高考数学思想与方法专题第1讲函数与方程思想(老师

1、高考数学思想与方法专题第 1 讲函数与方程思想1函数与方程思想的含义(1) 函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等(2) 方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决方程的教学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系2

2、和函数与方程思想密切关联的知识点(1) 函数与不等式的相互转化，对函数y f(x)，当 y0时，就化为不等式f(x)0 ，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式(2) 数列的通项与前 n 项和是自变量为正整数的函数， 用函数的观点去处理数列问题十分重要(3) 在三角函数求值中，把所求的量看作未知量，其余的量通过三角函数关系化为未知量的表达式，那么问题就能化为未知量的方程来解(4) 解析几何中的许多问题，例如直线与二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决这都涉及二次方程与二次函数的有关理论(5) 立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方

3、程或建立函数表达式的方法加以解决，建立空间直角坐标系后，立体几何与函数的关系更加密切.1.用函数最值思想求参数的取值范围【例 1】关于 x 的不等式 22 32x3x+a2 a 30，当 0 x 1 时恒成立，则实数a 的取值范围为.解：设 t=3x，则 t 1,3，原不等式可化为 a2 a3 2t2 +t,t 1,3 .等价于 a2 a 3大于 f(t)= 2t2+t 在 1,3上的最大值 .答案： ( , 1)(2,+ )- 1 -【例 2】 ( 江西卷 ) 若不等式 x2 ax 1 01对于一切 x ( ， 2成立，则 a 的最小值是 ( ). .5. 2解析：与 x2 ax 1 0在上

4、恒成立相比，本题的难度有所增加.思路分析：115 .分离变量，有a ( x x) ，x ( ， 2恒成立 . 右端的最大值为2，故选 .2.看成关于 a 的不等式，由 f( 0) 0，且 f(1) 0 可求得 a 的范围 .23.设 f( x) x2 ax 1，结合二次函数图象，分对称轴在区间的内外三种情况进行讨论.4.11f( x) x2 1， g( x) ax，则结合图形 ( 象 ) 知原问题等价于 f( ) g() ，即 a 225 2.5. 利用选项，代入检验， 不成立，而 成立 . 故选 .答案： 点评：思路具有函数观点，可谓高屋建瓴. 思路又充分利用了题型特点.【例 3】.设 f(

5、x)1 2x4x a时 f(x)有意义，求实数a 的取 lg，如果当 x (- ,13值范围。xx【分析】当x (- ,1 时 f(x) lg 124 a 有意义的函数问题，转化为1 2 x 34 x a0 在 x(- ,1 上恒成立的不等式问题。【解】由题设可知，不等式1 2 x 4 x a0 在 x (- ,1 上恒成立，1即： (2) 2 x (12) x a0 在 x (- ,1 上恒成立。1)x,则 t 1又设 g(t) t2 t a，其对称轴为1设 t (，t 222 t2 t a 01,+ ) 上无实根，即 g(11)213在) (2 a0，得 a2224- 2 -3所以 a 的

6、取值范围是a。4【注】对于不等式恒成立，引入新的参数化简了不等式后，构造二次函数利用函数的图像和单调性进行解决问题，其中也联系到了方程无解，体现了方程思想和函数思想。一般地，我们在解题中要抓住二次函数及图像、二次不等式、二次方程三者之间的紧密联系，将问题进行相互转化。在解决不等式( 1 ) 2 x ( 122) x a0 在 x (- ,1 上恒成立的问题时，也可使用 “分离参1)x, t1a t2 t ( , 3数法”： 设 t (，则有 ，所以 a 的取值范围是 a2243。其中最后得到a 的范围，是利用了二次函数在某区间上值域的研究，也可属应用“函4数思想”。【例 4】 定义在 R 上的

7、奇函数f(x)，当 x 0， )时， f(x)是增函数，对于任意的 0， 2 ，均有 f(cos 2 3) f(4m 2mcos )0，试求实数m 的取值范围解因为 f(x) 是定义在 R 上的奇函数，当x0 ， )时， f(x)是增函数，则f(x) 在 ( ，0上也是增函数，所以f(x)在 R 上是增函数，且f(0) 0， f(cos 23) f(4m 2mcos )0 ， f(cos 23) f(2mcos 4m)，于是 cos 232mcos 4m，即 cos2 mcos 2m 20.得 mcos2 2，设 h()cos2 2，cos 2 2cos2则 h() 42 cos 2 cos

