九年级数学上册二次函数知识讲解浙教版

1、第18课时二次函数 知识讲解 2的二次函数，叫做 x0）,那么ya, b, c是常数且a丰+bx+c一般地，如果 y=ax （它是关于自 变量的二次式，二次项系数必须是非零实数时才是二次函数，这也是判断函数是不是二次函数 的重要依据.2是最简单的二次函数.当b=c=0时，二次函数y=ax2）的三种表达形式分别为： 一般式：a 0b+bx+c （a,，c是常数，二次函数 y=ax2） hy=ax+bx+c，通常要知道图像上的 三个点的坐标才能得岀此解析式；顶点式：y=a （X2+k，通常要知道顶点坐标或对称轴才能求岀 此解析式；交点式：y=a （x x） （x x），通212常要知道图像与 x轴

2、的两个交点坐标 x，x才能求 岀此解析式；对于 y=ax+bx+c而言，其212b 4acb顶点坐标为（，）.对于y=a （x h） +k而言 其顶点坐标为（h，k），?由a4a2于二次函数的图像为抛物线，因此关键要抓住 抛物线的三要素：开口方向，对称轴，顶点. 2b 4acb2时为最小值，（k0 x=,最值为，y=ax二次函数+bx+c的对称轴为 a4a22 x=0 .的顶点在坐标原点上，且y轴为对称轴即k0 轴k，将y=ax沿着x （右“，左“ + y=ax （移kk0）个单位得到函数士 2y?在平移之前先 将函数解析式化为顶点式，再来平移，若沿士个单位得到y=a （xh） 的x，若沿轴平

3、移则直接在 解析式的常数项后进行加减（上加下减）x轴平移则直接在含括号内进行加减（右减左加） 在画二次函数的图像抛物线的时候应抓住以下五点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交 点，与y轴的交点.2的正负决定了开口方向，的作用：ab+bx+c抛物线y=ax的图像位置及性 质与a, ebb的左侧，y随x 在对称轴时，当 a0开口向上，x=的增大而减小；在对称轴x= 2a2ai 22b 44ac bacb的右侧，y随x的增大而增大，此时 y有最小值为y=，顶点（，） _ a44aa2b的左侧，y随x时，开口向下，在对称轴x=的增大而增大，在对为 最低点；当a0 2a2b 4acb称轴x=的右侧，y随

4、x的增大而增大，此时y有最大值为y=， 顶点（一， 4a2a?bac 4）为最高点.|a丨的大小决定了开口的宽窄，|a丨越 大，开口越小，图像两边 4a越靠近y轴，|a|越小，开口越大，？图像两边越靠近 x轴；a，b的符号共同决定了对称 b0, b?异号时，对称轴，即对称x=即对称轴在y轴左侧， 垂直于x轴负半轴，当a 2a轴在y轴右侧，垂直于x轴正半轴；c?的符号决定了抛物线与 y 轴交点的位置，c=0时，抛物线经过原点，c0时，与y轴交于正半轴；c0 ,开口向上，）由已知y=x x+m中，二次项系数【解答】（11114m 12222 （x+ + 又 y=xx+m=x ） +m= （x） 一

5、 一 一 1 42241 m114 ）., x= 对 称轴是直线，顶点坐标为（422 （2）顶点在x轴上方， 2 4m 10二顶点的纵坐标大于 0,即 41 m _ 41 二口寸，顶点在x轴 上方. 一 4 (3)令 x=0，则 y=m. 2 ) . ( 0, my=x- x+m与y轴交点的坐标是 A 即抛物线x轴丁 AB/ m . B点的纵坐标为 2 . , x=1x x+m=mBt，解得 x=0 当 21 , m m), B (1 A (0,| m | . BAO中，AB=1, OA= 在 Rt 1OA- St =AB=4 .人沁_ 21 | m | 1=4,. m= 8 _ 2? 故所求

6、 二次函数的解析式为 y=x x+8或y=x x 8. 【点评】正确理解并掌握二次函数中常数a, b, c?的符号与函数性质及位置的关系是解答 本题的关键之处. 2，抛物mvn x6x+5=0的两个实数根，且 2006，重庆市)已知： m n是方程( 例2 2 ),如图所示.B( 0, n) x线y= +bx+c的图像经过点 A ( m, 0, 1 )求这个抛物线的解析式； ( ，抛物线的)中的抛物线与 x轴的另一交点为 C ( 2 )设(1的坐标和厶BCD的面积；顶点 为D,试求岀点C, D与抛物线轴，P作PFUxOC3 () P是线段上的一点，过点的两部分， ：3分 成面积之比为点，若直线

7、交于 HBCA PCH2点的坐标请求岀 P ,)解方程求岀(【分析】1mn的值.3 用待定系数法求岀 b, c的值. (2) 过D作x轴的垂线交x轴于点M可求岀 DMC梯形BDBO BOC的面积，？用割补法 可求岀 BCD的面积. (3) PH与BC的交点设为E点，则点E有两种可能： 32EP, EH=EH=EP23?【解答】(1)解方程 x 6x+5=0 , 得 x=5 , x=1.21 由 mn 有 m=1 , n=5. 所以点A , B的坐标分别为 A (1, 0), B( 0 , 5).将A( 1 , 0) , B ( 0 , 5)的坐标分2 +bx+c , 别代入 y - x 1 b

