冲刺2020年中考数学压轴题训练

1、文档从网络中收集，已重新整理排版word版本可编辑:欢迎下载支持. 2017年中考数学压轴题训练 第一部分函数图象中点的存在性问题 1.1 动点产生的相似三角形问题 1文档来源为:从网络收集整理.word版本可编借. 例1如图1,已知抛物线尸丄宀丄（b+l）x+。是实数且2） 444 与工轴的正半轴分别交于点4、B （点A位于点B是左侧），与丿轴 的帀半铀心千占C （1）点B、的坐标为,点C的坐标为 （用含b 的代数式表示）； （2）请你探索在第一象限内是否存在点P,使得四边形PCOB 的面积等于2，且APBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？ 如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理

2、由； （3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点0,使得0CY?、 QOA和04B中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特 殊情况）？如果存在， 1. 第（2）题中，等腰直角三角形PBC暗示了点P到两坐标轴 的距离相等. 2. 联结OP,把四边形PCOB重新分割为两个等高的三角形， 底边可以用含的式子表示. 3第（3）题要探究三个三角形两两相似，第一直觉这三个三角 形是直角三角形，点Q最大的可能在经过点4与x轴垂直的直线上. 满分解篆 （1）B的坐标为0, 0）,点C的坐标为（0, ） 4 （2）如图2,过点P作PD丄x轴，PE丄y轴，垂足分别为D、 E,那么 PDB沁PEC. 因此PD=

3、PE设点P的坐标为（x, x）. 如图3,联结OP. 所以 S 四边形 PCOB = S PCO+S PBO = Lx x + xbx = hx = 2b 2 428 解得兰.所以点P的坐标为（2兰）. 55 5 4444 如图4,以OA. OC为邻边构造矩形OAQC,那么 OQC AQOA 当翌=戲，即 QA2=ba oa 时， QA OA 所以(_)2=/?-1.解得 =84苗所以符合题意的点0为(1,2 +少). 4 如图5,以OC为直径的圆与直线x=l交于点0,那么ZOQC =90 o 因此OC0s/0OA 当翌=0时，B0AsZ0OA.此时ZO0B=9O。. QA OA 所以C、0、

4、三点共线.因此竺=廻，即型.解得此 CO OA b 1 4 考点伸展 第(3)题的思路是，A、C、O三点是确定的，B是兀轴正半轴 上待定的点，而ZQOA与ZQOC是互余的，那么我们自然想到三个 三角形都是直角三角形的情况. 这样，先根据0OA与AaOC相似把点0的位置确定下来，再 根据两直角边对应成比例确定点B的位置. 如图中，圆与直线x=l的另一个交点会不会是符合题意的点Q 呢？ 如果符合题意的话，那么点B的位置距离点A很近，这与OB =40(?矛盾. 例2如图1,已知抛物线的方程C1：尸-丄(a-+2)u-；h)(加0)与兀轴交于点、C,与丿轴交于点E,且点B在点C的左侧. (1) 若抛物

5、线C1过点M(2,2),求实数m的值； (2) 在(1)的条件下，求ABCE的面积； (3) 在(1)的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H,使得 BH+EH最小，求出点H的坐标； (4) 在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F,使得以点B、 C、F为顶点的三角形与相似？若存在，求m的值；若不存 在，请说明理由. 1. 第(3)题是典型的“牛喝水”问 当H落在线段EC上 u 卜y J 8/ A j 、1 / / o / I 图1 时，BH+EH最小. 2. 第(4)题的解题策略是：先分两种情况画直线BF,作ZCBF = ZEBC=45 ,或者作BF/EC.再用含m的式子表示点F的坐 标.然后根据

6、夹角相等，两边对应成比例列关于加的方程. 满分解礬 (1) 将 M(2, 2)代入y = -(X + 2)(a-m)f 得2 = - x4(2-/?7).解得2=4. mtn (2) 当加=4 时，y =-丄(x + 2)(x-4) =-丄 F +丄 x + 2所以 C(4, 0), E(0, 2) 442 所以 S厶BCE= LBC OE = x6x2 = 6 2 2 (3) 如图2,抛物线的对称轴是直线x=l,当H落在线段EC上时, BH+EH最小. 设对称轴与x轴的交点为P,那么竺=竺. CP co 因此兰丄 解得沖丄所以点H的坐标为(込. 3422 (4) 如图3,过点作EC的平行线交

7、抛物线于F,过点F作FFf 丄兀轴于F.由于ZBCE=ZFBC,所以当,即BC2 = CE BF时, CB BF BCEsFBC.设点F的坐标为(忑-丄(卄2心-讪，由竺二竺，得 mBb CO (x + 2)(x 一 a豪* 巴=-解得兀=加+2所以Ff(m+2, 0). x + 2m 由沿笋得為BF 所以财=吐也巨 m 由BCCE BF ,得伽+ 2尸=J府+ 4 X + 山匸. m 整理，得0 = 16.此方程无解. 如图4,作ZCBF=45。交抛物线于F,过点F作FFfx轴于F, 由于ZEBC=ZCBF,所以些=些,即 BCBE-BF时，lBCEs BC BF BFC. 在 RtZkBF

8、F中，由 FF=BF,得丄 (3)在图1中，设点D的坐标为(1, 3),动点P从点B出发， 以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点0从点D出发, 以与点P相同的速度沿着线段DW运动.P、0两点同时出发，当点 0到达点M时，P、0两点同时停止运动.设P、0两点的运动时间 为是否存在某一时刻f,使得直线P0、直线4B、x轴围成的三角 形与直线PQ、直线AB.抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存 在，请求出I的值；若不存在，请说明理由. 1. 第 用含S的代数式表示X2-X1,我们反其道而行之, 用兀2表示S再注意平移过程中梯形的高保持不变，即J2-J1 = 3通过代数变形就可以了. 2.