8、4 2 2，即 h( )max 4 2 2，只须 m4 2 2.故实数 m 的取值范围是(4 22， )【例 5】. (2012 天津滨海新区五所重点学校联考)定义在 R 上的增函数 y f(x)对任意 x，y R都有 f(x y) f( x) f(y)(1)求 f(0)；(2)求证： f(x)为奇函数；(3)若 f(k3x) f(3x 9x 2)0 对任意 x R 恒成立，求实数k 的取值范围思维启迪： (1)赋值法是解决抽象函数问题的常用方法，第(1)(2) 两问可用赋值法解决(2)将恒成立问题转化成函数最值问题(1)解 令 x y 0，得 f(00) f(0) f(0) ，- 3 -即

9、f(0) 0.(2)证明令 y x，得 f(xx) f(x) f(x)，又 f(0) 0，则有 0 f(x)f( x)，即 f( x) f(x)对任意 xR 成立，所以 f(x)是奇函数(3)解方法一因为 f(x)在 R 上是增函数，又由 (2) 知 f(x)是奇函数f(k3x) f(3 x 9x 2) f( 3x 9x 2)，所以 k3x0对任意 xR 成立3 (1 k) 3令 t 3x0，问题等价于 t 2 (1 k)t 20 对任意 t0 恒成立令 f(t) t2 (1 k)t 2，其对称轴为 x 1 k，2当1 k20 即 k0，符合题意；1 k 0，当1 k 0 即 k 1 时，对任

10、意 t0，f(t)0 恒成立 ?2解得2 1 k243 20，1k 1 22.综上所述，当k 1 22时， f(k3x) f(3x 9x 2)0 对任意 xR 恒成立方法二由 k3xx 9x 2，得 k3 x 2x 33 1.x2x 2时，取 “ ”，即 u 的最小值为 221，u3 x 1 22 1,33x2要使对 x R，不等式k3 x 1 恒成立，只要使 kf(x) (或 a0， a， c R)(1)设 ac0.若 f(x)c2 2ca 对 x 1， )恒成立，求c 的取值范围；(2)函数 f(x)在区间 (0,1)内是否有零点，有几个零点？为什么？解(1) 因为二次函数f(x) 3ax

11、2 2(a c)x c 的图象的对称轴为x ac，由条件 ac0，3a得2aa c，故a c2a21，即二次函数f(x)的对称轴在区间 1 ， )的左边，且抛3ac2 2c a 对 x 1， )恒成立， 则 f(x)min f(1) c2 2ca，即 a cc2 2c a，得 c2 c0，所以 0c1.(2)若 f(0) f(1) c(a c)0 ，则 c0，或 a0， f(1) ac0 ，则 ac0.因为二次函数f(x) 3ax2 2(ac) x c 的图象的对称轴是x a c3a .而 fa c a2 c2 ac3am(x 2 1) 对满足 |m| 2 的一切实数m的取值都成立。求x 的取

12、值范围。【分析】此问题由于常见的思维定势，易把它看成关于x 的不等式讨论。然而，若变换一个角度以m为变量，即关于 m的一次不等式 (x 2 1)m (2x 1)0 在 -2,2上恒成立的问题。对此的研究，设f(m) (x 2 1)m (2x 1) ，则问题转化为求一次函数（或常数函数）f(m)的值在 -2,2 内恒为负值时参数 x 应该满足的条件f (2)0f ( 2)。0【解】问题可变成关于m的一次不等式： (x 2 1)m (2x 1)m(x 2 1) 的解集是 -2,2时求m的值、关于 x 的不等式 2x 1m(x 2 1) 在 -2,2上恒成立时求 m的范围。一般地， 在一个含有多个变

13、量的数学问题中，确定合适的变量和参数， 从而揭示函数关系，使问题更明朗化。或者含有参数的函数中，将函数自变量作为参数，而参数作为函数，更具有灵活性，从而巧妙地解决有关问题。- 7 -【例 10】对于 a 1,1 的一切值，使不等式 ( 2 ) x 2 ax 1( 2) 2 x a 恒成立的 x 的取值范围是33分析：从一个含有多变元的数学问题里，选定合适的主变元，从而揭示其中主要的函数关系。解 析 ;( 2 ) x 2 ax 1( 2) 2 x a且021 ，x 2ax1 2x a， 即333a(x1)( x1) 20。当 x1时，不定式不成立。当 x1时，设 f ( a)a( x1)( x1

