动点问题含答案.(20210307143641)

1、动点问题1. 如图，在直角梯形 ABCD 中，AD / BC , / B=90 , AD=24cm , AB=8cm , BC=26cm , 动点P从A开始沿AD边向D以1cm/s的速度运动；动点Q从点C开始沿CB边向B以3cm/s的速度运动.P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另外 一点也随之停止运动，设运动时间为 ts .2. (1)当t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？3. (2)当t为何值时，四边形PQCD为等腰梯形？4. (3)当t为何值时，四边形PQCD为直角梯形？点评：此题主要考查了平行四边形、等腰梯形，直角梯形的判定，难易程度适中.5. 如图， ABC中，点

2、0为AC边上的一个动点，过点 0作直线MN / BC ,设MN交/ BCA的外角平分线CF于点F，交/ ACB内角平分线CE于E.6. (1)试说明 EO=FO ;7. (2)当点O运动到何处时，四边形 AECF是矩形并证明你的结论；8. (3)若AC边上存在点O,使四边形AECF是正方形，猜想 ABC的形状并证明你的 结论.点评：本题主要考查利用平行线的性质 等角对等边”证明出结论(1 )，再利用结论(1 )和矩形的 判定证明结论(2)，再对(3)进行判断.解答时不仅要注意用到前一问题的结论，更要注 意前一问题为下一问题提供思路， 有相似的思考方法.是矩形的判定和正方形的性质等的综 合运用.

3、9. 如图，直角梯形 ABCD 中，AD / BC，/ ABC=90，已知 AD=AB=3，BC=4，动点 P 从B点出发，沿线段BC向点C作匀速运动；动点Q从点D出发，沿线段DA向点A 作匀速运动.过Q点垂直于AD的射线交AC于点M,交BC于点N . P、Q两点同时 出发，速度都为每秒1个单位长度.当Q点运动到A点，P、Q两点同时停止运动.设 点Q运动的时间为t秒.10. (1 )求NC，MC的长(用t的代数式表示);11. (2)当t为何值时，四边形PCDQ构成平行四边形；12. (3)是否存在某一时刻，使射线 QN恰好将 ABC的面积和周长同时平分？若存在,求出此时t的值；若不存在，请说

4、明理由;13. (4)探究：t为何值时， PMC为等腰三角形.点评:此题繁杂，难度中等，考查平行四边形性质及等腰三角形性质. 考查学生分类讨论和数形结 合的数学思想方法.14. 如图，在矩形ABCD中，BC=20cm，P，Q，M，N分别从A，B，C，D出发沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端 点时，运动即停止.已知在相同时间内，若BQ=xcm (xM0),则AP=2xcm , CM=3xcm ，DN=x2cm .1)当x为何值时，以PQ，MN为两边，以矩形的边(AD或BC)的一部分为第三边构 成一个三角形；(2) 当x为何值时，以P，Q，M，N

5、为顶点的四边形是平行四边形；(3) 以P， Q，M，N为顶点的四边形能否为等腰梯形？如果能，求 x的值；如果不能， 请说明理由.点评:本题考查到三角形、平行四边形、等腰梯形等图形的边的特点.如图，在梯形 ABCD 中，AD / BC，/ B=90，AB=14cm，AD=15cm，BC=21cm，点 M 从点A开始，沿边AD向点D运动，速度为1cm/s ;点N从点C开始，沿边CB向点B 运动，速度为2cm/s、点M、N分别从点A、C出发，当其中一点到达端点时，另一点也 随之停止运动，设运动时间为t秒.(1 )当t为何值时，四边形MNCD是平行四边形？(2) 当t为何值时，四边形MNCD是等腰梯形

6、？点评：考查了等腰梯形和平行四边形的性质，动点问题是中考的重点内容.15. 如图，在直角梯形 ABCD 中，AD / BC，Z C=90，BC=16，DC=12，AD=21，动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2个单位长 的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动， P、Q分别从点D、C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动，设运动时 间为t (s).16. (1 )设厶BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系；17. (2)当t为何值时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？点评：本题主要考查梯形的性质及勾股定理在解题(2 )时，应注意分情况

7、进行讨论，防止在解 题过程中出现漏解现象.18. 直线y二34x+6与坐标轴分别交于A、B两点，动点P、Q同时从0点出发，同时到达A点，运动停止点Q沿线段0A运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线O?B?A 运动.19. (1 )直接写出A、B两点的坐标；20. (2)设点Q的运动时间为t(秒)， OPQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式；21. (3)当S= 485时，求出点P的坐标，并直接写出以点 0、P、Q为顶点的平行四边形 的第四个顶点M的坐标.点评：本题主要考查梯形的性质及勾股定理.在解题(2 )时，应注意分情况进行讨论，防止在解 题过程中出现漏解现象.1.分析：(1) 四边形

