2019年全国各地中考数学压轴题汇编：几何综合(四川专版)(解析卷)

1、20佃年全国各地中考数学压轴题汇编（四川专版）几何综合参考答案与试题解析1. （2019?成都）如图，AB为O O的直径，C, D为圆上的两点，OC/ BD，弦AD, BC相交于点E.（1）求证：= II；（2）若 CE= 1 , EB = 3,求 O O 的半径；（3）在（2）的条件下，过点 C作OO的切线，交BA的延长线于点 P,过点P作PQ / CB交O O上），求PQ的长./ OBC=Z OCB/ OC / BD/ OCB=Z CBD / OBC=Z CBDAC 二 CD(2)连接AC,/ CE= 1 , EB = 3, - BC= 4/ CAD = Z ABC，且/ ACB=Z AC

2、B ACEs BCA叮 ? :T. 2 AC= CB?CE= 4X 1AC=2,/ AB是直径 / ACB= 90 f = = 2 O O的半径为二(3)如图，过点 O作OH丄FQ于点H，连接OQ,D PC是O O切线， / PCO= 90，且/ ACB= 90 / PCA=Z BCO=Z CBO，且/ CPB=Z CPA APCs CPB二丄_二_二_丄_厶 :=亍亍772 PC= 2PA, PC2= PA?PB 4FA2= FAX( FA+2 )/ PQ / BC / CBA=Z BPQ，且/ PHO = Z ACB= 90 PHO BCA iHTHTj即-匚1 . n !.-I- PH

3、= !-, OH =3 3 HQ =T I=7 PQ= PH+HQ =32 .（ 2019?自贡）（1）如图1 , E是正方形 ABCD边AB上的一点，连接 BD、DE，将/ BDE绕点D逆时针旋转90，旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G . 线段DB和DG的数量关系是 DB = DG ; 写出线段BE, BF和DB之间的数量关系.（2）当四边形ABCD为菱形，/ ADC = 60,点E是菱形ABCD边AB所在直线上的一点，连接BD、DE，将/ BDE绕点D逆时针旋转120。，旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G . 如图2,点E在线段AB上时，请探究线段 BE、BF和BD之间的

4、数量关系，写出结论并给出证明； 如图3，点E在线段AB的延长线上时，DE交射线BC于点M，若BE= 1, AB = 2,直接写出线段GM的长度.G解：（1）DB = DG，理由是：/ DBE绕点B逆时针旋转90,如图1,由旋转可知，/ BDE = Z FDG，/ BDG = 90,四边形ABCD是正方形,/ CBD = 45,/ G= 45,/ G=Z CBD = 45 , DB = DG ;故答案为：DB = DG ;BF+BE=_：BD，理由如下：由 知：/ FDG =Z EDB，/ G=Z DBE = 45, BD = DG , FDG EDB (ASA), BE= FG , BF+FG

5、 = BF+BE = BC+CG ,Rt DCG 中，/ G=Z CDG = 45,CD = CG = CB ,DG = BD =匚 BC,即 BF+BE= 2BC = 匚BD ;(2)如图 2, BF + BE= =BD ,理由如下：在菱形 ABCD 中，/ ADB = Z CDB = 1 Z ADC = X 60= 30 ,2 2由旋转 120得/ EDF =Z BDG = 120,Z EDB = Z FDG , 在厶 DBG 中，Z G = 180 - 120- 30= 30, Z DBG = Z G = 30, DB = DG , EDB FDG (ASA), BE= FG , BF+

6、BE= BF + FG = BG,过点D作DM丄BG于点M，如图2,G D/ BD = DG ,2 BG= 2BM ,在 Rt BMD 中，/ DBM = 30, BD = 2DM .设 DM = a,贝U BD = 2a,DM =:a,- BG= 2甘 _；a,_=丽二2辰TT - BG=;BD, BF+BE= BG = 二 BD;过点A作AN丄BD于N ,过D作DP丄BG于P,如图3,Rt ABN 中，/ ABN= 30, AB = 2, AN= 1 , BN=、门， BD = 2BN = 2；,/ DC / BE ,.CD=CH = 2 m=丨，/ CM+BM = 2 ,2 BM =,3

