行列式的计算技巧与方法总结

1、存档编号赣南师范学院学士学位论文行列式的若干计算技巧与方法目录摘要 1关键字 1Abstract 1Key words 1引言 21. 行列式的概念及性质 21.1 n阶行列式的定义 21.2行列式的性质 32. 行列式计算的几种常见技巧和方法 52.1定义法 52.2利用行列式的性质 62.3降阶法 92.4 升阶法（加边法） 112.5 数学归纳法 122.6 递推法 143. 行列式计算的几种特殊技巧和方法 163.1 拆行（列）法 163.2 构造法 173.3 特征值法 194. 几类特殊行列式的计算技巧和方法 194.1 三角形行列式 194.2 “爪”字型行列式 204.3 “么

2、”字型行列式 214.4 “两线”型行列式 234.5 “三对角”型行列式 244.6 范德蒙德行列式 255. 行列式的计算方法的综合运用 275.1 降阶法和递推法 285.2 逐行相加减和套用范德蒙德行列式 285.3 构造法和套用范德蒙德行列式 29小结 30参考文献 31行列式的若干计算技巧与方法摘要： 行列式是高等代数的一个基本概念，求解行列式是在高等 代数的学习中遇到的基本问题，每一种复杂的高阶行列式都有其独特 的求解方法本文主要介绍了求行列式值的一些常用方法和一些特殊 的行列式的求值方法如：化三角形法、降阶法和数学归纳法等多种 计算方法以及Vandermond&亍列式、“两线型

3、”行列式和“爪”字型行 列式等多种特殊行列式并对相应例题进行了分析和归纳，总结了与 每种方法相适应的行列式的特征关键词： 行列式 行列式的计算方法 Vandermonde 行列式The Calculation of DeterminantAbstract: The determinant is a basic concept of higher mathematics. The solution of determinant is the basic question, and each kind of complex higher order determinant has its spec

4、ial solution method. This paper mainly introduces the methods for calculation of determinant. For example, the triangle method, order reduction method，mathematical induction method andVandermonde determinant, two linear determinant，claw typedeterminant and so on. The paper also analyzes the correspo

5、nding examples, and summarizes the characteristic of determinants corresponding to each method.Key words: Determinant The calculation of determinant Vandermonde determinant引言:行列式的计算是高等代数的重要内容之一，也是学习过程的一个 难点对于低阶行列式，我们可以利用行列式的定义和性质计算但 对于高阶行列式，如果直接利用定义和性质计算，则计算量大，很难 得到结果因此，研究行列式的计算方法和技巧就显得十分必要本 文主要介绍了几

6、种计算方法和技巧，还有一些特殊行列式的计算方法.1.行列式的概念及性质1.1 n阶行列式的定义我们知道，二、三阶行列式的定义如下:312313322323332333aiia21an321a31ai2= a11a22 一 a12 a21， a 22_ a11a22a33a12a23a31313321332一311323332 一312321333 一313322331.从二、三阶行列式的内在规律引出n阶行列式的定义.设有n2个数，排成n行n列的数表311 a12a1na21 a22a2na*am ，3n1 an23nn即n阶行列式.这个行列式等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积a1j1a2

7、j2 anjn的代数和，这里jij2jn是1,2, , n的一个排列,每一项都按下列规则带有符号：当jlj2jn是偶排列时，带正号；当jlj2jn是奇排列时，带负号.a 11a 12a 21a 22一j1jj12jna1j1a2j2 anjn，a nna n2表示对所有n级排列求和.1.2行列式的性质性质行列互换，行列式不变.a11 Bl d12a1nd21an1a21a22a+ a2n=a12a22a+ an2aan1 an2anna1 n a2nann即一个数乘行列式的一行（或列），性质等于用这个数乘此行列性质是两组数的和，那么该行列式.即a11费a12a*a1 nia11a12aa1nk

8、ai1kai2a*kain=kai1ai2aainan1an2a nnan1an2ann3如果行列式的某一行（或列）式就等于两个行列式的和，且这两个行列式除去该行（或列）以外的各行（或列）全与原来行列式的对应的行（或列）一样.即a111ai2ainaiiI-ai2sainaaaiiI-ai2ainassbi +ci1b2 +qbn +Cn=biI-b2sbnaa+CiI-C2Cnassanian2dnnanian2ns a. aOdnnania*2ann性质4如果行列式中有两行（或列）对应元素相同或成比例，那么行列式为零.即aiiai2aaainaaiiai2- -ainaaiiai2 ain