8、PQCD为平行四边形时PD=CQ .(2) 四边形PQCD为等腰梯形时QC-PD=2CE .(3) 四边形PQCD为直角梯形时QC-PD=EC .所有的关系式都可用含有t的方程来表示，即此题只要解三个方程即可.解答：解：(1)v四边形PQCD平行为四边形 PD=CQ 24-t=3t解得：t=6即当t=6时，四边形PQCD平行为四边形.(2)过D作DE丄BC于E 则四边形ABED为矩形BE=AD=24cm-EC=BC-BE=2cm四边形PQCD为等腰梯形 QC-PD=2CE即 3t- (24-t) =4解得：t=7 (s)即当t=7 (s )时，四边形PQCD为等腰梯形.(3) 由题意知：QC-

9、PD=EC时，四边形PQCD为直角梯形即3t-(24-t)=2解得：t=6.5( s)即当t=6.5( s)时，四边形PQCD为直角梯形.2.分析：(1) 根据CE平分/ ACB , MN / BC ,找到相等的角，即/ OEC= / ECB，再根据等边对 等角得OE=OC，同理0C=0F ,可得EO=FO .(2) 利用矩形的判定解答，即有一个内角是直角的平行四边形是矩形.(3) 利用已知条件及正方形的性质解答.解答：解：(1)v CE 平分/ ACB， / ACE= / BCE， MN / BC， / OEC= / ECB， / OEC= / OCE， OE=OC，同理，OC=OF， OE

10、=OF .(2) 当点O运动到AC中点处时，四边形AECF是矩形.如图 AO=CO，EO=FO，四边形AECF为平行四边形，v CE 平分/ ACB，1 / ACE= 一/ ACB，1同理，/ ACF= 一/ ACG，1 1 / ECF= / ACE+ / ACF= - (/ ACB+ / ACG ) = - X18O =90，四边形AECF是矩形.(3) ABC是直角三角形v四边形AECF是正方形， AC 丄 EN，故/ AOM=90 ，v MN / BC， / BCA= / AOM，:丄 BCA=90 , ABC是直角三角形.3.分析：(1) 依据题意易知四边形 ABNQ 是矩形 NC=B

11、C-BN=BC-AQ=BC-AD+DQ ，BC、AD 已知，DQ 就是 t，即解；t AB / QN， CMN CAB， CM : CA=CN : CB，(2) CB、CN已知，根据勾股定理可求 CA=5，即可表示CM ;四边形PCDQ构成平行四边形就是PC=DQ，列方程4-t=t即解；(3) 可先根据QN平分 ABC的周长，得出MN+NC=AM+BN+AB ，据此来求出t的值.然 后根据得出的t的值，求出 MNC的面积，即可判断出 MNC的面积是否为 ABC面积 的一半，由此可得出是否存在符合条件的 t值.(4) 由于等腰三角形的两腰不确定，因此分三种情况进行讨论： 当MP=MC时，那么PC

12、=2NC，据此可求出t的值. 当CM=CP时，可根据CM和CP的表达式以及题设的等量关系来求出 t的值. 当MP=PC时，在直角三角形MNP中，先用t表示出三边的长，然后根据勾股定理即可 得出t的值.综上所述可得出符合条件的t的值.解答:解: ( 1)t AQ=3-t CN=4- (3-t) =1+t在 Rt ABC 中，AC2=AB2+BC2=32+424-55+5tCM= AC=5在 Rt MNC 中，cos / NCM=(2) 由于四边形PCDQ构成平行四边形 PC=QD，即 4-t=t 解得t=2 .(3) 如果射线QN将厶ABC的周长平分，则有:MN+NC=AM+BN+AB5-41(

13、1+t) +1+t= - (3+4+5 )5解得：t= - ( 5分)33而 MN= .NC=( 1+t) SA MNC=3-4X1-2|7132= - (1+t) 25当 t=:时，SA MNC= (1+t)8 142=:工- : X4X3不存在某一时刻t，使射线QN恰好将 ABC的面积和周长同时平分.（4）当MP=MC时（如图1）则有：NP=NC即 PC=2NC 4-t=2 （1+t） 当CM=CP时（如图2） 则有：5 .一 （1+t） =4-t11解得：t= 当PM=PC时（如图3） 则有：在 Rt MNP 中, PM2=MN2+PN233而 MN= -NC= .（ 1+t）PN=NC