7、Rt BDP 中，/ DBP = 30 , BD = 2；,BP=3,由旋转得：BD = BF , BF = 2BP= 6 ,2 19 GM = BG - BM = 6+1 =.3 33. （ 2019?攀枝花）（1）如图1 ,有一个残缺圆，请作出残缺圆的圆心O （保留作图痕迹，不写作法)(2)如图2,设AB是该残缺圆OO的直径，C是圆上一点，/ CAB的角平分线 AD交O O于点D, 过D作O O的切线交AC的延长线于点E.求证：AE丄DE ;若DE = 3, AC= 2，求残缺圆的半圆面积.图】(1)解：如图1:点0即为所求.0(2)证明：如图2中，连接0D交BC于F ./ AD 平分/

8、BAC,/ DAC = Z DAB , 0D 丄 BC , CF = BF，/ CFD = 90DE是切线， DE 丄 OD ,/ EDF = 90,/ AB是直径，/ ACB=Z BCE = 90四边形DECF是矩形,/ E= 90, AE 丄 DE .四边形DECF是矩形，DE = CF = BF = 3,在 Rt ACB 中，AB= 亠 = 2 不,残缺圆的半圆面积=? Tt? ( I) 2= 5 n24. ( 2019?成都)如图1,在厶ABC中，AB = AC = 20, tanB =，点D为BC边上的动点(点 D不4与点B, C重合).以 D为顶点作/ ADE =/ B，射线DE交

9、AC边于点E,过点 A作AF丄AD交 射线DE于点F，连接CF.(1) 求证： ABDDCE ;(2) 当DE / AB时(如图2)，求AE的长；(3) 点D在BC边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得DF = CF ?若存在，求出此时 BD 的长；若不存在，请说明理由.團102(1)证明：T AB = AC,/ B=Z ACB,/ ADE+ / CDE = Z B+ / BAD，/ ADE = Z B, / BAD = Z CDE , BADDCE .(2)解：如图2中，作AM丄BC于M .厨2在 Rt ABM 中，设 BM = 4k,贝U AM = BM?tanB = 4kX= = 3k

10、, 42 2 2由勾股定理，得到 AB = AM +BM ,292 20 =（ 3k）+（4k）, k= 4 或-4 （舍弃），/ AB= AC, AM丄 BC, BC= 2BM = 2?4k= 32,/ DE / AB,/ BAD = Z ADE ,/ ADE = Z B,Z B = Z ACB,/ BAD = Z ACB,/ ABD = Z CBA, ABD CBA, DB =；=,CB 322/ DE / AB, ae= 2：，r，1BC(3)点D在BC边上运动的过程中，存在某个位置，使得DF = CF.AN 丄 FH 于 N .则/ NHM =/ AMH =/ ANH = 90 ,四边

11、形AMHN为矩形,/ MAN = 90, MH = AN,/ AB= AC, AM丄 BC,BM = CM =1-BC = X 32= 16 ,2 2在Rt ABM中，由勾股定理，得 AM =： | j 一 /= 12,/ AN丄 FH , AM 丄 BC,/ ANF = 90=/ AMD ,/ DAF = 90=/ MAN ,NAF = / MAD , AFNADM ,厶=工=tan/ADF = tanB=,Afl! AD4AN = -AM =-X 12= 9 ,4 4 CH = CM - MH = CM - AN = 16 - 9= 7 ,当DF = CF时，由点D不与点C重合，可知 DF

12、C为等腰三角形，/ FH 丄 DC , CD = 2CH = 14, BD = BC - CD = 32 - 14= 18,点D在BC边上运动的过程中，存在某个位置，使得 DF = CF，此时BD = 18.25. ( 2019?泸州)如图，AB为OO的直径，点P在AB的延长线上，点C在OO上，且PC = PB?FA.(1) 求证：PC是O O的切线；(1)证明：连接(2) 已知PC= 20, PB= 10,点D是 4的中点，DE丄AC,垂足为 E, DE交AB于点F，求EF 的长.OC,如图1所示:2/ PC2= PB?PA,/ P=/ P,/ PCB=Z PAC,/ AB为O O的直径，/

