积化和差与和差化积公式(教师版)

1、积化和差与和差化积公式、和角、倍半角公式复习课、基本公式复习1、两角和与差公式及规律 sin( ) sin cos cos sincos( ) cos cos msin sintan(tan tan1 mta n tan2二倍角公式及规律sin 2 2sin coscossin 2.sin 2.1 sin(si ncos)22 2,sin2cos2coscos 2tan 222cos sin2cos211 2si n2 .2 ta n2 .1 tan1 cos2cos2.22si n222cos 22sin -2tan221cos12cos12cos1cossinsin2si ncos22co

2、scos2cos -cos22sin sin 2cossin2 2cos cos2si nsin 2 2生动的口诀：（和差化积）口诀正加正，正在前，余加余，余并肩 正减正，余在前，余减余，负正弦 反之亦然3、积化和差与和差化积公式sincos如n(2)sin().cossin1si n(2)sin().coscos1cos(2)cos().sinsin1cos(2)cos()和差化积公式是积化和差公式的逆用形式，要注意的是: 其中前两个公式可合并为一个：sin 9 +sin =2s incos 积化和差公式的推导用了 “解方程组”的思想，和差化积公式的推导用了“换元”思想。 只有系数绝对值相同

3、的同名函数的和与差，才能直接运用公式化成积的形 式，如果一个正弦与一个余弦的和或差，则要先用诱导公式化成同名函数后再运 用公式化积。 合一变形也是一种和差化积。 三角函数的和差化积，可以理解为代数中的因式分解，因此，因式分解在 代数中起什么作用，和差化积公式在三角中就起什么作用。3、积化和差与积差化积是一种孪生兄弟，不可分离，在解题过程中，要切实 注意两者的交替使用。如在一般情况下，遇有正、余弦函数的平方，要先考虑降 幕公式，然后应用和差化积、积化和差公式交替使用进行化简或计算。和积互化 公式其基本功能在于：当和、积互化时，角度要重新组合，因此有可能产生特殊角；结构将变化，因此有可能产生互消项

4、或互约因式，从而利于化简求值。正因 为如此“和、积互化”是三角恒等变形的一种基本手段。sin a +sin B =2sin( a +B )/2 cos( a - B )/2的证明过程因为sin(a + B )=sina cosB +cosa sinB ,sin(a - B )=sina cosB - cosa sinB ,将以上两式的左右两边分别相加，得sin( a + B )+sin( a - B )=2sina cos B,设 a + B = 9 , a - B =那么a =( 9 + )/2, B = (9 - ) /2把a,B的值代入，即得sin 9 +sin =2sin ( 9 +

5、)/2 cos( 9 - ) /2 cos( a - B )-cos( a + B )=(cos a cos B +sin a sin B )-(cos a cos B -sin a sin B )=2sin a sin Bsin a sin B =-1/2-2sina sin B =-1/2(cosa cos B -sin a sin B )-(cos a cos B +sin a sin B )=-1/2cos(a + B )-cos( a - B )其他的3个式子也是相同的证明方法。2ta n 2 cos1tan22tansin,cos,tan1 tan2 1tan2224、万能公式2t

6、a n21 tan2 2sin2sin cos-2 22tanI12 sin 2 cos1tan2 -2222 cos 2 sin1tan2cos2_2212 sin -2 cos1tan2222证：sincostansin2si n2cos22ta n 2cos222cos sin 1 tan 2221、上述二个公式统称为万能公式。2、这个公式的本质是用半角的正切表示正弦、余弦、正切，即：所以利用它对 三角式进行化简、求值、证明，可以使解题过程简洁3、上述公式左右两边定义域发生了变化，由左向右定义域缩小。二、应注意的问题1、两角差的余弦公式是本章中其余公式的基础，应记准该公式的形式2、 倍角

7、公式 cos22cos21 1 2sin2有升、降幕的功能，如果升幕,则角减半，如果降幕，则角加倍，根据条件灵活选用 3、公式的“三用”(顺用、逆用、变用)是熟练进行三角变形的前提 3、整体原则 从角度关系、函数名称差异、式子结构特征分析入手，寻求 三角变形的思维指向；4、角度配凑方法其中、丨J是任意角。)2r厂)厂)L三、例题讲解例1已知a，B均为锐角,sin. 5.a =，sin5.1010求a +B的值。2 解析：由已知条件有cos a =一75, cos51O，且OVa+ Bn。10又 cos( a + B )=cos a cos B -sin a sin B 2 0，所以sin(3

8、x)cos(x ) tan(x例2已知f (x)cos( nx)cot(与 x)2,(nZ)(1)求炸34若cos( R 3,求f()的值.解当n 2k(n Z)时,sin xcosxta nxcotxf (x)sinx;cosx当 n 2k 1(k Z)时，f(x)sinxcosxtanx( tanx)cosxsin xtan2 x.3Q cos( )sinsin故当n为偶数时,f(52sin 52f()sin34;J.4sin -3当n为奇数时,打52、.522 52.42 433f()sintan -sintan333332. 22 sin9f()sin tansin2cos16521例