8、 c 0,b 4,解这个方程组，得得 c 5c 5 2所以抛物线的解 析式为 y= x 4x+5. 22 4x+5=0 . 4x+5,令 y=0,得xx(2)由 y= x=1 .解这个方程， 得 x= 5,习).D (2 , 9,由顶点坐标公式计算，得点所以点C的坐标为(一5 , 0) ，如图所示.x轴的垂线交x轴于M过D作271=S .)=则X 9X( 5 2吨一 221=14 , 2 x ( 9+5) = S X mdbo梯形 2125 . 5 X 5= = S X bdc 222725 =15 S =14+. +S 所 以S =S boca吨BCD梯形MDB8 22 0点的坐标为(a,)

9、 P(3)设.所在的直线方程为，因为 线段 BC 过BC两点，所以BCy=x+5的交点坐标x+4x+5?与抛物线，a+5aEBCPH 那么， 与直线的交点坐标为(，)PHy=2 a, ( H为a4a+5 .) 4 3EP,即卩由题意，得 EH 2 32 . a+5) = ( a 4a+5) ( a+5) ( 23 . 5 (舍 去)解这个方程，得 a=或 a= _ 22，得 EH=EP一 33= ) . 4a+5) (a+5) = (a+5 (a 22 (舍去).a=或a= 5解这个方程，得 323 ., 0)或(，0)P 点 的坐标为(一 322 1m22 mxy=x y=xx的二次函数一m

10、x+与例3(2006，山东枣庄) 已知关于 22 2m，这两个二次函数的图像中的一条与x轴交于A, B两个不同的 点. 2(1)试判断哪个二次函数的图像经过A, B两点； (2) 若A点坐标为(一1 , 0),试求B点坐标； (3) 在(2)的条件下，对于经过A, B两点的二次函数，当x取何值时，y的值随x?值的 增大而减小？ 2 1m2. y=x mx+【解答】(1)对于关于 x的二次函数 221m20 25 所以此函数的图像与 x轴有两个不同的交点. 2 m22y=x mx 故图像经过 A, B两点的二次函数为 22 m2?mx （ A1, 0）代入 y=x （2）将 22 2m 得 1+

11、m- =0. 2： . m 2m=0 整理，得.或 m=2 解得 m=02 得x 1=0.令 当m=0时，y=x 1y=0 x1 , =1.解这个方程，得 x= 21 , 0）.此时，点 B 的坐标是 B（ I22 ,得 x 2x3=0 . 当 m=2时，y=x 2x3 .令 y=0 x=1 , x=3 .解这个方程，得210）此时，点 B 的坐标是B （ 32 ,时，二次函数为 3）当m=0y=x 1,此函数的图像开口向上，对称轴为x=0 （ 所以当x0时，函数值y随x的增大而减小.22,此函数的图像开口向上，对称轴13=y=x当m=2 时，二次函数为 2x （ x ） 4 x时，函数值y随

12、的增大而减小.x 122 ,）3 , 86 , 7） , C （ +bx+c （2005，山东省）已知抛物线 y=a经过点A （2 , 7）, B （ 2. . 8的另一点的坐标是 ?则该抛物线上纵坐标为一22 . 0）,贝U m的值 为y=3 .已知二次函数一x+2x+c的对称轴和x轴相交于点（m, 2则x轴没有交点，其中 c 为整数，？4 . （2005,温州市）若二次函数y=x 4x+c的图像与.c= （只要求写岀一个） 2的值，贝U a+c?1+bx+c经过点（1,2）与（，4）,黑龙江省）已知抛物线 5.（ 2005y=ax是， 羽毛球飞行的水平.甲，乙两人进行羽毛球比赛，甲发岀一十

13、分关键的球， 岀手点为P61 232S+S+ 如 下左图所示，距离 s （ m）与其距地面高度 h （m）之间的关系式为 h= 21239,设乙 的起跳点m,乙（用线段 CD表示）扣球的最大高度为5m?已知球网AB距原点4C的横坐标为 m若乙原地起跳，因球的高度高于乙扣球的最大高度而导致接球失败，则m?的取值范围是 2 与x轴两交点之间的距离为 y=x7 . （ 2005，甘肃省）二次函数 2x 38. （ 2008，甘肃 庆阳）兰州市“安居工程”新建成的一批楼房都是8层高，？房子的价格y2, x8）,已知点（753 , 4, 6 , 2x=1x/m （元）随楼层数（楼）的变化而变化（，2 .

14、 /m6都在一个二次函数的图 像上（如上右图）y?，则楼房子的价格为元二、选择题7 2 ）则下列关系式不正确的是（,长沙）二次函数y=ax+bx+c的图像如图所示，？9. （ 200824ac0 b. abc0 C . a+b+c0 D . A. a0 B （ 第9题）（第12题）（第15题） 2 若）.（5, 7B （3, 2）, C 威海）10. （2008，已知二次函数 y=ax+bx+c 的图像过点 A （1 , 2） , 2 的图像上，则下列 +bx+cy ）也在二次函数 y=axy ）, K （ 8, y点M （ 2,）, N （- 1,阮）结论中 正确的是（ yvyvy . yyy D . y A . yy B . yy0 ).1 , OxC,抛物线的对称轴交轴于点 E,点B的坐标为(一y轴于点 的坐标；A (1 )求抛物线的对称 轴及点 是什么四ABCP?轴的平行线交抛物线的对称轴于点P,你能判断四边形(2)过点C作x 边形？并证明你的结论；时，求抛物线的解析式./ACPCA与抛物线的对称轴交于点D,当/ APD=( 3)连接 2抛物线？m x (x0)于点一 2仏.Exy=xDEDDy=x 线于点；过点作平行于轴，交抛物线于点_ 411 (1 )求 AB: BC; (2)判断O, B，E