13、 ACB= 90,/ A+ / ABC = 90,/ OC = OB,/ OBC=Z OCB,/ PCB+ / OCB = 90,即OC丄PC, PC是O O的切线；(2)解：连接OD，如图2所示：2 / PC= 20, PB = 10, PC = PB?FA,pr2 202 PA = 40,PB 10 AB= PA- PB= 30,/ PBCs PCA,.AC PA oDC PC设 BC= x,贝V AC= 2x,2 2 2在 Rt ABC 中，x + (2x)= 30 ,解得：x= 6二，即卩BC = 6 _,点D是.的中点，AB为O O的直径,/ AOD = 90,/ DE 丄 AC,/

14、 AEF = 90,/ ACB= 90, DE / BC,/ DFO = Z ABC , DOF ACB ,匹=匹=丄厂门=:,OF = 1 OD = ,即卩 AF =,2 2 2/ EF / BC,BC AB EF = _BC =丄-.6. （2019?攀枝花）在平面直角坐标系与O重合），连接AP 过点P作xOy中，已知A（。，2）,动点P在的图象上运动（不PQ丄AP,交x轴于点Q,连接AQ.(1)求线段AP长度的取值范围;（2）试问：点P运动的过程中，/ QAP是否为定值？如果是， 求出该值；如果不是，请说明理由.3G，/ QPH = Z PAG,.A FAGQPH ,当 API OP 时

15、，AP 取得最小值= OA?sin/ AOP = 2sin60=；; tan/ PAQ=H =二-一，PA AG xp 3贝QAP= 30;2/ POQ= 30,贝U NQ = m, ON =22PN2= PQ2- Nq2= L _ 一42 2贝y op2=( on+np ) 2=(2=1,+1 ,41+m)2当OQ = PO时，2-+m+1 = m2,4解得：m = 2二 ;当PO = PQ时,同理可得：m=- 2:;当PQ = OQ时，0）或亠，0）.同理可得：I匚故点Q的坐标为（2二 -, 0）或（2“：；i：, 0）或（-2二，0）或7.（ 2019?广元）如图，AB是OO的直径，点P

16、是BA延长线上一点，过点 P作OO的切线PC,切点是C,过点C作弦CD丄AB于E,连接CO , CB .（1）求证：PD是O O的切线；（2）若 AB= 10, tanB=-，求 PA 的长；（3）试探究线段 AB, OE, OP之间的数量关系，并说明理由.c解：(1)证明：连接0D, PC是O O的切线，/ PCO= 90,即/ PCD+ / OCD = 90,/ OA丄 CD CE= DE PC= PD/ PDC = Z PCD/ OC = OD / ODC = Z OCD , / PDC+ / ODC = Z PCD + / OCD = 90, PD是O O的切线.(2)如图2,连接AC

17、,/ AB是O O的直径， / ACB= 90, tanB =-=BC 2设 AC= m, BC = 2m,则由勾股定理得：m (3) AB = 4OE?OP+ (2m) 2= 102,解得：m=i,AC = 2, BC = 4 ,/ CEX AB = ACX BC,即卩 10CE= 2 _X 4 =, CE= 4, BE = 8, AE = 2在 Rt OCE 中，OE = OA - AE = 3, OC= 5, CE= = ：=4, OPX OE = OC X OC,即卩 3OP = 5X 5, OP=, PA= OP - OA =- 5=.333如图2,T PC切OO于C,/ OCP=Z

18、 OEC = 90,丄_L,即卩 OC2 = OE?OPOCOP/ OC = AB2即 AB2= 4OE?OP.连结BD，/ BAD = Z ABD = 30,连结 DO并延长交 O O于点BC = 1 , AD 为 O O 的弦,8.E,连结BE交O O于点M .(1) 求证：直线BD是O O的切线;(2) 求O O的半径OD的长；(3)求线段BM的长.2(1)证明： OA= OD，/ A=Z B= 30 , / A=Z ADO = 30, / DOB = Z A+ / ADO = 60 , / ODB = 180/ DOB -Z B = 90, OD是半径， BD是O O的切线；(2)v/

