高三数学专题复习离心率的三种求法

1、椭圆、双曲线离心率的三种求法椭圆的离心率0 e 1 ，双曲线的离心率e1 ，抛物线的离心率e 1 一、直接求出a,c，求解 e.已知圆锥曲线的标准方程或a，c 易求时，可利用率心率公式ec 来解决 .x2y2a例 1：已知 F 1( 1，0)，F2(1 ，0)是椭圆 a2 b2 1 的两个焦点，若椭圆上一点P 满足 |PF 1| |PF 2| 4，则椭圆的离心率 e _ 12变式练习1：若椭圆经过原点，且焦点为F11,0， F2 3,0，则其离心率为（） CA 3B.2C. 1D.14324变式练习 2：如果双曲线的实半轴长为 2，焦距为 6，那么双曲线的离心率为（） CA.3B.6C.3D.

2、2222二、构造 a,c 的齐次式，解出e.根据题设条件，借助 a,b,c 之间的关系，构造a,c 的关系式（特别是齐次式），进而得到关于e 的方程，从而解得离心率e.x2y2例 2： (2012 江西 )椭圆 a2 b2 1(ab0)的左，右顶点分别是A，B，左，右焦点分别是F1， F2，若 |AF 1|，5|F 1F 2|， |F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为_ 522变式练习1：已知 F1， F2是双曲线 x2y21( a0,b 0 )的两焦点，以线段F1 F2 为边作正三角形MF1 F2，ab若边 MF 1 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（） DA.423B.31C.31D

3、.3 12变式练习2：若双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为 FF，F MF21200，则双曲线的离心率为()B1， 21A.366D.3B.C.32322变式练习3：设双曲线 x2y21( b a0 )的半焦距为 c，直线 l 过 a,0,0,b 两点 .已知原点到直线的距ab离为3c ，则双曲线的离心率为 () A4A. 2B.3C. 223D.3三、采用离心率的定义以及椭圆的定义求解例 3：设椭圆的两个焦点分别为F1， F2，过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若 F1PF 2 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是_. 21第1页共17页【跟踪训练】1已知椭圆的长轴长是短轴长的2 倍

4、，则椭圆的离心率等于（） DA 13C 1D 3B 33222242已知双曲线xy1的一条渐近线方程为yx ，则双曲线的离心率为（）Aa2b2354C.53A.B.4D.332x2y21 ( a0,b0 )的两个焦点， A 和 B 是以 O3如图， F1 和 F2 分别是双曲线b2a2y为圆心，以 OF1为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且F2 AB 是等边三A角形，则双曲线的离心率为（）DF 1OF2xBA. 3B. 5C.5D.3124设 F1 ，F2 分别是双曲线x2y21 的左、右焦点，若双曲线上存在点A，使 F1 AF2900，且 AF13AF2 ，22ab则双曲线离心率为（） B

5、5B.10C.15D.5A.222225已知双曲线xy1( a0,b0 )的右焦点为 F，若过点 F 且倾斜角为600 的直线与双曲线的右支有且a2b2只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（） CA. 1,2B. 1,2C. 2,D.2,x2y21(ab0) 的左顶点为 A，左焦点为 F，上顶点为 B，若 BAO+ BFO=90 ，则6已知椭圆 C : 22ab椭圆 C 的离心率是.512【走进高考】1 (2013 浙江理 )如图 , F1 , F2 是椭圆 C1 : x2y21与双曲线 C2 的公共y4焦点,A,B分别是 C1,C2 在第二、四象限的公共点. 若四边形AAF1 BF2

6、为矩形 , 则 C2 的离心率是 ( )DF 1OF2xA. 2B .3B（第 1 题图）C. 3D .6222.(2013 湖南理 )设 F1, F2是双曲线 C : x2y21(a 0,b0) 的两个焦点， P 是 C 上一点 ,若 PF1PF2 6a,a2b2且 PF 1F2 的最小内角为 30, 则 C 的离心率为.3第2页共17页3.(2013 福建理 )椭圆x2y21(ab 0)的左、右焦点分别为F1, F2 ,焦距为2c,若直线 y3( xc) 与椭:22ab圆的一个交点 M 满足MF1 F22 MF2 F1 , 则该椭圆的离心率等于_. 31x2y24.(2013 辽宁理 )

7、已知椭圆 C : a2b21(a b0) 的左焦点为F,C与过原点的直线相交于A,B 两点 ,连接AF, BF, 若 AB10 ,AF6 , cosABF4, 则 C 的离心率 e=_.5575. (2014 江西理 )过点 M(1,1) 作斜率为1的直线与椭圆 C：x2y21(ab0) 相交于 A, B ，若 M 是线段2a2b2AB 的中点，则椭圆C 的离心率为.226.(2014 浙江理 )设直线 x3 ym0(m0)x2y21（ ab0 ）两条渐近线分别交于点与双曲线b2a2A, B ，若点 P( m,0) 满足 PAPB , 则该双曲线的离心率是5_.27.(2014 重庆理 )设

