(完整版)中北大学研究生数值分析试题(2009年8月)参考答案与评分标准

1、2008/2009学年第2_学期末考试试题（A卷）数值分析参考答案使用班级：咼教硕士、工程硕士、填空题（每空 3分，共30分）1、由于计算机的字长限制，计算机在存取原始数据以及每一次计算都会对数据进行四舍 五入，由此产生的误差称为舍入误差；而数值计算方法得到的近似解与数学模型的准 确解之间的误差称为截_误差（或方法误差）；2、 设a*0.01320是准确值a经四舍五入得到的近似值，那么它的一个绝对误差限*355a 0.000005,相对误差 r a 0.038% ；祖冲之的密率作为圆周率1133.1415926535897.的近似值具有_7_位有效数字；3、 方程x COSX的根x* 0.73

2、909 （精确到小数点后 5位）；4、设 f（ 1）0.5, f （0）1, f（1） 2，则一阶差商 f 1,0翌，二阶差商1 23f 1,0,1 0.25，函数 f （x）的二次 Newt on 插值多项式 P2（x）X X 1 ；445、求积公式1-f 1具有 3次代数精度。3、利用Doolittle分解求解以下方程组（本题 10分）4x-| 2x2 x3 5x228x1 7x2 2x3 10x274x1 8x2 3x3 6x27所以，x 11112x1 6x2 11x3 20x23421524215223003872107LU分解iA|b483671221112611203304111

3、111解：采用紧凑格式的 LU分解，其过程为 由方程组的增广矩阵T注：若不按以上紧凑格式方法做的其它做法，只要正确也给分。其中100042152210003003L21 ,U002,y,Ly b,Ux y1011304100011三、(本题10分)写出求解线性方程组5x.(+2x2X312-人4x22x3102为5x210x31Jacobi迭代法求解此方程组是收敛的。的Jacobi迭代算法及其对应的迭代矩阵，并说明用 解：Jacobi迭代法求解本方程迭代公式为(kX11)0.4x2k)0.2x3k)2.4(kX21)0.25x1k)0.5x3k)2.5 k 0,1,2,Lx3k1)0.2x：k

4、)0.5x2k)0.1(0)可以任意选取。其中 x(0)x20)(0)X3由于方程组的系数矩阵是主对角线按行严格占优矩阵，所以用10Jacobi迭代法求解该方程组必收敛。 四、(本题20分)证明非线性方程x3 x 11、0有且仅有个实根x，并且x1,22、用Newton迭代法求解x，xkxk 1xk106时结束迭代。解:1(证明)令f(x) x31，则f(x)3x21的零点为1 、r，并且f (x)在 ，-1 -内单调递增，在V313：3内单调递减，所以土是f (x)在,;内的最大值点，由于210，所以f (x)在 厂1 -内3 33无实根；又由于f（X）在内单调递增，且f 110, f （2

5、）5，所以1 f （x）在,内有且仅有一个实根，从而在整个实数范围内也有且仅有一个实根（设为X ）。并且有x 1,2。2 用Newton迭代法求解x的迭代公式为2X3 15Xh,k 0,1L由可以写出一个求解原方程组的简单迭代公式xk 10.2 0.1eX,k 0,1,2 丄取x02进行计算（表1）kXk| XkXk 1 1ek|Xk |02.000000011.54545450.294117621.35961490.136685531.32580130.025504341.32471900.000817051.32471800.0000008注：初始值的不同，计算步骤将不一样， 但最终结果与

6、准确值 x*1.3247179572458之间的相对误差不超过10 6或经四舍五入保留到小数点后7位数字后为1.3247180即可。五、（本题15分）欲求一个形如 s Ct的经验公式，使它与实验数据t1248163264s4.224.023.853.593.443.022.59相拟合，试用最小二乘法确定参数C和。解：令x log21, y log2 s，则可将经验公式 s ct化为yc0 c1x，其中第3页，共5页Colog 2 c, Ci。由原始数据表，可得(x, y)的观测数据如下x log2t0123456y log 2s2.07724302.00719551.94485841.8439

7、8381.78240861.59454851.372952110y。11y112y2令A13,cC0,yy3，则C的最小二乘解为正规方程组ATAcATy的解。C114y415y516y6721 c012.6231900即2191 c134.7689535q2.1355218解之得C1-0.1107363c2C04.3939601所以。G 0.1107363即最终拟合的经验公式为s 4.3939601t 0.1107363b六、(本题15分)写出用Romberg方法计算f(x)dx的过程，并说明计算到 R2时计算函数值af (x)的次数。b解：Romberg方法计算f (x)dx的过程如下aT1 b2af(a) f(b)，对于m1,2丄计算(1) hmb2ma，f(a (2i1)hm),i1,2,L ,2m1(2) T”m 11Th2 f2m 1m2i 1a (2i1)hm第5页，共5页mT2m4TmTm 1Q22Onm 12316S?m 1Sgm 2m 221564C?m 2 Cgm 3 m 3263序号Tgm序号Sgm