9、第(3)题最大的障碍在于画示意图，在没有计算结果的情况 下，无法画出准确的位置关系，因此本题的策略是先假设，再说理计 算，后验证. 3第(3)题的示意图，不变的关系是：直线AB与兀轴的夹角 不变，直线与抛物线的对称轴的夹角不变.变化的直线P0的斜 率，因此假设直线P0与AB的交点G在兀轴的下方，或者假设交点 G在x轴的上方. 满分解苓 顶点为 =辿-7 7x3 =33+吃）_6,由 2 (1) 抛物线的对称轴为直线x M (1, -1). 8 (2) 梯形OiAiBiCi的面积S 此得到斗+冷+ 2 由于儿-”=3, 所以 ”一 ” =6疋_6彳 + 壬=3 .整理,得(X,旺)-(x7 +X

10、,)- = 3 .因 84841_84_ 此得到x2-x,=. 当S=36时，勺+解得严秽 此时点如的坐标为(6,3). x2 =2.x2 =8. (3) 设直线AB与PQ交于点G,直线AB与抛物线的对称轴交 于点E,直线P0与兀轴交于点F,那么要探求相似的AGAF与厶 GQE, 有一个公共角ZG. 在AGE。中，ZGEQ是直线AB与抛物线对称轴的夹角，为定 值. 在AGAF中，ZGAF是直线4与x轴的夹角，也为定值，而 且 ZGE0HZGAF. 因此只存在ZGQE=ZGAF的可能，AGQEAGAF这时Z GAF= ZGQE= ZPQD. 由于 tan Z.GAF = f tan Z.PQD

11、= -=-=,所以。=解得 / =. 4QP 5 /45-t7 图3图4 考点伸爰 第(3)题是否存在点G在兀轴上方的情况？如图4,假如存在, 说理过程相同，求得的/的值也是相同的.事实上，图3和图4都是 假设存在的示意图，实际的图形更接近图3 例6如图1,已知点A (-2,4)和点B(l,0嘟在抛物线 y = /ha2 + 2mx + n上. (1) 求加、； (2) 向右平移上述抛物线，记平移后点4的对应点为/V,点B 的对应点为歹,若四边形AAB为菱形，求平移后抛物线的表达式; (3) 记平移后抛物线的对称轴与直线的交点为C,试在x 轴上找一个点D,使得以点B、C、D为顶点的三角形与AA

12、BC相似. 1点A与点B的坐标在3个题目中处处用到，各具特色第(1) 用在待定系数法中；第(2)题用来计算平移的距离；第(3)题用 来求点B，的坐标、AC和B，C的长. 2. 抛物线左右平移，变化的是对称轴，开口和形状都不变. 3. 探求AABC与相似，根据菱形的性质，ZBAC=Z 平移5个单位后，对应的直线为x=4. CBD,因此按照夹角的两边对应成比例，分两种情况讨论. (3)由点4(-2, 4)和点歹(6, 0),可得AB，=4扃 如图2,由AM心，可得筒二笋，即 孕解得= $所 BW BA 845 以AC = 3巫根据菱形的性质，在AABC与歹CD中，ZBAC=Z CBfD. 如图3,

13、当41 = 1时，刍=互，解得B-D = 3.此时OD AC BD3 巧 BD =3,点D的坐标为(3, 0). 如图4,当=时，厶=罕解得BD = .此时OD AC BC 3/54, PM = |(x-l)(x-4), AM = x-4. l(x-l)(x-4) 解方程 4) 解方程, x-4 r得“2不合题意. =2,得x = 5.此时点P的坐标为(5,-2). 如图4,当点P在点B的左侧时，X1, PM = 1(x-1)(a-4), AM =4-x. (x l)(x-4) 解方程 =2,得x = -3此时点P的坐标为(-3,-14). 4-x (x-l)(x-4) 解方程得0.此时点P与

14、点O重合，不合 4-x2 意. 综上所述，符合条件的点P的坐标为(2, 1)或(-3,-14)或(5,-2) 图3 (3)如图5,过点D作工轴的垂线交4C于E.直线AC的解析 式为 y=*x_2. 设点D的横坐标为m (1 m 4),那么点D的坐标为 +-m-2),点 E 的坐标为(加丄加-2)所以 2 2 2 DE = -in2 + m 一 2)-(2) = -m2 +2m . 2 2 2 2 因此S助。w2 + 2/n)x4 = -nr + = -(/n-2)2 +4 . 2 2 考点伸展 第(3)题也可以这样解： 如图6,过D点构造矩形OAMN,那么的面积等于直角 梯形CAMN的面积减去

15、CDN和ZViDM的面积. 设点D的横坐标为(m, w) (lm0). DB EC y x3 (2) 如图 3,图 4,因为 DE/BC,所以, BC AC BC AC 即坐=口，空=因此吐亠 圆心距磁=坐 535336 A -y = -xf 在ON 中, 2 6 当两圆外切时，汀+丄龙JI6-xl 6 2 rv = CE = x . N 2 2 解得X =害或者-v = -10. 613 如图5,符合题意的解为耳，此时 =吐卫二匕 13313 当两圆内切时， JI67 . 6 2 6 当x6时，解得x = 10, D = 5U-3) = 35w 如图7,此时E在CA的延长线上, 边上的高的垂