8、F1， F2 分别为双曲线x2y21(a 0,b0) 的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得a 2b2| PF1 | |PF2| 3b, | PF1 | | PF29）B|ab ，则该双曲线的离心率为（4A. 4B. 5C. 9D.33348.(2015 新课标 II 理 )已知 A， B 为双曲线 E 的左，右顶点，点M 在 E 上， ABM 为等腰三角形，且顶角为 120，则 E 的离心率为 ()DA.5B.2C.3D.2x2y21的一个焦点，若C 上存在点 P，使线段 PF 的中点恰为其虚9.(2015 湖南理 )设 F 是双曲线 C：2b2a轴的一个端点，则C 的离心率为.5C1： x

9、2210.(2015 山东理 )平面直角坐标系xOy中，双曲线2y21 a0,b0 的渐近线与抛物线C2：abx22 py p0 交于点 O， A， B，若 OAB 的垂心为 C2 的焦点，则 C1 的离心率为.322211.(2016 浙江理 )已知椭圆 C1 ： x 2 +y2=1(m1) 与双曲线 C2： x2 y2=1( n0) 的焦点重合， e1，e2 分别为 C1，mnC2 的离心率，则（） AA mn 且 e1e21B mn 且 e1e21C m1D mn 且 e1e20 ， b0）矩形 ABCD 的四个顶点在 E 上， AB， CDab的中点为 E 的两个焦点，且2|AB|=3

10、|BC|，则 E 的离心率是 _ 2xOyFx2y2yb15.(2016 江苏 )如图，在平面直角坐标系中，是椭圆 a 2b2 1(ab0) 的右焦点，直线2 与椭圆交于 B,C 两点，且BFC90 ,则该椭圆的离心率是6.316.(2017 新课标理15)已知双曲线 C： x2y21（ a0， b0）的右顶点为 A，以 A 为圆心， b 为半径作a2b2圆 A，圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于M、 N 两点 .若 MAN =60，则 C 的离心率为 _. 2 3317.(2017 北京文 10)若双曲线 x2y21的离心率为3 ，则实数 m=_ 2m18.(2017新课标理9)若双曲线

11、C:221( a0 b0)的一条渐近线被圆x2y24 所截得x2y2，2ab的弦长为 2，则 C 的离心率为（） AA 2B 3C2D 23319.(2017 新课标文11)已知椭圆 C：x2y21， ( ab0) 的左、右顶点分别为A1， A2，且以线段 A1A2a2b2为直径的圆与直线bx ay2ab0 相切，则 C 的离心率为（） AA 6B 32133CD33第4页共17页20.(201814)x2y2x2y2N北京理已知椭圆 M ：a2b21(a b0) ，双曲线 N：m2n21 若双曲线的两条渐近线与椭圆 M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率

12、为_ ；双曲线 N 的离心率为 _ 31221.(2018 江苏 8) 在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线 x2y21(a0,b0)的右焦点 F (c,0) 到一条渐近线a2b2的距离为3c ，则其离心率的值是 2222.(2018 新课标理12)已知 F 1， F2 是椭圆 C: x2y21(ab0)的左、右焦点， A 是 C 的左顶点，点Pa2b2在过 A 且斜率为3 的直线上， PF 1F2 为等腰三角形， F12的离心率为 () D6F P=120 ，则 C21C11A.B 3D32423.(2018 新课标理11)设 F1，F 2 是双曲线 C: x2y21(a0,b0) 的左，

13、右焦点， O 是坐标原点过F 2a2b2作 C 的一条渐近线的垂线，垂足为P若 PF16 OP ，则 C 的离心率为 () CA 5B 2C 3D 2第5页共17页椭圆、双曲线离心率的三种求法椭圆的离心率0 e1 ，双曲线的离心率e1，抛物线的离心率e 1 一、直接求出a,c，求解 e.已知圆锥曲线的标准方程或a，c 易求时，可利用率心率公式ec 来解决 .x2y2a例 1：已知 F 1( 1，0)，F2(1 ，0)是椭圆 a2 b2 1 的两个焦点，若椭圆上一点P 满足|PF 1| |PF 2| 4，则椭圆的离心率 e _【答案】 121【解析】由椭圆定义及 |PF 1| |PF2| 4，得

14、 2a 4， a 2， c 1，e .2变式练习1：若椭圆经过原点，且焦点为F11,0， F2 3,0 ，则其离心率为（）A 3B.2C.1D.13424【答案】C【解析】由 F11,0， F23,0知2c 31， c1 ，又椭圆过原点， ac 1 ， ac 3. a2 ， c1c1，所以离心率 e.故选 C.a2变式练习 2：如果双曲线的实半轴长为 2，焦距为 6，那么双曲线的离心率为（）A.3B.6C. 3D.2222【答案】 C【解析】由题设a2 ， 2c6 ，则 c3 ， ec3 ，因此选 C.a2二、构造 a,c 的齐次式，解出e.根据题设条件，借助a,b,c 之间的关系，构造a,c