9、aiiai2 ain9aa9=k-aa9kaii9ka i 2 aakain9aii-ai2 aaain9a nian2annanian2a nn=0.性质5把一行的倍数加到另一行，行列式不变.即aiiSai2ainaiiaai2aaii +cakiai2 *cak2ain *Caknaiimai2-akiak2akna kimak2-ainaknan1an2annan1 an2ann性质6对换行列式中两行的位置，行列式反号即a1162aaa1na1162aaa1nai1ai2aaainak1ss. a *2aaaknak1dk2aaaknai1sai2aaainan1an2annan1an2

10、ann性质7行列式一行（或列）元素全为零，则行列式为零.即ai1ai29900a*an1an2ai,n-1ainaa00=0.iaan,n-1ann2、行列式的几种常见计算技巧和方法2.1定义法适用于任何类型行列式的计算，但当阶数较多、数字较大时，计算量大，有一定的局限性.0计算行列式00 00 23 00 01000解析：这是一个四级行列式，在展开式中应该有 4二24项，但由 于出现很多的零，所以不等于零的项数就大大减少.具体的说，展开式中的项的一般形式是a1j1 a2j2 a3j3a4j4 .显然，如果=4，那么= 0，从而这个项就等于零因此只须考虑j1=4的项，同理只须考虑j3, j3

11、=2, j4 =1的这些项，这就是说，行列式中不为零的项只有 ai4a2sa32a4i，而.4321 =6，所以此项取正号.故0 0=-1814823832841 = 24.0 00 34 02.2利用行列式的性质即把已知行列式通过行列式的性质化为上三角形或下三角形.该 方法适用于低阶行列式.2.2.1 化三角形法上、下三角形行列式的形式及其值分别如下：an812813a1n8228230083382n83n二 811 a?2 8nn，81100 8218220 831i8328333+8n18n28n30 0 0000=811822 ann8 nn181828n例2计算行列式Dn十=1 81

12、 . b1 828n1 81828n - bn解析：观察行列式的特点，主对角线下方的元素与第一行元素对应相同，故用第一行的1-1倍加到下面各行便可使主对角线下方的元素全部变为零即：化为上三角形.解：将该行列式第一行的-1倍分别加到第2,3,（ n 1）行上去,可得Dn 1ai3a20an0bn2.2.2连加法这类行列式的特征是行列式某行（或列）加上其余各行（或列）后，使该行（或列）元素均相等或出现较多零，从而简化行列式的计算这类计算行列式的方法称为连加法.例3计算行列式Dn解:n迟Xii=1n迟Xiid：x1x2 - mX2XnXnaXn mX2x2 _ mXnXnn送 Xj m x2xn m

13、i=11=瓦 Xj m “ i /1X2x2 - msX2XnXnaXn m1亍0=瓦 Xi m -2 丿：X2-mXn0=（一 m jJ 送 Xi m ）g丿-m223滚动消去法当行列式每两行的值比较接近时，可采用让邻行中的某一行减或者加上另一行的若干倍，这种方法叫滚动消去法.1 22 1例4计算行列式Dn=32n n 13n -1nn -2n -11 3+n -3-n_2（nGn _221解：从最后一行开始母行减去上一行，有112-13-1n -1-1Dn =11-1-1999+i 111 1123 n T100 0-n=2110 0-a+-*- 111 12.2.4逐行相加减n +100

14、=（1十（n+120n123n -1n-1200 0-2-1=292909+09-29-1111 1-1对于有些行列式，虽然前n行的和全相同,但却为零用连加法明显不行，这是我们可以尝试用逐行相加减的方法.例5计算行列式D =-ai00ai_ a20a2一 a3解：将第一列加到第二列,01新的第二列加到第三列,an1以此类推，得:=(1 $ (n +1 Ra?a一玄100 000一 a20 00003_a3*+0a0a000 _an0123nn +1D -二 -1 1 n 1 印比 an2.3降阶法将高阶行列式化为低阶行列式再求解.2.3.1按某一行（或列）展开x-10 000x-1 00例6解

15、行列式Dn =00+x-00a9+9000 x-1anan Jan -2a2a1解:按最后一行展开，得Dnn 7 丄n -2=a1x + a2x+ax + an2.3.2按拉普拉斯公式展开拉普拉斯定理如下：设在行列式D中任意选定了 k 1乞k乞n -1个行.由这k行元素所组成的一切k级子式与它们的代数余子式的乘积的 和等于行列式D.即D =MiAi M2A2 MnAn，其中Ai是子式Mi对应的代数余子式.即Cnn0BnnAnn* BnnAnn0CnnBnnAnn * Bnnb例7解行列式D n = babaaaaY0ppPYppaaa+aPPP 1解：从第三行开始，每行都减去上一行；再从第三列