16、足时，也符合题意，此时BF=4.1. 如图9,当DE为等腰三角形DEF的底边时，四边形DECF是 第(3)题的情景是一道典型 ,如图 10,如图 11, AH MAABC 的高，D、E、F为心眈 的三边的中点，那么四边形DEHF是等 梯形. 例92008年苏州市中考第29题 如图1拋物线r= 轴交于C.若A、B两点在克线y = H + D上且AO BO =血，AO丄BO. D为线段MN的中点OH为RtAOPC斜边上的藹. (1) OH 的长度尊于6=. (2) 是否存在实数使得抛物线-a(x+l)(x-5)上有一点E.満足以D、N、E为煎点的 三角形与AAOB相似？ 若不存在，说明理由；若存在

17、求所冇符合条件的抛掬线的解析式同时探索所求得的抛 物线上是否还仃符合条件的E点(简耍说明理由)；并逬一步探索对符合条件的每一个 E点血线NE与H线AB的交点G是否总满足PGHV3 又 PB 士 乜, 所以 PBPG x- = 14x-10V2 3333 考点伸展 在本题情景下，怎样计算PB的长？ 如图3,作AF丄如？交OP于F,那么 OBC/OAF, OF= OC=-V3, PF=2丄艮 pa=pf = 2 - -命)=妇-1,所以 PB = a/J+1. 3 1. 2因动点产生的等腰三角形问题 例12012年扬州市中考第27题 如图 1,抛物线y=ax2+bx+c 经过4(1,0)、B(3,

18、 0)、C(0 ,3) 三点，直线2是抛物线的对称轴.(1)求抛物线的函数关系式； (2) 设点P是直线/上的一个动点，当的周长最小时， 求点P的坐标； (3) 在直线/上是否存在点使MAC为等腰三角形，若存 在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由. 1. 第(2)题是典型的“牛喝水”问题，点P在线段BC时厶 PAC的周长最小. 2. 第(3)题分三种情况列方程讨论等腰三角形的存在性. 满分解* (1)因为抛物线与兀轴交于A(1,0)、B(3, 0)两点，设y=a(x + l)(x3), 代入点C(0,3),得一3a=3解得么=一1 所以抛物线的函数关系式是y=(x+l)(

19、x3) = x2+2x+3. (2)如图2,抛物线的对称轴是直线x=l. 当点P落在线段BC上时，PA+PC最小， PAC的周长最小. 设抛物线的对称轴与x轴的交点为H. 由型丝，BO=CO,得 PH=BH=2. BO CO 所以点P的坐标为(1,2)图2 点M的坐标为(1,1)、(1,虫)、或(1,0). 考点伸展 第(3)题的解题过程是这样的： 设点M的坐标为(1皿). 在MAC 中，AC2=10, iWC2=l+(w-3)2, MA2=4+m2. 如图3,当时，MA2=mc2.解方程4+加2=1+(加 3)2,得m = l. 此时点M的坐标为(1,1). 如图4,当AM=AC时，AM2=

20、AC2解方程4+加2=10,得 m = /6 此时点M的坐标为(1,岳)或(1,-石). 如图5,当CM=CA时，CM2=CA2.解方程1+(加一3)2=10, 得加=0或6. 当M(l, 6)时，M、A、C三点共线，所以此时符合条件的点M 的坐标为(1,0). 图3图4图5 例22012年临沂市中考第26题 如图1,点A在X轴上，04=4,将线段Q4绕点。顺时针旋转 120至OB的位置. (1) 求点B的坐标； (2) 求经过A、O、B的抛物线的解析式； (3) 在此抛物线的对称轴上，是否存在点P,使得以点P、O、 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标;若不存在, 请说明理由.

21、1. 用代数法探求等腰三角形分三步：先分类，按腰相等分三种 情况；再根据两点间的距离公式列方程；然后解方程并检验. 2. 本题中等腰三角形的角度特殊，三种情况的点P重合在一起. (1) 如图2,过点B作BC丄y轴，垂足为C. 在 RtAOBC 中，ZBOC=30。, OB=4,所以 BC=2, oc = 2忑. 所以点B的坐标为(-2,-2屈 (2) 因为抛物线与x轴交于O、A(4,0),设抛物线的解析式为丿 =ax(x4)9 代入点 B(-2,-2/3), -2V3=-2t/x(-6).解得心-週. 6 所以抛物线的解析式为一纟(当八耳L. 663 (3) 抛物线的对称轴是直线x=2,设点P

22、的坐标为(2) 当 OP=OB=4 时，OP2=16.所以 4+/=16.解得y = 23 . 当P在(2,2州时，B、O、P三点共线(如图2). 当 BP = BO = 4 时，BP2=16 所以 42 + (y + 273)2=16 解得 X = % = 2/3 当 PB=PO 时，PB2 = PO2.所以 42+(- + 2V3)2=22 + y2 解得 y = -2/3 . 综合、，点P的坐标为(2.-273),如图2所示. 考点伸爰 如图3,在本题中，设抛物线的顶点为D,那么DOA与OAB 是两个相似的等腰三角形. 由 y _x(x-4)- H 2卄迺,得抛物线的顶点为D(2 込 6

23、633 因此tanZDOA = r.所以ZDOA=30 , ZOD4 = 120 3 例32011年湖州市中考第24题 如图1,已知正方形OABC的边长为2,顶点A、C分别在 轴的正半轴上，M是BC的中点.P(0”)是线段OC上一动点(C点 除外)，直线PM交AB的延长线于点 (1) 求点D的坐标(用含加的代数式表示)； (2) 当ZVIPD是等腰三角形时，求加的值； (3) 设过P、M、B三点的抛物线与兀轴正半轴交于点E,过点 O作直线ME的垂线，垂足为H (如图2)当点P从O向C运动时, 点H也随之运动请直接写出点H所经过的路长(不必写解答过程). / D C BC B i -J. 0 /