15、 的关系式（特别是齐次式），进而得到关于e 的方程，从而解得离心率 e.22例 2： (2012 江西 )椭圆 x2y2A，B，左，右焦点分别是， F，若 |AF1|，a b 1(ab0)的左，右顶点分别是F 12|F 1F 2|， |F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为_【答案】55【解析】由椭圆的定义知，|AF1| a c， |F1F2 | 2c， |BF1 | a c. |AF 1|， |F 1F 2|， |BF 1|成等比数列，因此4c2( ac) (a c)，整理得 5c2 a2，两边同除以a2 得 5e2 1，解得 e 5.522变式练习 1：已知 F1 ， F2 是双曲线 x2

16、y2 1（ a0, b 0 ）的两焦点， 以线段 F1F2 为边作正三角形MF1 F2 ，ab若边 MF 1 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）第6页共17页A.423B.31C.31D.312【答案】 D【解析】如图，设MF 1 的中点为 P， F1(-c,0)，M (0, 3c ), P(c3cc23c22 ,2).代入双曲线方程，得4a24b 21 . c48a2c24a40 ， e48e24 0 ， e242 3 ， e 1 3 .故选 D.变式练习2：若双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为 F1 ，F2 ， F1 MF21200，则双曲线的离心率为 （）A.3B.6C.6D.3

17、323【答案】 B【解析】如图所示，不妨设M 0,b， F1c,0， F2c,0，则 MF1MF2c2b2 ，又 F1 F22c ，MF12MF222在F1MF2中， 由余弦定理，得 cosF1 F2,F1MF22 MF1MF222222221cbcb4cc1 .即2 c2b2， b2b2c22 b2c 2a 2 ，2ca 21 ，3a22c2 ， e23， e6，故选 B.2a 2222变式练习3：设双曲线 x2y21( ba0)的半焦距为 c，直线 l 过 a,0, 0,b两点 .已知原点到直线的距a 2b2离为3 c ，则双曲线的离心率为 ()4A. 2B.3C. 223D.3【答案】

18、A【解析】由已知，直线l 的方程为 bxayab0 ，由点到直线的距离公式，得ab3 c .a2b24又 c2a2b2 , 4ab3c2 ,两边平方，得 16a2c2a23c4 ，整理得 3e416e2160 ，得 e24或 e24.又0 a b2c2a2b21b22 ，e24e 2，故选 A.3， ea2a 2a2，三、采用离心率的定义以及椭圆的定义求解例 3：设椭圆的两个焦点分别为F1， F2 ，过 F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若 F1PF 2 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是_.第7页共17页【答案】21c2c2c2c12 1 .【解析】 e2 2c 2ca 2a PF1 PF2

19、2 1【跟踪训练】1已知椭圆的长轴长是短轴长的2 倍，则椭圆的离心率等于（）A 13C 1D 3B 2332答案： D解析： 椭圆的长轴长是短轴长的2 倍， a=2b，椭圆的离心率c3，选 D.e2a224 x ，则双曲线的离心率为（2已知双曲线xy1的一条渐近线方程为y）a2b23A. 5B. 4C. 5D. 33342答案： A解析： 双曲线焦点在x 轴，由渐近线方程可得b4 ，可得 ec32425 ，故选 A.a3a33x2y21 ( a0,b0 )的两个焦点， A 和 B 是以 O3如图， F1 和 F2 分别是双曲线b2a2y为圆心，以 OF1为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且F

20、2 AB 是等边三A角形，则双曲线的离心率为（）F 1OF2xBA.3B.55D.3 1C.2答案： D解析： 连接 AF 1，F2 AB 是等边三角形，AF2F1=30， F1AF2=90. |AF 1|=c， |AF2|=3 c， 2a=(3- 1)c，双曲线的离心率为 1+3 ，故选 D.4设 F1 ，F2 分别是双曲线x2y21的左、右焦点，若双曲线上存在点A，使F1 AF2 900 ，且 AF1 3 AF2，a2b2则双曲线离心率为（）A.5B.10C.15D. 5222答案： B解析：设 F ，F分别是双曲线x2y21的左、右焦点 .若双曲线上存在点A，使 F 1AF 2=90o，且|AF 1|=3|AF2 |，a 2b212设 |AF 2|=1， |AF1|=3，在双曲线中2a=|AF 1|- |AF2 |=2， 2c=22= 1010AF1AF2,离心率 e=.25已知双曲线x2y21( a0,b0)的右焦点为