《流体力学》(柱坐标系和求坐标系下)连续方程推导的巧方法

1、流体力学连续方程推导的巧方法 施春华，高庆九，李忠贤 （南京信息工程大学大气科学学院，江苏南京210044） 摘要:针对柱坐标系和球坐标系下流体力学中连续方程形式复杂、理解不便的特点 采用欧拉控制体方法，把“质量通量”整体作为一物理量，从而巧妙地推导了这两类连续 方程,该过程物理意义明确、数学算法简单，有助于学生理解。 关键词：连续方程；柱坐标系；球坐标系 在大学流体力学教学中，连续方程是最基本的内容之一，在很多相关专业课程中得到 广泛应用。相对而言，在直角坐标系中的连续方程形式简单，也易于理解，但在柱坐标系和球坐 标系中，连续方程的形式却相对复杂，理解相对困难。目前，很多参考书123 对于后

2、两类连续方程要么没有给出具体推导，要么推导过程较为复杂，使数理基础较薄弱的学 生难以理解，在此，笔者结合教学中的实际经验，演示柱坐标系和球坐标系下一种物理意义明 确、数学理解简单的连续方程的推导过程。 1连续方程的一般算子形式 流体运动的连续方程，是表示流体运动和其质量分布的关系式。在拉格朗日方法中，某流体块 在运动时其体积和形状尽管可发生变化，但它始终由这些流点构成，因此它的质量不变。 由此可见，连续方程实质上是质量守恒定律在“连续介质” （流体）中的应用。一般的拉格朗日方法考虑，某个别流体微团（质量体）在运动过程中，其随体密 度的变化，必然与其体积变化趋势相反 ，如体积膨胀，它的密度减小，

3、体积收缩，则密度增大。其 算子形式的通用表达式1 亨-PVV 山（1） 一般的欧拉方法考虑，对于某固定位置的空间单位体积元（控制体）来说,该体积元内单位时间 的质量变化，与该体积元边界上的质量通量变化相联系，如质量往外流，它的密度减小，反之 则增大。其算子形式的通用表达式 1 两种方法的区别：拉格朗日方法多从物理量的定义出发 ，模型简单容易理解，但数学解析在实 际应用中有些困难；欧拉方法则通过适当的数学建模后 ，能在数学上给出方便的解析，有利于 从数学角度更好地理解概念。 在直角坐标系中，通过建立三维空间微元控制体（图略，很多教科书都详细给出，且易于理解）， 很容易得到（2）式在三维直角坐标系

4、下连续性微分方程的一般表达式 2柱坐标系欧拉连续方程 基于柱坐标系把“质量通量”整体作为一物理量的考虑，物理意义明确，数学理解简单的 欧拉连续方程的推导见图 1。 囹1柱坐标系体和元AE5CDEFQH 如图1所示，柱坐标系体积兀控制体 ABCDEFGH径向方向r,圆周切向方向B ，垂直方向 乙 径向速度Vr,圆周切向速度 VB,垂直速度w,则径向线微元AB表达为dr,切向线微元AD表达为 rd 0 ,垂直微元 GC为dz,体积微元dV=rd Odrdz。 由径向速度 Vr垂直穿越面元 ADHE和 BCGF面积rd 0z）所引起的质量通量均可表达为p Vr* rd 0dz,但r坐标值在两个面元处

5、有差异。这使得质量通量沿径向r方向不尽相同 c（ Pvr 广就表达了质量通量在穿越面元ADHE和BCGF时沿径向r方向的梯度，乘以 dn dr后得它表示了径向速度 Vr垂直穿越面元 ADHE和BCGF后导致体积 元ABCDEF2GH内质量通量的变化量 （略去高阶小量，下同），即径向速度 Vr引起的体积元 ABCDEFGH内单位时间净流出的质量。 同理，由切向速度 V0垂直穿越面元 DCGH和ABFE面积rd 0 d所引起的质量通量均可表 达为p V edrdz,但0坐标值在两面元处不同，质量通量沿切向0方向的梯度描述为 （p V edrdz）/ 0 ,而（p VQdrdz）/ 0 ） d0则描

6、述了切向速度 V0垂直穿越面元 DCGH和ABFE 后导致体积元ABCDEF2GH内质量通量的变化量，即切向速度V0引起的体积元ABCDEFGH内 单位时间净流出的质量。 同理，垂直速度 w垂直穿越面元 EFGH和ABCD面积rd 0dr）所引起的质量通量均可表达 为p wrd 0dr,但z坐标值在两面元处不同，质量通量沿z方向的梯度描述为（p wrd 0dr）/ z, 而(p wrd 0dr)/ z) dz则描述了垂直速度 ABCDEFGH内质量通量的变化量，即垂直速度 的质量。 该柱坐标中，流体所有运动可以分解为在 时间净流出控制体 ABCDEFGH的质量就表达为 w垂直穿越面元 EFGH

7、和ABCD后导致体积元 w引起的体积元ABCDEFGH内单位时间净流出 3个正交的方向r、B和z上运动,所以流体单位 2Pvr ?d6d-（Pv d /d-j = Piv jrffldrJ z dr + 二 dH + Or7沿纬圈方向线微元 AB为rcos $ d入速度为u;沿经圈方 向线微元DA为rd $ ,速度为v;球径向线微元为dr,速度为w。体积元ABCDEFGH为 d t =rA2*cos $ d入d $ dr。沿纬圈方向穿越面元 AEHD和BFGC的质量通量均可表达为 p urd $ dr,这两个面元上质量通量沿入方向的梯度表示为(p urd $ dr)/入，乘以d入后 (p ur

8、d $ dr)/入)d入就描述了纬圈速度 u穿越面元AEHD和BFGC后导致体积元 ABCDEFGH内质量通量的变化量(略去高阶小量，下同)，即沿纬圈方向的质量通量所引起的体 积元ABCDEFGH内单位时间净流出的质量。 r + dH +:d; 图2球坐标系体积元控制体JREEFGff 由于入、和r相互独立，且体积元 ABCDEFGH为d t =rA2*cos $ d入d $ dr,故沿纬圈方向的质 量通量所引起的体积元 ABCDEFGH内单位时间净流出的质量为 c(Pwd 1?d(PjJ d-V 二-一 mA do d f 1-11.1 f co伸 申 曲 th 二 匚 J； di IVOSP 囲icosf?少 CA (6) 同理,沿经圈方向的质量通量所引起的体积元ABCDEFGH内单位时间净流出的质量为 dp -竝3缶砒厂 冗0妙丿、.1T . SfPVCO) 二，- 广 coscp dAf 二, d t 吃门涣?co妙砂(7) 沿径向的质量通量所引起的体积元ABCDEFGH内单位时间净流出的质量为 込迥皿皿ck二亚心O)妙肛犯dr (8) 3个方向流失质量之和，应等于该体 CrCr 根据质量守恒，整个体积元单位时间内净流失的质量是沿 积元单位时间的质量减小量(P t ) d T,故 & 口“Pl-CO J Cf f