24、 o 图1图2 思炼点披 1. 用含加的代数式表示表示心加的三边长，为解等腰三角形 做好准备. 2. 探求ZVIPD是等腰三角形，分三种情况列方程求解. 3猜想点H的运动轨迹是一个难题.不变的是直角，会不会找 到不变的线段长呢？ RIAOHM的斜边长OM是定值，以OM为直径 的圆过点H、C. 满分解答 (1)因为PC/DB,所以空=竺=竺=i.因此PM=DM, CP BD DM MB =BD=2m所以AD=4m于是得到点D的坐标为(2, 4加). (2 ) 在 APD 中，AD2 =(4-/)： 9 AP =m2 +4 , PD2 = (2PM)2 =4+4(2-m)2 当AP=AD时， (4

25、-m)2 =m2 +4. 解得心3 (如图3) 2 当PA=PD时， 加2+4 =4+4(2加)2 解得加(如图4)或匸4 3 (不合题意，舍去). 当D4=DP时， (4-w)2 =4 +4(2-加尸. 解得心2 (如图5)或心2 3 (不合题意，舍去). (3)点H所经过的路径长为逅;r 4 考占伸畏 计算更简单： 如图3,当AP=AD时，AM垂直平分PD,那么PCA/s MBA.所以竺=些=丄.因此pc = L9 m = l. CM BA 222 如图4,当PA=PD时，P在AD的垂直平分线上.所以ZM =2PO因此4-11 = 2,11.解得加二. 3 第（2）题的思路是这样的： 如图

26、6,在中，斜边OM为定值，因此以OM为直径 的OG经过点H,也就是说点H在圆弧上运动.运动过的圆心角怎 么确定呢？如图7, P与。重合时，是点H运动的起点，ZCOH= 45 , ZCGH=90 例42011年盐城市中考第28题 如图1,已知一次函数y=-x+l与正比例函数 的图象交 4 r 于点A,且与x轴交于点B（1）求点A和点B的坐标； （2）过点A作ACy轴于点C,过点 B作直线少轴.动点P从点。出发，以每 秒1个单位长的速度，沿OCA的路线 向点A运动；同时直线/从点出发，以相 同速度向左平移，在平移过程中，直线/交兀 轴于点乩交线段B4或线段AO于点0.当 点P到达点A时，点P和直线

27、I都停止运 动.在运动过程中，设动点P运动的时间为r秒. 当/为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8? 是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在, 求f的值；若不存在，请说明理由. 思炼点拨 1. 把图1复制若干个，在每一个图形中解决一个问题. 2. 求的面积等于8,按照点P的位置分两种情况讨论事 实上，P在CA上运动时，高是定值4,最大面积为6,因此不存在面积为8的可能. 3讨论等腰三角形4P0,按照点P的位置分两种情况讨论，点 P的每一种位置又要讨论三种情况. 满分解礬 (1) 解方程组得:二 所以点A的坐标是(3, 4). 令y = -A+7 = 0,得X = 7所

28、以点B的坐标是0). (2) 如图2,当P在OC上运动时，0WFV4由 Smpr = S梯形加 一-S0r =8 得?(3+7-/)x4-!x4x(4-/)-!x/(7-/) = 8 整 理，得r-8/ + 12 = 0.解得f=2或(=6 (舍去).如图3,当P在C4上 运动时，zMPR的最大面积为6. 因此，当/=2时，以P. R为顶点的三角形的面积为8. 、y t 、 、y / 、 、y / / / / C C P *C P A Z / Vx / O Rx / RB、X/ OR B* 图2 图3 图4 我们先讨论P在OC上运动时的情形，0W/V4. 如图 1,在ZUOB 中，ZB=45

29、, ZAOB45 , OB=7, AB = 4迈,所以因此ZOABZAOBZB. 如图4,点P由O向C运动的过程fOP=BR=RQf所以PQ/X 轴. 因此ZA0P=45。保持不变，ZPAQ越来越大，所以只存在Z APQ=ZAQP的情况. 此时点4在P0的垂直平分线上，OR=2CA=6.所以BR=lf Z=l. 我们再来讨论P在C4上运动时的情形，4W/V7. 在 APQ 中， cos ZA = | 为定值，AP = 7-t AQ = OA-OQ = OA-OR = t . 如图5,当AP=A0时, 解方程洱,得，# 如图6,当QP=QA时，点0在的垂直平分线上，AP=2(OR OP)解方程7

30、-z = 2(7-r)-(/-4)J,得/=5 如图7,当PA=PQt那么 cos ZA = AP 因此AQ = 2AP cosZA.解 方鹫一牛2_)吋得岭. 考点伸展 当P在CA上，QP=QA 0,也可以用AP = 2AQ.cosZA来求解. 例52010年上海市闸北区中考模拟第25题 如图1,在直角坐标平面内有点A(6, 0), 5(0, 8), C(一4,0),点 M、N分别为线段AC和射线AB上的动点，点M以2个单位长度/ 秒的速度自C向A方向作匀速运动，点N以5个单位长度/秒的速度 自A向B方向作匀速运动，MN交OB于点P. (1) 求证：MN：NP为定值； 若与相似，求CM的长；