19、 ODB = 90,/ DBC = 30, OD= OB,/ OC = OD ,BC= OC = 1, O O的半径OD的长为1 ;(3)t OD = 1, DE = 2, BD =二， BE= .|F= _， BD是O O的切线，BE是O O的割线,2 BD = BM?BE, BM =：=-BE V7 T9. (2019?绵阳)如图，在以点 O为中心的正方形 ABCD中，AD = 4,连接AC,动点E从点O出发沿Of C以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点C停止.在运动过程中， ADE的外接圆交AB于点F，连接DF交AC于点G,连接EF，将 EFG沿EF翻折，得到 EFH .(1) 求证

20、： DEF是等腰直角三角形；(2) 当点H恰好落在线段BC上时，求EH的长;(3) 设点E运动的时间为t秒， EFG的面积为S，求S关于时间t的关系式.备用图(1)证明：四边形 ABCD是正方形, / DAC = / CAB= 45 / FDE = Z CAB,/ DFE = Z DAC , / FDE = / DFE = 45DEF = 90, DEF是等腰直角三角形；(2)设 0E= t，连接 0D ,/ DOE = Z DAF = 90,/ OED = Z DFA, DOEs DAF ,.上丄 -;汀二,又/ AEF = Z ADG，/ EAF = Z DAG , AEFADG ,叮；，

21、又 AE= OA+OE = 2 二+t ,t 2丰女 EG= AE - AG=,爲伍+t+45 = 90 ,当点H恰好落在线段 BC上/ DFH =Z DFE+ / HFE = 45 ADF BFH,.FH_FB _4V2t/ AF / CD ,丄肓4 ，-DF 4+Jt.-1 -4 4+V21解得：tl = F； .J-V ,2 CM GM ,点G在正方形ABCD的边BC上，与“点G在BC的延长线上”相矛盾,假设错误， 即：EM的长不可能为1 .213. ( 2019?乐山)如图，直线I与OO相离，OA丄I于点A,与OO相交于点P, OA = 5. C是直线I上一点，连结 CP并延长交OO于

22、另一点B,且AB= AC.(1) 求证：AB是O O的切线；(2) 若O O的半径为3,求线段BP的长.CAF(1) 证明：如图，连结 OB,贝U OP= OB,/ OBP=Z OPB=Z CPA,AB = AC,/ ACB=Z ABC,而 OA丄 l，即/ OAC = 90,/ ACB+ / CPA = 90,即/ ABP+Z OBP = 90,/ ABO= 90,OB 丄 AB,故AB是O O的切线；(2) 解：由(1)知：Z ABO = 90,而 OA= 5, OB = OP = 3,由勾股定理，得：AB= 4,过O作OD丄PB于D，贝U PD = DB ,vZ OPD = Z CPA,

23、Z ODP = Z CAP = 90, ODPCAP , 又 v AC= AB = 4, AP= OA - OP= 2,m -:14. (2019?遂宁)如图， ABC内接于O O,直径AD交BC于点E,延长AD至点F,使DF = 2OD ,连接FC并延长交过点 A的切线于点 G,且满足 AG/ BC,连接OC,若cos/ BAC =, BC= 6.3(1) 求证：/ COD = / BAC;(2) 求O O的半径OC ;(3) 求证：CF是O O的切线.G解：(1)v AG是O O的切线，AD是O O的直径,:丄 GAF = 90,/ AG / BC, AE丄 BC, CE= BE,/ BA

24、C= 2 / EAC,/ COE= 2 / CAE,/ COD = / BAC ;(2)v/ COD = / BAC,OE 1 cos/ BAC= cos/ COE = ,OC 3设 OE = x, OC = 3x,/ BC= 6, CE= 3,/ CE丄 AD ,2 2 2 OE 22 x +3 = 9x ,+CE2= oc2, x= (负值舍去)，8 0C = 3x=丄，8 O O的半径OC为丄；8(3) v DF = 2OD ,OF = 3OD = 3OC,工匚 -OCOF3_，/ COE=Z FOC, COEs FOE, / OCF = Z DEC = 90, CF是O O的切线.15