9、 3 已知 sin( ) ,sin( ).35(2)解(1)当(2,2),(-)时，求sin2 的值.sincoscos sin2J3sincoscos sin15,sincos13,cos30sin730.(1)求 tan cot 的值；方法1sincos13cossin7从而，tan cot方法 2设 x tan cotsin cos cos sinQ迥 ) si n(sin( ) sin(R且3 sin( cos cos si n()cos cos tan tantan tantantantan 1tanx 1x 1(2)由已知可得sin2 sin(si n(103tancot137)(

10、)cos(4.6.5)cos()sin(15例4已知cos(解)1,cos(1 、),求 tan tan2的值sin sin1coscos2sin sin1coscos35 .sin1coscos,si n1212tantansin sin1cos cos5例5已知sincos1,cos2sin1,求 sin(3)的值解将两条件式分别平方，得2 sin2si ncos2 cos2 cos2cossin2 sin将上面两式相加，得2 2s in(si n(13365972例6 J驚駕的值等于A. 2 x3 B . 2、3 C原式 si n(lH 80) coslsi n8 cos(150 8)

11、sin 15 si n8sin 15 cos8 cosl5 s in8 cosl5 s in8cosl5 cos8 sin 15 sin8 sin 15sin8ta n15 tan (45 3)2、3.故选B.ta n45 tan301 tan4 5 ta n3011例 7 已知 cos( a B )= ,sin2 ,2、23解析：由已知条件有都是锐角，求cos( a + B )的值。v2 0,所以 tan aV 0，tan B 0。又因为V V ， V V ，2 2 2 2所以 一V V0, V V0,所以-nVa + BV 0。2 2tan tan3.3-又因为 tan( a + B )=

12、31 tan tan 1 42所以a + B = o3评析：本例根据韦达定理tan a +tan B = 含条件 ta n aV 0,tan Bsin a +sin BB. sin( a + B ) vsin a +sin BC. sin( a +B )=sin a +sin BD.要以 a、B 的具体值而定3 n3 .已知 nVBv , sin2 0 =a，贝U sin 0 +cos B 等于()A.a+1 B . a+1 C . a2+1 D . a2+1114. 已知 tan a =3, tan B =3,贝U cot( a +2B )=.3 315. 已知 tanx=2，贝U cos2

13、x=.【课堂练习2】 求下列各式的值1. cos200 cos80 +cos110 cos10 =.1 _2 . 2 (cos15 + 3 sin 15 )3. 化简 1+2cos2 0 cos2 0 =.x)=4 . cos(20 +x)cos(25 x) cos(70 x)sin(25【课后反馈1】1 .已知0 Va7tVVn,sin5cos( a4B)= 5，则sin B等于A. 0.0 或 242425亠24.0 或25sin7+cos152 . cos7 sin15sin8si n8o的值等于2323 . ABC 中,3sinA+4cosB=6 , 4sinB+3cosA=1 ,贝U

14、 / C 的大小为( )D5 n6，”.n 14. 若a是锐角，且sin( a )= 3，贝u cos a的值是5.n 2 nCOSTCOSCOS 73n1 16. 已知 tan 0 =2，tan =3,且 B、 都是锐角.求证：B + =457.已知 cos( a B )=4 4 口,cos( a + B )= 7，且(a p)(5 57t( ， 2n)，求 cos2 a、cos2 B的值.8.已知sin(a + B )=1，且 sin(n + a B )=1(a n a3,求硏.【课后反馈2】1. cos75 +cos15 的值等于22.(si n17+cos17),2b=2cos 13-

15、1, c=-|-，则A. cv av b B . b v cv a C . a v bv c D . b v av c3.化简1+sin2 0 -cos2 01+sin2 0 +cos2 04 .化简 sin(2 a + B ) 2sin a cos( a + B )=A Ca C5. 在 ABC中，已知 A B、C成等差数列，则tan-+tan 3 tan -tanq的值为.6. 化简 sin 2A+sin2B+2sinAsinBcos(A+B).7 化简 sin50 (1+ 3 tanlO ).8 已知 sin( a + B )=1，求证：sin(2 a + B )+sin(2 a +3B

16、 )=0 .参考答案：课堂练习1】131. C 2 .B 3. B 45.25. 5【课堂练习2】.tan2 0【课后反馈1】1. C2.C 3.A477. cos2 a=25，cos2 B =18【课后反馈2】1. A 2.A 3. ta n047. 18 .略.2 6 -1 1 ” 亠厂 5. 86 .略15sin B 5.3 6.si n 2 (A+ B)2sin cos例14已知sin 3 cos5，求 3cos 2+ 4sin 2 的值。解：. 2sinc5二 cos 0 (否则 2 =5 )sin 3cos.2ta n15解之得：tan =2tan3.原式3(1ta n2 )4 2 tan3(122 )4