31、 (3) 若是等腰三角形，求CM的长. 1 第(1)题求证MV : NP的值要根据点N的位置分两种情况.这 个结论为后面的计算提供了方便 2. 第(2)题探求相似的两个三角形有一组邻补角，通过说理知 道这两个三角形是直角三角形时才可能相似. 3. 第(3)题探求等腰三角形，要两级(两层)分类，先按照点 N的位置分类，再按照顶角的顶点分类.注意当N在AB的延长线上 时，钝角等腰三角形只有一种情况. 4.探求等腰三角形BNP, N在AB上时，ZB是确定的，把夹 ZB的两边的长先表示出来，再分类计算. 如图2,图3,作N0丄兀轴，垂足为0设点M、N的运动 时间为f秒. 在 RtAANQ 中，AN=5

32、t, NQ=4t , AQ=3t. 在图 2 中，00=63(, MQ=lQ-5tf 所以 MN : NP=MQ : QO =5 : 3 在图 3 中，QO=3t-69 M0=5/-1O,所以 MN : NP=MQ : QO =5 : 3. (2)因为BNP与MN4有一组邻补角，因此这两个三角形要么 是一个锐角三角形和一个钝角三角形，要么是两个直角三角形.只有 当这两个三角形都是直角三角形时才可能相似. 如图 4, HBNPs厶MNA,在 Rt/VM/N 中，所以 AM 5 如图5,图6,图7中，斜篇 ,即 当N在AB上时，在ZNP中,ZB是确定的，BP = 8-tf BN = 105/ (I

33、) 如图5,当BP=BN时,解方程8- = 10-5r,得心善.此 时 CM=-. 17 (II) 如图6,当NB=NP时,BE = -BN 解方程-f 8-r = -(10-5r), 5215 丿 5 得 = ?此时CM=-. 4 2 (皿)当 PB=PN 时，LbN = -BP .解方程丄(10-5” =斗8-得 25251 5 丿 /的值为负数，因此不存在PB=PN的情况. 如图7,当点N在线段的延长线上时，ZB是钝角，只存 在BP=BN的可能，此时8N = 5/_10.解方程8-r = 5r-10,得心巴此 1 1 时 O - 1 6 - 1 = C M 图5 考点伸展 -BN = -

34、BP, 25 如图6,当NB=NP时，厶NMA是等腰三角形， 这样计算简便一些. 例62010年南通市中考第27题 如图1,在矩形ABCD中，AB=m (加是大于0的常数)，BC =8, E为线段BC上的动点(不与B、C重合)连结DE,作EF丄DE, EF与射线交于点F,设CE=x, BF=y (1) 求丿关于兀的函数关系式； (2) 若加=8,求兀为何值时，y的值最大，最大值是多少？ (3) 若y = -,要使ADEF为等腰三角形，加的值应为多少？ m 恵珞点拨 根据相似三角形的对应边成比例可以 1. 证明HDCEsMBF, 得到y关于兀的函数关系式. 2. 第(2)题的本质是先代入，再配方

35、求二次函数的最值. 3. 第(3)题头绪复杂，计算简单，分三段表达.一段是说理, 如果ADEF为等腰三角形，那么得到x=j； 一段是计算，化简消去 加，得到关于x的一元二次方程，解出工的值；第三段是把前两段结 合，代入求出对应的加的值. 满分解蓉 因为ZEDC与ZFEB都是ZDEC的余角，所以ZEDC=Z FEB.又因为ZC=ZB=90，所以DCEsAEBF.因此竺=空， CE BF 即竺=鼻.整理，得y关于x的函数关系为尸_丄宀人 x ym m （2）如图2,当m=8时，=_丄疋+兀=_丄（尤_4）2 + 2因此当x=4 8 8 时，丿取得最大值为2 （3）若尸卩，那么2 = 加m x2+x

36、 .整理，得x2 -8x + 12 = 0.解得 m m x=2或x=6.要使ZiDEF为等腰三角形，只存在ED=EF的情况因 为HDCEsHEBF,所以 CE=BF,即 X=y将x=y =2 代入丫 = 2, m y =,得加=2 （如图4）. 得2=6 （如图3）；将x=y =6代入 D 图3 图4 例如： (x2 -8x) = - (x-4)2 + m m mm 成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； (3) 对于(2)中的点G,在位于第一象限内的该抛物线上是否 存在点Q,使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的APCG是 等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在成立，

37、请说明 理由. 恶珞点按 1. 用待定系数法求抛物线的解析式，这个解析式在第(2)、(3) 题的计算中要用到. 2. 过点M作丄4B,根据对应线段成比例可以求阳 的长. 3. 将ZEDC绕点D旋转的过程中，ADCG与ADEF保持全等. 4. 第(3)题反客为主，分三种情况讨论APCG为等腰三角形, 根据点P的位置确定点Q的位置，再计算点Q的坐标. (1)由于OD平分ZAOC,所以点D的坐标为(2, 2),因此 BC=AD=1. 由于 BCD竺AADE,所以BD=AE=1,因此点E的坐标为(0, 1) 设过E、D. C三点的抛物线的解析式为y = ax2+bx + c9那么 c = 1, 4 +

38、 2b + c = 2, 解得b = c = .因此过E、C三点的抛 6 6 9a + 3b + c = 0. 物线的解析式为一2宀头+1 o o (2)把 x = 代入 y = -x2 + a + 1 ,求得 5 66 y = .所以点M的坐标为伶三 那么空=型，即上=二1解得 FA DAFA 2 如图2,过点M作MNLAB,垂足为N, 因为ZEDC绕点D旋转的过程中，5DCG竺5DEF,所以CG =EF=2.因此 GO=1, EF=2GO. (3)在第(2)中，GC=2.设点0的坐标为+ . 如图3,当CP=CG=2时，点P与点B (3, 2)重合，APCG 是等腰直角三角形.此时兀=勺-