25、. (2019?乐山)在厶ABC中，已知 D是BC边的中点，G是厶ABC的重心，过 G点的直线分别交 AB、AC 于点 E、F .(1) 如图 1,当 EF / BC 时，求证：二 + - = 1;AE AF(2) 如图2,当EF和BC不平行，且点 E、F分别在线段AB、AC上时，(1 )中的结论是否成 立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由.(3) 如图3，当点E在AB的延长线上或点 F在AC的延长线上时，(1)中的结论是否成立？女口 果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由.(1)证明： G是厶ABC重心,DG_J_AG又 EF / BC，BE JG 1 CF 二 D* 二 1

26、-I ；(2)解：(1)中结论成立，理由如下:如图2,过点A作AN/ BC交EF的延长线于点 N , FE、CB的延长线相交于点 M ,贝仏 BMEANE , CMF ANF ,BE BM CF 二口匸,. ,AE AF_AN AN- AN又 BM+CM = BM+CD+DM,而D是BC的中点，即BD = CD , BM + CM = BM + BD+DM = DM + DM = 2DM , ：J.AE AF _ AN 又- v i?JV ：:故结论成立;(3) 解：(1)中结论不成立，理由如下：当F点与C点重合时，E为AB中点，BE= AE,点F在AC的延长线上时，BE AE,BEAE二，则

27、同理：当点E在AB的延长线上时， 辛节?-|结论不成立.16. ( 2019?资阳)如图，AC是O O的直径，PA切O O于点A, PB切OO于点B,且/ APB = 60(1) 求/ BAC的度数；(2) 若PA= 1，求点O到弦AB的距离.解：（1）v PA切O O于点A, PB切O O于点B, PA = PB, / RAC = 90,/ APB= 60, APB是等边三角形，/ BAP= 60,/ BAC= 90-/ BAP = 30;（2）作OD丄AB于D，如图所示：贝U AD = BD = AB,2由（1）得： APB是等边三角形，AB= PA= 1,AD =丄2/ BAC= 30

28、AD = OD = OD =即求点O到弦AB的距离为17. ( 2019?眉山)如图1，在正方形 ABCD中，AE平分/ CAB ,交BC于点E,过点C作CF丄AE,交AE的延长线于点 G ,交AB的延长线于点F .(1) 求证：BE= BF ;(2) 如图2,连接BG、BD，求证：BG平分/ DBF ;iF(3) 如图3,连接DG交AC于点M，求的值.圉1图2圉3(1) 证明：四边形 ABCD是正方形，/ ABC= 90, AB = BC ,/ EAB+AEB = 90,/ AG 丄 CF ,/ FCB+ / CEG = 90,/ AEB=Z CEG,/ EAB=Z FCB ,rZEAB=Z

29、FCB在厶ABE和厶CBF中，址二BC,lZABE=ZCBF=90 ABEBA CBF ( ASA), BE= BF;(2) 证明：四边形 ABCD是正方形，/ ABD = Z CAB= 45,/ AE 平分/ CAB ,/ CAG=Z FAG= 22.5 ,ZCAG=ZFAG在厶AGC和厶AGF中，朗二AG,lZAGC=ZAiGF=90o AGCBA AGF (ASA), CG = GF ,/ CBF = 90, - GB= GC = GF ,/ GBF = Z GFB = 90-/ FCB = 90-/ GAF = 90- 22.5 = 67.5/ DBG = 180-/ ABD -/ G

30、BF = 180- 45- 67.5 = 67.5, / DBG = / GBF , BG 平分/ DBF ;(3) 解：连接BG ,如图3所示：四边形ABCD是正方形， DC = AB,/ DCA = Z ACB = 45,/ DCB = 90, AC=匚 DC,/ DCG = / DCB+ / BCF = / DCB+ / GAF = 90 +22.5 = 112.5,/ ABG = 180 -/ GBF =180 - 67.5 = 112.5, / DCG = / ABG ,rDC=AB在厶 DCG 和厶 ABG 中，* ZDCSZABG,lcg=bg DCG ABG (SAS), /

