准则2)已知 Xn , yn， Zn为三个数列，且满足:(1)ynXn Zn ,(n 1,2,3,)(2)lim yn a， lim znann则极限lim xn 定存在，且极限值也是 a

6、，即lim xna。nn二、求极限方法举例1.用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限J3x 1 2例 1 limx 1 x 1解：原式巴叫(申 1)2 22(x 1)(、3x 12)3x 3limx 1 (x 1)( 3x 1注：本题也可以用洛比达法则。例 2 lim n ( . n 2. n 1)n解：原式=nim、n(n 2) (n 1)分子分母同除以.n3o21)n例3 nim (2 3n31上下同除以3n解：原式limn-1 o (|) j2. 利用函数的连续性（定理 6）求极限1例 4 lim x2eXx 2解：因为Xo 2是函数f（X）12 xx e的一个连续点,1所以原式=

7、22e24-. e3.利用两个重要极限求极限1 cosx lim 2 x 0 3x2 x2sin 2解：原式=lim严x 0 3x2002 x 2sin 2x 212 (-)注：本题也可以用洛比达法则。2例 6 lim (1 3sin x)xx 0解：原式=lim (1 3sinx)3sinxx 01 6sin xxlim(103sin x) 3sinx6sin xx例 7 lim(n 2)nn n 1解：原式=lim （1nn 1 3n3 ) R n /lim(1nn 1 3n3 n 13)3e o.1sinx4.利用定理2求极限2例 8 lim xx 0解：原式=0 （定理2的结果）。5.

8、利用等价无穷小代换（定理 4）求极限例 9 limx 0xl n(13x)arcta n(x2)解： x0时，ln(1 3x)3x, arctan(x2)x2,原式=ximjx 3x例 10 limx 0x sin xe ex sin x解：原式=xmsinx / x sin xe (e1)x sin xmon Xsin x .e (x sinx)x sin x注：下面的解法是错误的:xsin x(e 1) (e1)原式=limx 0 x sin xx sin x limx 0 xsin x正如下面例题解法错误一样:tanx sinx3xlimx 0tan( x2s in )xsin x解：

9、当x 0时，x2 sin是无穷小，tan（x2sin）与x2sin等价，xxx所以,原式=xmx2sin lim xsin0x 0 x（最后一步用到定理2）6.利用洛比达法则求极限同时,说明：当所求极限中的函数比较复杂时，也可能用到前面的重要极限、等价无穷小代换等方法。洛比达法则还可以连续使用。cosx例 12 lim2（例 4）X 0 3x丄。（最后一步用到了重要极限）6cos2x sin -解：原式=呱2 21sin xx解原式=limb学= lim匹x 0 3x2 x 0 6x（连续用洛比达法则，最后用重要极限）sin x xcosxx2 sin x原式解：limx 0li叫sin x

10、xcosx2 xxsin x3x2cosx (cosx limx 0xsin x)3x2例 18 lim 1x 0 xln(1 x)解：错误解法:原式= lim 丄x正确解法:原式limx 0ln(1 x) xxln(1匚1 lim x 0 2xx)lim ln(1 x)x 01 o2应该注意，洛比达法则并不是总可以用，如下例。文叫2x(1 x)例 19 limxx 2sin x3x cosx1 2 cosxlim，此极限x 3 si nx解：易见：该极限是“-”型，但用洛比达法则后得到:0不存在，而原来极限却是存在的。正确做法如下： 2sinx1 -原式= limx（分子、分母冋时除以x)=-（利用定理1和定理2）x 3 cosx3x7.利用极限存在准则求极限例 20 已知 x12 , xn 1. 2 xn , (n1,2,)，求 lim Xnn解：易证：数列Xn单调递增，且有界（0xn2）,由准则1极限lim xn存在，设lim xna。对已知的递推公式xn 12Xn两边求极限,得：aa，解得:a2或a1（不合题意，舍去）。所以 lim xn2 on例21lim(n2111) nn、n22.n2解：易见:n111n一 n2 nn2 1Jn2 2.n2 nn21因为li