16、开始，每列都加 到第二列，得aaa abVPPP0-p _vY _Pa0a+0a0000Y -PDn In1a a aab n -2 卩 l：-l：0 0 0 0 0 0 0 0 -1YB 0 0扎(n 1 a一 b Y +(n 一2 厂aa+a0 0 丫0-n -2 1 - n -1 aJ - 2.4升阶法就是把n阶行列式增加一行一列变成n+1阶行列式，再通过性质 化简算出结果，这种计算行列式的方法叫做升阶法或加边法升阶法 的最大特点就是要找每行或每列相同的因子，那么升阶之后，就可以利 用行列式的性质把绝大多数元素化为 0，这样就达到简化计算的效果.其中，添加行与列的方式一般有五种：首行首列

17、，首行末列，末 行首列，末行末列以及一般行列的位置.111111330110011101一110解行列式D=-解：使行列式D变成n 1阶行列式，即111110011101011D =+0 110 10 11 1 0再将第一行的-1倍加到其他各行，得:11111-1-1000-10100D=-一100-101000-1从第二列开始，每列乘以-1加到第一列，得:(n -1)114110-10 0000-100D =a;3+93000 -10000 0-1(-1 口 n-1).2.5数学归纳法有些行列式，可通过计算低阶行列式的值发现其规律，然后提出假设，再利用数学归纳法去证明对于高阶行列式的证明问题

18、，数学 归纳法是常用的方法.cos P10 0012 cos P1 00091a2 cos P0+90a0002 cos卩1000 12 cos P例9计算行列式Dn解：用数学归纳法证明 当 n =1 时，Dr = cos ：.当n =2时，D2=2 cos2 1 = cos 2.猜想，Dn 二 cos n ：.假设当n=k时，结论成立.即：Dk = coskP现证当n = k +1时，结论也成立.cos 弓10 0012cosP1 00012cos P 00当n = k +1时，Dk卅=aa9+i0002cosP1000 12cos P由上可知，当n =1,n =2时，结论成立.将Dk 1按

19、最后一行展开，得cos P10 012 cos P1 0Dk+=M|+-2cosP01a2 cos P 9+0000 2 cos Pcos P10 012cos P1 0+ (_1 严0192 cos卩a+0000 1二 2cos :Dk - Dk 4 .因为Dk 二 cosk：，Dk=cos k -1 ： = cos k ：=cos k - cos ： sin k ： sin ：,所以D k i = 2 cos l；-D k _ D k j=2cos : cosk： -cosk ： cos -sin k ： sin :二 cosk ： cos - - sin k ： sin :二 cos k

20、 1 1 .这就证明了当n二k，1时也成立，从而由数学归纳法可知，对一切的自 然数，结论都成立.即：D n = cos n -.2.6递推法技巧分析：若n阶行列式D满足关系式aDn bDn4 cDnQ 二 0 .则作特征方程2ax bx c = 0 . 若.，0，则特征方程有两个不等根，则 DAx；4 Bx；. 若厶=0，则特征方程有重根Xi = X2，则Dn = A nB x： .在中，A，B均为待定系数，可令n =1, n =2求出.例10计算行列式Dn950000049500000B-4995亍+090000004950000049解：按第一列展开，得D n = 9D n d 20 Dn

21、 _2 .即Dn - 9Dn420Dn_2 = 0 -作特征方程2 x - 9x 20 = 0 .解得X二 4, x?二 5.则Dn =A 4n， B *5n4.当 n =1 时，9 二 A B ；当 n =2 时，61 =4A 5B .解得A 一16, B =25，n 1二 5所以Dn3、行列式的几种特殊计算技巧和方法3.1拆行（列）法3.1.1概念及计算方法拆行（列）法（或称分裂行列式法），就是将所给的行列式拆成两 个或若干个行列式之和，然后再求行列式的值拆行（列）法有两种 情况，一是行列式中有某行（列）是两项之和，可直接利用性质拆项； 二是所给行列式中行（列）没有两项之和，这时需保持行列

22、式之值不变，使其化为两项和.3.1.2例题解析1 a20 00-1 1a2a300例11计算行列式Dn =0-1a1 - a33+0a0-000 1 一 anan000 -11 -a解：把第一列的兀糸看成两项的和进仃拆列，得寸1 - a1a20-00_1 + 01 - a2a3.000+0 -11 - a3-00Dn=aa0+0 001 - a nJan0+0 00-11 一 an_ a1a20 0001 -a2a3000-1 1a3 00+a+330001 - anan000. -11 - an上面第一个行列式的值为1,所以1 _ a?a300-1a300Dn =1_ a1m-+*a00-1