31、CDG = / GAB = 22.5, / CDG = / CAG ,/ DCM =/ ACE = 45, DCM ACE ,.二=丄=匚.DH DC 图318. ( 2019 ?南充)如图，在 ABC中，以AC为直径的O O交AB于点D，连接CD , / BCD =/ A.(1) 求证：BC是O O的切线；(2) 若BC= 5, BD = 3,求点O到CD的距离.(1)证明：T AC是O O的直径, / ADC = 90, / A+ / ACD = 90,/ BCD = / A, / ACD+ / BCD = 90, / ACB= 90, BC是O O的切线;(2)解：过0作OH丄CD于H

32、,/ BDC = Z ACB= 90,/ B = Z B, ACBs CDB, H = !二 ,BD BC 5 AB=,35 AB=l ,3 AD =,3/ OH 丄 CD, CH = DH ,/ AO= OC ,OH = AD =,点O到CD的距离是23ABD = / BCD = 90 , DB 平分/ ADC ,过点 B 作 BM / CD 交 AD 于M 连接CM交DB于N .2(1) 求证：BD = AD?CD ;(2) 若 CD = 6 , AD = 8,求 MN 的长.证明：(1 )T DB 平分/ ADC ,/ ADB = / CDB, 且/ ABD = / BCD = 90 ,

33、.i.jl而页2.BD = AD?CD(2)v BM / CD/ MBD = Z BDC/ ADB = Z MBD，且/ ABD = 90 BM = MD，/ MAB =Z MBABM = MD = AM = 4/ BD2 = AD?CD，且 CD = 6, AD = 8, BD2= 48,2 2 2 BC2= BD2 - CD2= 122 2 2 MC = MB +BC = 28 MC = 2 / BM / CD MNB sCND MN =”，且MC =汀20.( 2019?广安)如图，在 Rt ABC 中，/ ACB = 90, AC= 6, BC= 8, AD 平分/ BAC, AD 交

34、BC于点D, ED丄AD交AB于点E,A ADE的外接圆O O交AC于点F，连接EF .(1)求证：BC是O O的切线；(2)求O O的半径r及/ 3的正切值.1(1) 证明：T ED 丄 AD,/ EDA = 90,/ AE是O O的直径， AE的中点是圆心O,连接 OD，贝U OA = OD ,/ 1=Z ODA,/ AD 平分/ BAC,/ 2=Z 1 = Z ODA , OD / AC ,/ BDO = Z ACB = 90, BC是O O的切线；(2) 解：在RtAABC中，由勾股定理得， AB=打；=秽尹二10,/ OD / AC , BDOBCA , OD 0B 即 r石丄疝，

35、1U r，4在 Rt BDO 中，BD =|二二一十=5， CD = BC - BD = 8 - 5 = 3 ,在 Rt ACD 中，tan/2=丄=1 ,AC 62/ 3=/ 2 ,21点E从点B出发，以每秒1个单位的速度沿着 BtAE作EF丄BC于点F ,在矩形 ABCD的内部作正方形（2019?资阳）在矩形 ABCD中，连结 AC , t C的路径运动，运动时间为 t （秒）.过点EFGH .(1)如图，当 AB = BC = 8时, 若点H在厶ABC的内部，连结 AH、CH，求证：AH = CH ;EFGH与厶ABC的重叠部分面积为 S,求S与t的函数关系式;当Ovt 8时,设正方形1

36、中,AH将矩形ABCD的面积分成1 : 3两部分，求t的值.解：(1)如图四边形EFGH是正方形，AB = BC, BE= BG , AE= CG，/ BHE =Z BGH = 90,/ AEH = Z CGH = 90,/ EH = HG , AEH CGH (SAS), AH = CH .2 如图1中，当Ov tw 4时，重叠部分是正方形 EFGH , S= t .如图 2 中，当 4V tw 8 时，重叠部分是五边形 EFGMN , S= SABC- SAEN- SCGM = X 8 X 8 - 222 2X(8 - t) =- t +16t - 32.综上所述,2t2(0t4)L-t2