14、-PC= （ 1+t）-（4-t）=2t-3 3 . （1+t） 2+ （2t-3 ） 2= （4-t） 2103解得：t1= . , t2=-1 （舍去）当 t=2-3-103时， PMC为等腰三角形4.分析：以PQ , MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边构成一个三角形的必须条 件是点P、N重合且点Q、M不重合，此时 AP+ND=AD 即2x+x2=20cm , BQ+M毛BC 即 x+3x工20cm;或者点 Q、M重合且点P、N不重合，此时 AP+N涉AD 即2x+x2工20cm, BQ+MC=BC即x+3x=20cm .所以可以根据这两种情况来求解 x的值.以P, Q

15、, M, N为顶点的四边形是平行四边形的话，因为由第一问可知点Q只能在点M的左侧.当点P在点N的左侧时，AP=MC , BQ=ND ;当点P在点N的右侧时，AN=MC , BQ=PD .所以可以根据这些条件列出方程关系式.如果以P,Q,M ,N为顶点的四边形为等腰梯形，则必须使得AP+N戲AD即2x+x2工20cm , BQ+M0BC 即 x+3x 工 20cm, AP=ND 即 2x=x2 , BQ=MC 即 x=3x , x工0 这些条件不能 同时满足，所以不能成为等腰梯形.解答：解：(1)当点P与点N重合或点Q与点M重合时，以PQ , MN为两边，以矩形的边(AD 或BC)的一部分为第三

16、边可能构成一个三角形._ 当点P与点N重合时，由x2+2x=20，得x仁 -1，x2=- -1 (舍去).因为BQ+CM=x+3x=4 (匚-1 ) 20，不符合题意.故点Q与点M不能重合.所以所求x的值为匚-1.(2) 由(1)知，点Q只能在点M的左侧， 当点P在点N的左侧时，由 20- (x+3x ) =20- (2x+x2 )，解得x1=0 (舍去)，x2=2 .当x=2时四边形PQMN是平行四边形. 当点P在点N的右侧时，由 20- (x+3x ) = (2x+x2 ) -20，解得x仁-10 (舍去)，x2=4 .当x=4时四边形NQMP是平行四边形.所以当x=2或x=4时，以P，Q

17、，M，N为顶点的四边形是平行四边形.(3) 过点Q，M分别作AD的垂线，垂足分别为点E，F.由于2x x，所以点E 一定在点P的左侧.若以P，Q，M，N为顶点的四边形是等腰梯形，则点F 定在点N的右侧，且PE=NF，即 2x-x=x2-3x .解得x1=0 (舍去)，x2=4 .由于当x=4时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形，所以以P，Q，M，N为顶点的四边形不能为等腰梯形.5. 解答：解：(1)v MD / NC,当MD=NC，即15-t=2t，t=5时，四边形MNCD是平行四边形；(2)作 DE 丄 BC，垂足为 E，则 CE=21-15=6，当 CN-MD=12 时，即 2t

18、- (15-t) =12，t=9 时，四边形MNCD是等腰梯形6. 分析：(1) 若过点P作PM丄BC于M，则四边形PDCM为矩形，得出PM=DC=12，由QB=16-t，1可知：s= -PM QB=96-6t ;(2) 本题应分三种情况进行讨论，若PQ=BQ，在Rt PQM中，由PQ2=PM2+MQ2，PQ=QB，将各数据代入，可将时间t求出；若BP=BQ，在 Rt PMB中，由PB2=BM2+PM2，BP=BQ，将数据代入，可将时间 t求出； 若PB=PQ，PB2=PM2+BM2，PB=PQ，将数据代入，可将时间 t求出.解答：解: （1）过点P作PM丄BC于M，则四边形PDCM为矩形.

19、PM=DC=12， QB=16-t，1 21s=2?QB?PM=:i (16-t) X12=96-6t(0 t )（2）由图可知，CM=PD=2t，CQ=t，若以B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况7-2=若 PQ=BQ，在 Rt PMQ 中，PQ2=t2+122，由 PQ2=BQ2 得 t2+122= (16-t) 2,解得7若 BP=BQ，在 Rt PMB 中，PB2= (16-2t) 2+122，由 PB2=BQ2 得(16-2t) 2+122=(16-t) 2，此万程无解，二 BP PQ ._16 若 PB=PQ，由 PB2=PQ2 得 t2+122= (16-2t) 2+122 得 丨:，t2=16 (不合题意,舍去）.综上所述，当7.分析：或S