14、)2。当 x1时， f (a)时1,1上的增函数，欲使 f (a)0恒成立，则只需 f (1)0 ，即( x1) 2( x1) 0,x1 0,x2.又当，x 1时， f (a)时 1,1上的减函数，欲使 f (a)0恒成立，则只需 f (1)0即 ( x1) 2( x1)0,x1,x0.故 x 的取值范围时 (,0)(2,) 。点评：本解的巧妙之处是“反客为主”，求 x 反而以 a 为主变元对 x 进行讨论，这才是真正切中要害。若以 x 为主元对 a 进行讨论，则问题的解决就繁就难多了。【例 11】. 设函数 f (x) 在 R 上存在导数f(x),xR ，有 f ( x) f (x)x2 ，

15、在 (0,) 上，f ( x)x ，若 f (2m)f (m)22m ，则实数 m的取值范围： m1.分析：因为 f (x)f ( x)x2 ，所以 f (x)x2f (x)0 ，令 g( x)f (x)1 x2，所以2g( x)g ( x)f (x)1 x2f (x)1 x20 ，所以函数 g( x) 为奇函数。 因为 x0,22时， g ( x)f( x)x0 ，所以函数 g( x) 在 0,上是减函数，故函数 g( x) 在,0 上也是减函数，由f (0)0，可得 g( x) 在 R 上也是减函数，则不等式：f (2m)f (m) 22m 等价于： f (2(2m)2m2，即m)2f (

16、m)2g(2m)g(m) ，所以 2mm ，解得： m1.【例12】 . 已知函数f ( x)( xR) 满足 f (1)1，且 f ( x) 的导函数f( x)1，则不等式2f (x2 )x21的解集为x,11,.22- 8 -分 析 ： 设 F ( x)f ( x)1f (，x)则 F ( x)f ( x)1， 因 为 f ( x)1， 所 以222F ( x)12)x21f ( x)，0 即 函 数 F ( x) 在 R 上 单 调 递 减 ， 而 f ( x2， 即22f ( x2 )x2f ( 1 )1，所以 F (x2 ) F (1)，而函数 F ( x) 在 R 上单调递减，所以

17、x21 ，即22x, 11,。【例 13】.已知函数 f ( x) ( 1) x11x )，则使得 f ( x)f (2 x 1)成立的 x 的取2log 1 (12值范围是（D）A. (1 ,1)B., 11,C.1 ,1D.,11 ,11,3333分析：由 1log 1 (1x )0 得 x1，所以函数f ( x) 的定义域为x x1 。当 x0时，2(1 ) x 为减函数，11x)为减函数，所以f (x) 为减函数，当 x0 时， ( 1 ) x 为增函2log 1 (122数，1为增函数，所以f ( x) 为增函数。因为f (x)(1) x1为1 log 1 (1x)21 log 1

18、(1x )22偶 函 数 ， 且 f ( x)f (2 x 1) ， 所 以 x2x 1 ， 两 边 平 方 得 ： x24x24x 1 ， 即3x24x 1 0 ， 解 得 ： x1 或 x1 ， 又 x1 ， 所 以 x 的 取 值 范 围 是3,11 ,11,，故选 D.3【例 14】. 解不等式 x(1x22 )(x 1)(1(x1) 22)0 。分析：由观察可构造函数f (x)x(1x 22) 再利用函数的性质，解决问题。解 析 : 设 f ( x)x(1x 22 ), xR ， 易 证 f ( x)在区间 0,内为增函数。f(x)(1x22)f(x).f( )是奇函数，从而f(x)

19、在区间（，）上为增函数，xx原不等式可化为 f (x)f ( x1)0,即 f ( x1)f ( x) f (x),即 x 1x,1x2点评：有关不等式、方程及最值之类的问题，通过构造函数关系式，借助函数的图像与性质，常可使问题简单得解。- 9 -【例 15】.（ 2012 盐城二检） 13设 f( x) 是定义在 R 上的可导函数， 且满足 f ( x)xf ( x) 0 .则不等式 f (x 1)x1 f (x 21) 的解集为【答案】 x |1x2 ；解：令 g( x)xf ( x) ，则 g (x)f (x)xf (x)0 ， g( x) 为增函数，不等式 f (x1)x1f ( x2