37、+16t-32 (4t8)(2)如图3 - 1中，延长AH交BC于M，当BM = CM = 4时，直线AH将矩形ABCD的面积分成1 : 3两部分.團头1/ EH / BM ,门- I， 6_t _ t _ ：， t.5CM = DM = 3时，直线AH将矩形 ABCD如图3 - 2中，延长AH交CD于M交BC的延长线于 K，当/ EH /BK,8, AEEHIT，6-t _ ti.=:,11M，交BC的延长线于 N.当CM = DM如图3 - 3中，当点E在线段AC上时，延长 AH交CD于AD = CN= 8.3-3在 Rt ABC 中，AC =10,/ EF / AB,.16t _ EF

38、EF = S (16 - t),5/ EH / CN ,叮=,CN AC #(16-t) 6: ，解得t_.7综上所述,满足条件的 t的值为S或S或 s.5 11722. (2019?巴中)如图，在菱形 ABCD中，连结BD、AC交于点0,过点O作OH丄BC于点H ,以点O为圆心，OH为半径的半圆交 AC于点M . 求证：DC是O O的切线. 若AC = 4MC且AC= 8,求图中阴影部分的面积. 在的条件下，P是线段BD上的一动点，当PD为何值时，PH + PM的值最小，并求出最小值.解：过点O作OG丄CD，垂足为G,在菱形ABCD中，AC是对角线，则 AC平分/ BCD ,/ OH 丄 B

39、C , OG 丄 CD , OH = OG , OH、OG都为圆的半径，即 DC是O O的切线；/ AC= 4MC 且 AC= 8, OC = 2MC = 4,MC = OM = 2, OH = 2,在直角三角形 OHC中，H0 =丄CO,2/ OCH = 30,/ COH = 60,二 HC =二|厂_S 阴影=SOCH - S扇形OHM = CH?OH _- ”OH2= 2乂 m -； 作M关于BD的对称点N，连接HN交BD于点P,/ PM = NP ,ph + PM= PH + PN= HN，此时 PH + PM 最小，ON = OM = OH ,/ MOH = 60,/ MNH = 3

40、0 ,/ MNH =/ HCM ,:.HN!=HC=2-j3即:Pm-RV的最小倩为2品I在 RiAXPO 中；OP二 QFnBCr 二色33在200聊,寸OD= OCtan303贝 QPD=OP-OD=2 血.卜23. ( 2019?凉山州)如图，点 D是以AB为直径的O O上一点，过点 B作O O的切线，交 AD的延 长线于点C, E是BC的中点，连接 DE并延长与AB的延长线交于点F .(1) 求证：DF是O O的切线；(2) 若 OB= BF , EF = 4,求 AD 的长.解：（1）如图，连接OD, BD ,/ AB为O O的直径，ADB = / BDC = 90,在 Rt BDC

41、 中，T BE = EC, DE = EC = BE,./ 1 =Z 3, BC是O O的切线，:丄 3+Z 4 = 90,/ 1 + / 4 = 90,又/ 2=/ 4,/ 1 + / 2 = 90, DF为O O的切线；(2)t OB = BF , OF = 2OD , / F= 30,/ FBE = 90, BEEF = 2, DE = BE = 2, DF = 6,/ F= 30,/ ODF = 90, / FOD = 60,/ OD = OA, / A=/ ADO =. BOD = 30,2 / A=/ F, AD = DF = 6.24. （ 2019?达州）箭头四角形模型规律如图 1,延长 CO 交 AB 于点 D，则/ BOC = / 1 + / B=/ A+/ C+ / B.因为凹四边形 ABOC形似箭头，其四角具有“/ BOC =/ A+ / B+/C”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”.模型应用（1）直接应用： 如图 2,/ A+Z B+ / C+Z D+ / E+Z F = 2a .如图3,Z ABE、Z ACE的2等