39、总，因此-|x2+x + l = x-lo由此 6 6 得到点0的坐标为呂? 如图4,当GP=GC=2时，点P的坐标为(1, 2).此时点0 的横坐标为1,点0的坐标为碍 6丿 如图5,当PG=PC时，点P在GC的垂直平分线上，点P、 图3图4图5 考点伸展 在第(2)题情景下，ZEDC绕点D旋转的过程中，FG的长怎 样变化？ 设AF的长为加，那么FG = J(2 +血)2 + (2 -加尸=2亦+ 8 点F由E开始沿射线EA运动的过程中，FG先是越来越小，F 与A重合时，FG达到最小值2血；F经过点4以后，FG越来越大, 当C与O重合时，FG达到最大值4 例82009年江西省中考第25题 如

40、图1,在等腰梯形ABCD中，AD/BC, E是AB的中点，过点 E 作 EF/BC 交 CD 于点 F, AB=4f BC=6, ZB=60 (1) 求点E到BC的距离； (2) 点P为线段EF上的一个动点，过点P作PM丄EF交 于过M作MN/AB交折线ADC于N,连结7W,设EP=x. 当点N在线段AD时(如图2), PMN的形状是否发生改 变？若不变，求出PMN的周长；若改变，请说明理由； 当点N在线段DC上时(如图3),是否存在点P,使PMN 为等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的兀的值；若不存在， 请说明理由. 图1 息炼点拨 图2 图3 1. 先解读这个题目的背景图，等腰梯形AB

41、CD的中位线EF=4, 这是x的变化范围.平行线间的距离处处相等，AD与EF、EF与 间的距离相等. 2当点N在线段AD上时，中PM和的长保持不 变是显然的，求证PN的长是关键.图形中包含了许多的对边平行且 相等，理顺线条的关系很重要. 3. 分三种情况讨论等腰三角形PMV,三种情况各具特殊性，灵 活运用几何性质解题. 满分詹釜 (1) 如图4,过点E作EG丄BC于G. 在 Rt/BEG 中，BE = -AB = 2f ZB=60 , 2 所以 BG = BE cos60。= 1, EG = BE sin60。=羽. 所以点E到BC的距离为巧. (2) 因为AD/EF/BC, E是AB的中点，

42、所以F是DC的中点. 因此EF是梯形ABCD的中位线，EF=4 如图4,当点N在线段AD上时，PMN的形状不是否发生 改变.过点N作NH丄EF于H,设皿与NM交于点Q. 在矩形 EGMP 中，EP=GM=x9 PM=EG=W 在平行四边形BM0E中，BM=E0=l+x. 所以 BG=PQ=1. 因为PM与NH平行且相等，所以与互相平分，PH= 2PQ=2. 在 RtAPNH 中，NH= V3 , PH=2,所以 PN=h . 在平行四边形ABMN中，MN=AB=4. 因此PMN的周长为d + a/7 +4. 图4 当点N在线段DC上时，CMN恒为等边三角形. 如图5,当PM=PN时，PMC与Z

43、iPNC关于直线PC对称， 点P在ZDCB的平分线上. 在 RtZkPCM 中，PM=忑,ZPCM=30 ,所以 MC=3. 此时M、P分别为C、EF的中点，x=2. 如图 6,当 MP=MN 时，MP=MN=MC=t, x=GM=GC MC=5爲 如图 7,当 NP=NM 时，ZNMP= ZNPM=3Q ,所以ZPNM = 120 又因为ZFNM=120。，所以P与F重合. 此时工=4 考点伸爰 第（2）题求等 三角形PMN可以这样解: 如图8,以B为原点，直线C为兀轴建立坐标系，设点M的 坐标为（加，0）,那么点P的坐标为（加，朽），MN=MC=6m9 点N的坐标为（咛，旦严）. 厶乙 由

44、两点间的距离公式，得PN2 =m2-9m+ 2 当 PAf=PN 时,?一9？ + 21 = 9,解得？ = 3 或“7 = 6.此时 x = 2. 当MP=MN时，6-/n = V3 ,解得加=6 厲，此时.v = 5-V3 当NP=NM时，加彳加+ 21=（6-加几 解得w = 5,此时兀=4 1.3因动点产生的直角三角形问题 例12012年广州市中考第24题 如图1,抛物线v = -a-2-x+3与x轴交于4、B两点（点A在点 84 B的左侧），与丿轴交于点C. （1）求点4、B的坐标； （2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当ACD的面 积等于AACB的面积时，求点D的坐标； （

45、3）若直线/过点E（4,0）, M为直线/上的动点，当以4、B、 M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线/的解析式. 1. 根据同底等高的三角形面积相等，平行线间的距离处处相等, 可以知道符合条件的点D有两个. 2. 当直线/与以A为直径的圆相交时，符合ZAMB=90的 点M有2个；当直线/与圆相切时，符合ZAMB=90的点M只有 1个. 3灵活应用相似比解题比较简便. (1) y = -x2 - x+3 = -(a+4)(x-2), 848 得抛物线与x轴的交点坐标为A(4,0)、B(2,0).对称轴是直线兀= 1 (2) AACD与厶46有公共的底边4C,当厶4CD的面积等于 AC