20、1) 可化为 x1 f (x1)x2 1 f ( x21) ，即 g( x1)g(x21) ，由x1x211x2 ，10x不等式 f (x 1)x1 f (x 21)的解集为 x |1x2 ；说明：体会如何构造函数，又如已知f ( x) 2xf ( x)0 如何构造函数等。【 例16 】（ 2010天 津 理 数 ）（ 16 ） 设 函 数 f (x) x2 1 ， 对 任 意 x2 ,，3fx4m2 f (x)f ( x 1) 4 f (m) 恒成立，则实数 m 的取值范围是.m【解析】本题主要考查函数恒成立问题的基本解法，属于难题。依 据 题 意 得 x21 4m2 ( x21)( x 1

21、)21 4( m2 1) 在 x 3 ,) 上恒定成立，即m2214m2321在 x3, ) 上恒成立。m2x2x23时 函 数 y321取得最小值5125当xx2x， 所 以24m， 即23m3(3m2 1)(4m2 3) 0 ，解得 m3或 m322【温馨提示】本题是较为典型的恒成立问题，解决恒成立问题通常可以利用分离变量转化为最值的方法求解【例 17】(1) f(x)ax3 3x 1 对于 x 1,1 总有 f(x) 0 成立，则a _.(2) 设 f(x)，g(x)分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x0 ，且g( 3) 0，则不等式f(x)g(x)0 即 x (0,1时， f(x)

22、 ax3x 1 0 可化为 ax2 x3.3 13 12x11，1 上单设 g(x) x2 x3，则 g( x)x4，所以 g(x)在区间0， 2上单调递增，在区间2调递减，因此 g(x)max g1 4，从而 a4；2当 x0 即 x 1,0)时，331f(x) ax 3x1 0可化为 a x2x3，3 1设 g(x) x2 x3，且 g(x)在区间 1,0)上单调递增，因此 g(x)min g( 1) 4，从而 a 4，综上 a4.(2) 设 F(x) f(x)g(x)，由于 f(x)，g(x)分别是定义在R 上的奇函数和偶函数， 得 F( x) f( x)g(x) f( x)g(x) F

23、( x)，即 F(x)在 R 上为奇函数又当 x0，所以 x0 时， F(x)也是增函数因为 F( 3) f( 3)g( 3) 0 F(3) 所以，由图可知F(x)0 或 f(x)0 或 f(x)max0 ；已知恒成立求参数范围可先分离参数，然后利用函数值域求解3.构造函数，利用函数解方程【例18】 （ 1）关于 x的方程 cos2 xsin xa0 在0, 上有解，则实数a的取值范围2是。（ 2 ）关于 x 的不等式 cos2 xsin xa0在 0, 上有解，则实数a 的取值范围2是。（ 3）关于 x 的不等式 cos2 xsin xa0在0, 上恒成立，则实数a的取值范围2是。解：（ 1

24、）由 cos2 xsin x a0 得 acos2xsin x ，令 f ( x)cos2x sin x 有f (x)sin2 x sin x1 (sin x1 )25，又 x0, ，得 sin x0,1 ，242-11-于是 f ( x) 1,1 ，得实数 a 的取值范围是 1,1.(2) 由（ 1 ）知 af ( x) 在 0, 上有解，得af ( x)min1，得实数 a 的取值范围是21,) .(3)由（ 1）知 af (x) 在 0,2 上恒成立，得af ( x) max1，得实数 a 的取值范围是1,) .评析： 从方程中，我们构建了函数，从函数的角度解决了方程问题。【例 19】关

25、于 x的方程 9 x(4a)3 x40 恒有解，求 a的取值范围。分析：通过换元将方程变为二次方程恒有正根，同时利用根与系数的关系。解析：（法一）设3xt ,则t0.原方程有解即方程2(4)4 0 有正根，ta t0(4a) 2160,a0或 a8,x1x2(4a) 0 即a4,a4，x1x240,解得 a8.（方法二）设f (t )t 2(4a)t4,当0时，即 (4a)2160,a0或a8.a0时, f (t)(t2) 20, 得 t20, 不符合题意 ；a8时 ,f() (2) 20, 得t20, 符合题意。a8tt0,即 a8, 或 a0时f(0)4,故只需对称轴4 a0,即 a4.a8 .2综上可得， a8 。点评：对于多元方程（含参数）通常有两类办法：一是换元，将问题转化为二次方程，利用根与系数的关系或判别式，或者