23、 _ anLan00 -11 - an0001二1 - aQn 4.an-1a2-a2-1a3a31 - an-1an这个式子在对于任何n n 一2都成立，因此有=11-a2Dn/ & =1-印 *住2 亠 亠1 nJa1a an=1 TH aj .3.2构造法3.2.1概念及计算方法有些行列式通过直接求解比较麻烦，这时可同时构造一个容易求解的行列式，从而求出原行列式的值.322例题解析例12求行列式DnX12X1X22X2xn2Xnn _2X1nX1n _2X2nX2n _2XnnXn解：虽然Dn不是范德蒙德行列式,但可以考虑构造n - 1阶的范德蒙德行列式来间接求出Dn的值.构造n 1阶的

24、范德蒙德行列式，得11 11X1X2XnX22 22X19X29+XnaXndn -2nnX1X2XnXn 4n -1n 4n 4X1X2XnXnnnnX1X2XnXf x =n1,n 1 x ，将f x按第n T列展开，得f X 二 A,nA2,n1X -An,n1XnJ -n -1其中，x的系数为An,n 1 二 -1 1 Dn = -Dn .又根据范德蒙德行列式的结果知f X i=：XXiXX2XXn|XiXj.1 由上式可求得XnJ的系数为-Xi X2 Xn 1 丨 Xi - Xj .1首匕勺故有Dn = & X2Xn | 丨 “ -Xj .3.3特征值法3.3.1概念及计算方法设1，

25、2,n是n级矩阵A的全部特征值，则有公式I A =，1，2 n .A的行列A可逆当且故只要能求出矩阵A的全部特征值，那么就可以计算出式.3.3.2例题解析例13若1, 2, n是n级矩阵A的全部特征值，证明：仅当它的特征值全不为零.证明：因为制=丸1丸2丸n，则A可逆二|a|芒0台 舫九2九n芒0台 入芒0i =1,2n ).即A可逆当且仅当它的特征值全不为零.4、几类特殊的行列式的巧妙计算技巧和方法4.1.1概念aiiai2ai3 、ainaiia22a23a2na2i a 22形如a33a3n+3a3ia32a 33aaaannanian2an3形状像个三角形，故称为“三角形呂”行列式.4

26、.i.2计算方法这样的行列式,ann由行列式的定义可知,aiiai2ai3ain0a22a23a2n00aa33a+a3na-aiia22八000 a nnaii00 0a2ia220 0a3ia32a330-aii a22 anian2an3a nnann ,ann .4.2“爪”字型行列式4.2.1概念形如a。CiC2biaib2bnbnb2biaiCna2anana2aoCiC2 ,CnCnananCnC2C1aoa2a2a1b1b2bn“爪”字，故称它们为bnb2a1b1c2这样的行列式，形状像个C1ao“爪”字型行列式.422计算方法利用对角线消去行列式中的“横线”或“竖线”，均可把

27、行列式化成“三角形”行列式.此方法可归纳为：“爪”字对角消竖横.4.2.3例题解析例14计算行列式a111a2as,其中 q = 0,i 二 1,2, n.分析:这是一个典型的“爪”an字型行列式，计算时可将行列式的第i(i =2,3,n.)列元素乘以1后都加到第一列上，原行列式可化为三ai角形行列式.a111a2asana1n 1八丄i =2 ai00a2asann=a?a3a na1-zi =2 ai4.3.1 概念Cnanaobib2CiC2a2aiC2a2匕Ciai匕Cna。bib2bnbnan形如biaiC2b2bna2ana。bib2CiaiC2a2Cn样的行列式,形状像个4.3.

