全国高中数学联赛模拟试题5

1、全国高中数学联赛模拟试题(五)(命题人：罗增儒)第一试选择题：(每小题6分，共36 分)1、空间中n (n3)个平面，其中任意三个平面无公垂面.那么，下面四个 结论(1) 没有任何两个平面互相平行；(2) 没有任何三个平面相交于一条直线；(3) 平面间的任意两条交线都不平行；(4) 平面间的每一条交线均与n 2个平面相交. 其中，正确的个数为(A) 1(B) 2( C) 3( D) 4(C)2、 若函数y=f(x)在a,b上的一段图像可以近似地看作直线段，则当c (a,b) 时，f(c)的近似值可表示为(B)c a(D) f af b f ab a3、设 abc，a+b+c=1，且 a2+b2

2、+c2=1，贝U(A) a+b 1(B) a+b=1(C) a+bv 1(D)不能确定，与a、b的具体取值有关4、2设椭圆笃ab21的离心率e弓已知点P0i到椭圆上的点的最远距离是7，则短半轴之长b=416(B)(C)寸5、S=1,2,2003，A是S的三元子集，满足：A中的所有元素可以组成等 差数列.那么，这样的三元子集 A的个数是2003(C) A2(B) C10012100221001A：002(D) A20036、长方体ABCD A1B1C1D1，AC1为体对角线.现以 A为球心，AB、AD、AA1、AC1为半径作四个同心球，其体积依次为 V1、V2、V3、V4,则有(A) V4V V

3、1+V2+V3(C) V4 V1+V2+V3(B) V4W1+V2+V3(D)不能确疋，与长方体的棱长有关填空题：(每小题9分，共54分)1已知.3 sinsincos3k，则k的取值范围为cos2、等差数列an的首项ai=8,且存在惟一的k使得点(k,ak)在圆x2+y2=102上,则这样的等差数列共有个.a 3、在四面体 P ABC 中, FA=PB=a, PC=AB=BC=CA=b，且 a0)的一条长为I的弦AB.求AB中点M到y 轴的最短距离，并求出此时点 M的坐标.四、(20分)单位正方体ABCD A1B1C1D1中，正方形ABCD的中心为点M,正方 形A1B1C1D1的中心为点 N

4、,连AN、B1M .(1) 求证：AN、B1M为异面直线；(2) 求出AN与B1M的夹角.五、(20 分)对正实数a、b、c.求证:.a2 8bc b2 8ac、c2 8ab第二试、(50 分)设ABCD是面积为2的长方形，P为边CD上的一点，Q为厶PAB的 内切圆与边AB的切点乘积PA PB的值随着长方形ABCD及点P的 变化而变化，当PA PB取最小值时，(1) 证明：AB2BC;(2) 求AQ BQ的值.、(50 分)给定由正整数组成的数列ad1,a2 21 2(n 1).an 2an 1an(1) 求证：数列相邻项组成的无穷个整点(a1,a2)， (a3,a4)，,(a2k-1,a2k

5、)，均在曲线 x2+xy y2+1=0 上.(2) 若设 f(x)=x+xn-1 anx an-1，g(x)=x2 x 1，证明：g(x)整除 f(x).三、(50 分)我们称A1 ,A2,An为集合A的一个n分划，如果(1) A1 A2AnA ；(2) Ai Aj， 1 i vj n.求最小正整数 m，使得对 A = 1,2,m的任意一个 13分划 A1,A2,A13, 一定存在某个集合 Ai(1i 13)，在Ai中有两个元素a、b 满足 bv aw b.8参考答案第一试、选择题:题号123456答案DCACBC、填空题:1、2、17;3、3,14、2y-1；35、4；6、117600.2p,Ml2,0 8pl2,08p2p,Mp2 2Pl 2 P四、（1）证略;(2)2arccos-.3五