46、B的面积时，点B、D到直线AC的距离相等. 过点作4C的平行线交抛物线的对称轴于点D,在AC的另一 侧有对应的点Df. 设抛物线的对称轴与兀轴的交点为G,与4C交于点 由BD/AC,得ZDBG=ZCAO所以竺= = BG AO 4 所以dg = -bg = -9点D的坐标为(1,-三) 444 因为 AC/IBD, AG=BG,所以 HG=DG. (3)过点A. B分别作x轴的垂线，这两条垂线与直线I总是 文档从网络中收集，已重新整理排版word版本可编辑:欢迎下载支持. 有交点的，即2个点M. 以AB为直径的G如果与直线/相交，那么就有2个点如 果圆与直线/相切，就只有1个点M 了. 联结G

47、M,那么GM丄/ 在 RtAEGM 中，GM=3f GE=5,所以 EM=4. 在 RtAEMiA 中，AE=8f tanZA/,A = = ,所以 MA=6. AE 4 所以点Ml的坐标为(-4, 6),过Ml、E的直线/为尸-冬+3 4 根据对称性，直线/还可以是x冬+ 3 4 考点伸展 第 I的解析式. 中的直线/恰好经过点C,因此可以过点C、E求直线 1文档来源为:从网络收集整理.word版本可编借. 在 RtAEGM 中，GM=3, GE=5,所以 EM=4. 在 Rt0.-丄 2 2I 2) 直线BC： y = x-3与抛物线的对称轴x=l的交点D的坐标为(1, 2). 过点D作D

48、H丄丿轴，垂足为H. 在 RtAEDH 中，DH= 19 eh=oh-oe = 2丄= ,所以 tanZ 2 2 ced=21=1 EH 3 人(1一忑一2), 求点P的坐标的步骤是: 如图3,图4,先分两种情况求出等腰直角三角形CDE的顶点E 的坐标，再求出CE的中点F的坐标，把点F的纵坐标代入抛物线 的解析式，解得的x的较小的一个值就是点P的横坐标. 例42011年浙江省中考第23题 设直线y=kix+bi In y=kix+bi,若h丄爲,垂足为H, 则称直线/1与“是点H的直角线.f b (1)已知直线y = -lx+2 ；y = x+2;y = 2x + 2; 2X + 4和点C(0

49、, 2),则直线和是 点C的直角线(填序号即可)； (2 )如图,在平面直角坐标系中，直角梯形OABC |_ 的顶点 A(3, 0)、B(2, 7)、C(0, 7), P 为线段 OC 上 A 一点，设过B、P两点的直线为G过4、P两点的直线为b,若h与2是点P的直角线，求直线与2的解析式. (1) 直线和是点C的直角线. (2) 当ZAPB = 90 时，BCPs/Xpoa.那么竺=竺，即 CP OA -2=竺.解得OP=6或OP=1 7-PO 3 如图 2,当 OP=6 时，/i： y = Lx+6, ht y = -2x+6. 例52010年北京市中考第24题 m _ 1 - 5m +

50、4 在平面直角坐标系xOy中,抛物线y = x + nr 一3卄2与 x轴的交点分别为原点O和点A,点B(2,)在这条抛物线上. (1) 求点B的坐标； (2) 点P在线段04上，从点。出发向点A运动，过点P作兀 轴的垂线，与直线OB交于点E,延长PE到点D,使得ED=PE, 以PD为斜边，在PD右侧作等腰直角三角形PCD (当点P运动时, 点C、D也随之运动). 当等腰直角三角形PCD的顶点C落在此抛物线上时，求OP 的长; 若点P从点O出发向点A作匀速运动，速度为每秒1个单位, 同时线段04上另一个点0从点A出发向点O作匀速运动，速度为 每秒2个单位(当点0到达点O时停止运动，点P也停止运

51、动).过 0作X轴的垂线，与直线A交于点F,延长0F到点M,使得 =QF,以QM为斜边，在QM的左侧作等腰直角三角形QMN (当 点0运动时，点M、N也随之运动).若点P运动到/秒时，两个等 腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻f的值. 脛炼点拨 1. 这个题目最大的障碍，莫过于无图了. 2. 把图形中的始终不变的等量线段罗列出来，用含有t的式子 表示这些线段的长. 3点C的坐标始终可以表示为(3f,2Z),代入抛物线的解析式就 可以计算此刻OP的长. 4.当两个等腰直角三角形有边共线时，会产生新的等腰直角三 角形，列关于r的方程就可以求解了. 満分解蓉(1)因为抛物线一呼宀字

52、；v + /-37 + 2经过原点，所以 44 in, nr -3/n + 2 = 0 解得mx = 2 , m2 = 1 (舍去).因此 y = -x2 +|x .所以 2 点B的坐标为(2, 4). (2)如图4,设OP的长为那么PE=2t9 EC=2t,点C的 坐标为(3(, 2/)当点C落在抛物线上时，2r = -lx(3r)2+|x3r.解得 f = OP = -如图1,当两条斜边PD与0M在同一条直线上时，点 P、Q重合.此时3/=10解得/斗. 如图2,当两条直角边PC与MN在同一条直线上，NPQN是等 腰直角三角形，PQ=PE此时10-3/ = 2/解得心2 如图3,当两条直角

53、边DQ与0V在同一条直线上，HPQC是等 腰直角三角形，PQ=PD此时10-3心令解得.一 10 I = 图1图2图3 考点伸畏 在本题情境下，如果以PD为直径的圆E与以QM为直径的圆F 相切，求(的值. 如图5,当P、0重合时，两圆内切，心斗 如图6,当两圆外切时，u30_20a/I 例62009年嘉兴市中考第24题 如图1,已知A、B是线段上的两点，MN = 4, M4 = l, M31以 A为中心顺时针旋转点M,以B为中心逆时针旋转点N,使M、N 两点重合成一点C,构成AABC,设佔=八 (1) 求工的取值范围； (2) 若AABC为直角三角形，求兀的值； (3) 探究：AABC的最大面