28、2计算方法an+bnbnanCnCn+a2b2b2a?C2aibibiaiC2CiaoaoCiaoCianCnCiao+ +C2aibia2C2a2b2aiCiCnbibn b2biaoanbn这字,字型行列式.anbn因此常称它们为“么”“么”利用“么”字的一个撇消去另一个撇，就可以把行列式化为三角形行列式.此方法可以归纳为：“么”字两撇相互消.注意：消第一撇的方向是沿着“么”的方向，从后向前，利用an消去Cn，然后再用an4消去Cn,依次类推.4.3.3例题解析11 -1-1bi例15计算n1阶行列式Dm1 -1-1bnbn，得-1解：从最后一行开始后一行加到前一行（即消去第一撇）bnJ

29、- bnbn(i n i +瓦 bii =i/ n_i bI z4.4 “两线”型行列式4.4.1概念a1b10 00a2b20形如aaaa*这样的行列式叫做“两线型”行列式.000 bn -4bn00 an对于这样的行列式，可通过直接展开法求解.443例题解析aibia20 -b2例16求行列式Dn解：按第一列展开，得二 a2bn A4.5“三对角”型行列式a2b20b0 0I-9+9jn卅a2b20+ 6(-1 )R-a+00 bn 00 an00 bn4bnnanDn i = aia-1bib2b4.5.1a +bab000001a +bab000001a + baab0a+0a0a00

30、000a + bab000001a + b概念形如这样的行列式，叫做“三对角型”行列式.4.5.2计算方法对于这样的行列式，可直接展开得到两项递推关系式，然后变形进行两次递推或利用数学归纳法证明.4.5.3例题解析a +bab000001a + bab000001a + bab000例17求行列式Dn =aa9+a00000a +b ab000001a + b解：按第一列展开，得ab000001a + bab0-0001a +bab00Dn =(a +b DnA -:9aia +b0000a +bab0000-1a +b=Ia b Dn-abDnd变形，得D n -aDn4 二 bDnaDnQ

31、 由于 Di =a b, D2 二a ab b ,从而利用上述递推公式得D n - aDn4 =b Dn- aDn/二b2 Dn, -aDn 二二bn D2 -aDi 二bn.故Dn =aDn4 bn=aaDz bn4 bn= =anDi anb2abn bnn n 4 丄亠丄 n 4丄.n=a a b ab b .4.6.i 概念111aia2a3形如2a1I-2a2a2a3an A.a1n _1a2n Aa3an2an这样的行列式,成为n级的范德蒙德行列式.462计算方法通过数学归纳法证明，可得111 1a1a2a3anaja2a2 a3a2=n (aaiaJ9+1首也n .1a1na2a

32、rnAan4.6.3例题解析11 1X1X2Xn22 2例18求行列式Dn =X1ax2aaXn费n -2X1n-2亠X2nJXnnX1n亠X2nXn解：虽然Dn不是范德蒙德行列式，但可以考虑构造 n 1阶的范德蒙德 行列式来间接求出Dn的值.构造n 1阶的范德蒙德行列式，得11！X1X222X1X2f（X ）=3a+n_2n _2X1X2n A.n _1X1X2nnX1X21 1XnX22Xn Xa*n _2nXnXn 二n 二XnXnnXn X将f X按第n1列展幵f X = A,n 1 A2, n 1 XnnAn,n 1XAn 伽 M ,其中，XnJ的系数为An,n 1又根据范德蒙德行列

33、式的结果知f x i；= ：XX1XX2XXn二 iXi Xj .1应丈勺由上式可求得XnJ的系数为-X1X2XnXj Xj,1 _j ：j in故有Dn hX1X2Xn Xj -Xj .1_j :也5、行列式的计算方法的综合运用有些行列式如果只使用一种计算方法不易计算，这时就需要结合 多种计算方法，使计算简便易行下面就列举几种行列式计算方法的 综合应用.5.1降阶法和递推法例1921000121 亠00012009a9+aa0002100012计算行列式Dn分析：乍一看该行列式，并没有什么规律但仔细观察便会发现，按 第一行展开便可得到n-1阶的形式.解：将行列式按第一行展开，得 Dn =2D

34、n_Dn即Dn _Dn4 =Dnj _Dn/.-Dn .4-D= D2-D1 = 3- 2=1. Dn =1 Dnf T 1 Dn_n_!二 n12 二 n 1.5.2逐行相加减和套用范德蒙德行列式例20计算行列式1 1 11 sin 打sin ：1 sin2 12 sinsin3 11 sin 2sin ：2 sin 22sin2 :2sin3 :21 sin 3sin 3 sin 23sin2 :3sin3 31 sin 4sin 4 sin 24sin2 sin34解：从第一行开始，依次用上一行的：1倍加到下一行，进行逐行相 加，得1si nsin 2 鴛sin3 鴛1sin :2si n2 2sin3 :21sin :3sin23sin3 :31sin 4sin2 sin3 :4再由范德蒙德行列式,sin申1si n2sin 3sin4.2 sinsin2 餐sin2 陷sin2.3 sinsin3 申2sin 0sin31111D -44=sin 1勺:出-sin .5