54、积？ 1. 根据三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边列 关于兀的不等式组，可以求得兀的取值范围. 2. 分类讨论直角三角形根据勾股定理列方程，根据根的 情况确定直角三角形的存在性. 3. 把AABC的面积S的问题，转化为S?的问题.AB边上的高 CD要根据位置关系分类讨论，分CD在三角形内部和外部两种情况. (1) 在 AABC 中，AC = , AB=x, BC = 3-x，所以+ 一、解 1 + 3 - x %. 得 1 x 2 (2) 若AC为斜边，则1 = x2 +(3-a)2 9 即 x2 -3a+ 4 = 0 , 此方程 无实根. 若4B为斜边，则 x = (3 - x)

55、 ，+1,解得 X = * ,满足 1X2 . 若BC为斜边，贝!)(3-x)2=1 + x2,解得2”满足lx2. 因此当z|或“斗时，AABC是直角三角形. (3) 在A4BC中，作CD丄初于D,设CD=h, AABC的面积为S, 则 S = -xh. 2 如图2,若点D在线段AB上，则VTR + J(3-x.移项， 得 J(3“ 两边平方，得 (3-x)2-h1 =X2 -2xVl-/r +l-/r .整理，得 A-Vl-/2 = 3a-4 两边平方，得 x2(-h2) = 9x2 -24x+I6.整理，得x2h2 =-8x2 + 24x-16 所以 s2 =lx2/z2 =-2x2 +

56、6a-4=-2(a-)2 +- (-x2) 4223 当*|时(满足|x2), S?取最大值;，从而S取最大值专. 图2图3 如图3,若点D在线段MA上，则皿 同理可得，S2 =lx2/?2 =-2x2 + 6x-4 =-2(x-)2 + 丄(1 A 4223 易知此时s/5 . 13 考点伸展 的解题思路是这样的: 因为FE/QC, FE=QC,所以四边形FEC0是平行四边形.再 构造点F关于PE轴对称的点那么四边形也是平行四边 形. 再根据FQ=CQ列关于t的方程，检验四边形FECQ是否为菱 形，根据EQ=CQ列关于t的方程，检验四边形EHCQ是否为菱形. (1 + 斗/,4一/), F(

57、l + |/,4), 0(3,/), C(3,0) 如图2,当F0=C0时，FQ2=CQ2t因此（” -2）: +（4-/）2 =r 整理，得/2-40/ + 80 = 0 -解得厶=20-87?, =20+8 的（舍去）. 如图 3,当 EQ=CQ 时，EQ2=CQ2,因此（1/_2）2+（4-2/）2 =/2. 2 整理，得 13/2-72/4-800 = 0. （13/-20）（/-40）=0所以, r2=40 （舍 13 去）. A F（H） D 图3 例32011年上海市中考第24题 已知平面直角坐标系xQy (如图1), 一次函 数 y=-x+3 的图象与丿轴交于点A,点M在正比

58、4 例函数尸二的图象上，且MO=MA二次函数 2 y=x2+bx+c的图象经过点M. (1) 求线段AM的长； (2) 求这个二次函数的解析式； (3) 如果点在y轴上，且位于点A下方，点C在上述二次函 数的图象上，点D在一次函数-冬+3的图象上，且四边形ABCD是 4 菱形，求点C的坐标. 息路点拨 1. 本题最大的障碍是没有图形，准确画出两条直线是基本要求, 抛物线可以不画出来，但是对抛物线的位置要心中有数. 2. 根据MO=MA确定点M在OA的垂直平分线上，并且求得 点M的坐标，是整个题目成败的一个决定性步骤. 3. 第(3)题求点C的坐标，先根据菱形的边长、直线的斜率, 用待定字母加表

59、示点C的坐标，再代入抛物线的解析式求待定的字 母m. 满分詹釜 (1)当x=o时，丄卄3 = 3,所以点A的坐标为(0, 3), OA=3, 4 如图2,因为所以点M在04的垂直平分线上，点 M的纵坐标为2.将v = 2代入v =得x = l.所以点M的坐标为 2 - 2 - 2 (1,丄)因 =. 2 2 (2) 因为抛物线y=x2+bx+c经过A(0, 3)、所以 c = 3 3解得= 3.所以二次函数的解析式为尸君+3. U+W.22 2 (3) 如图3,设四边形ABCD为菱形，过点A作AE丄CD,垂 足为E. 在 Rt/ADE 中，设 AE=4加，DE=3m,那么 AD=5*n 因此点

60、C的坐标可以表示为(4加，32m).将点C(4m, 3加) 代入y = x2-x + 3得3-2加=16-10加+ 3解得匸丄或者加=0 (舍去). 2 2 图2图3 考点伸展 如果第（3）题中，把“四边形ABCD是菱形”改为“以A、B、 C、D为顶点的四边形是菱形”，那么还存在另一种情况： 如图4,点C的坐标为（?岛 4 16 例420巧年江西省中考第24题 将抛物线Cl： yH*沿X轴翻折，得到抛物线C2,如图1 所示.（1）请直接写出抛物线C2的表达式； （2）现将抛物线C1向左平移加个单位长度，平移后得到新抛物 线的顶点为M,与x轴的交点从左到右依次为A. B；将抛物线C2 向右也平移