图形的相似与位似

1、（最新最全）2012年全国各地中考数学解析汇编（按章节考点整理）第二十八章图形的相似与位似28.1 图形的相似15（ 2012 北京， 15， 5）已知 ab 0 ，求代数式5a2ba 2b 的值23a 24b2【解析】【答案】设5a2b5a2b10k6k4k1a=2k,b=3k，原式 =( a 2b)2b2k6k8k2(a 2b)(a 2b)a【点评】本题考查了见比设份的解题方法，以及分式中的因式分解，约分等。28.2线段的比、黄金分割与比例的性质（ 2011 山东省潍坊市，题号8，分值 3 ） 8、已知矩形abcd 中， ab=1, 在 bc沿 ae 将 abe 向上折叠， 使 b 点落在

2、 ad 上的 f 点，若四边形efdc 与矩形则 ad= （）上取一点e ,abcd 相似，5151d 2a b2c 32考点：多边形的相似、一元二次方程的解法解答：根据已知得四边形abef 为正方形。因为四边形efdc 与矩形 abcd 相似所以 df:ef=ab:bc即 （ ad-1 ）:1=1:ad整理得： ad 2ad 1 0 ,解得 ad1 52由于 ad 为正，得到 ad=5 1 ，本题正确答案是 b.2点评：本题综合考察了一元二次方程和多边形的相似，综合性强。28.3相似三角形的判定（ 2012 山东省聊城， 11，3 分）如图， abc 中，点 d 、 e 分别是 ab 、 a

3、c 的中点，下列结论不正确的是（）a.bc=2deb. ade abcc.adab3s adeaed. s abcac解析：根据三角形中位线定义与性质可知，bc=2de ；因 de/bc ，所以 ade abc ，ad ： ab=ae ： ac ，即 ad ： ae=ab ： ac ， s abc4s ade .所以选项 d 错误 .答案： d点评：三角形的中位线平行且等于第三边的一半.有三角形中位线，可以得出线段倍分关系、比例关系、三角形相似、三角形面积之间关系等.（ 2012 四川省资阳市， 10，3 分） 如图，在 abc 中， c 90，将 abc 沿直线 mn 翻折后，顶点 c 恰好

4、落在 ab 边上的点 d 处，已知 mn ab， mc 6， nc 2 3 ，则四边形mabn 的面积是a 6 3b 123c 183d 243cmnadb（第10 题图）【解析】 由mc 6， nc 23 ， c 90得s cmn = 63 ，再由翻折前后cmn dmn得对应高相等； 由 mnab 得 cmn cab且相似比为1:2，故两者的面积比为1:4，从而得 s cmn ： s 四边形 mabn =1:3，故选 c.【答案】 c【点评】 本题综合考查了直角三角形的面积算法、翻折的性质、 由平行得相似的三角形相似的判定方法、相似图形的面积比等于相似比的平方等一些类知识点.知识点丰富；考查

5、了学生综合运用知识来解决问题的能力. 难度较大 .（ 2012 湖北随州， 14,4 分）如图，点 d,e 分别在 ab 、ac 上，且 abc= aed 。若 de=4 ，ae=5 ， bc=8 ，则 ab 的长为 _ 。10解析： abc= aed ， bac= ead aed abc ， aede ， de=10abcb答案： 10点评： 本题主要考查了三角形相似的判定和性质。 利用两三角形的相似比， 通过已知边长度求解某边长度，是常用的一种计算线段长度的方法。28.4相似三角形的性质(2012重庆， 12， 4 分 ) 已知 abc def， abc的周长为 3， def的周长为与 d

6、ef的面积之比为 _解析： 相似三角形的周长比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方，答案。答案： 9： 1点评：本题考查相似三角形的基本性质。1，则 abc故可求出（2012 浙江省衢州， 15，4 分）如图，于点 f ， cd=2de. 若 def 的面积为示)abcd 中， e 是 cd 的延长线上一点，be 与 ad 交a，则 abcd 中的面积为.( 用 a 的代数式表【解析】根据四边形abcd 是平行四边形，利用已知得出def ceb， def abf ，进而利用相似三角形的性质分别得出ceb、abf 的面积为4a、9a，然后推出四边形bcdf的面积为8a 即可 .【答案】

7、 12a【点评】此题主要考查相似三角形的判定、 性质和平行四边形的性质等知识点的理解和掌握，解答此题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理和性质定理（ 2012 山 东 省 荷 泽 市 ， 16(1),6 ） (1) 如 图 ， dab= cae ， 请 你 再 补 充 一 个 条 件_,使得 abc ade，并说明理由.【解析】 从已知条件中可得出一组角对应相等，要判定两个三角形相似，可以增加另外一组对应相等或者是这两角的两边对应成比.【答案】db或aedc-2分理由：两角对应相等，两三角形相似-6分【点评】 判断两个三角形相似的条件中两角对应相等两三角形相似比较常用，在选择方法一定要根据题目

8、中或图形中所给提供的条件进行添加.（湖南株洲市 6,20 题）（本题满分 6 分）如图，在矩形 abcd 中， ab=6 ， bc=8, 沿直线 mn 对 折，使 a 、c 重合，直线 mn 交 ac 于 o.（ 1）、求证： com cba ；（ 2）、求线段 om 的长度 .【解析】 要证明 com cba 就是要找出 com= b 即可，求线段的长就是利用第（1）问中的相似建立比例式，构造出om的方程求解 .【解】 （ 1）证明：a 与 c 关于直线 mn对称acmn com=90在矩形 abcd中， b=90 com= b-1分又 acb=acb-2分 com cba-3分（ 2） 在

9、 rt cba中， ab=6， bc=8ac=10- -4分oc=5 com cba-5分oc = ombcab156分om= -4【点评】 求证两个三角形相似的方法主要是两角对应相等，两三角形相似、 两边对应成比例及夹角相等，两三角形相似及三边对应成比例，两三角形相似，求线段的长的方法，主要是利用三角形相似及直角三角形的勾股定理.（ 2012 湖南娄底， 25， 10 分）如图 13，在 abc 中， ab ac， b 30 ， bc 8，d 在边bc 上， e 在线段 dc 上， de4， def 是等边三角形，边df 交边 ab 于点 m，边 ef 交边 ac 于点 n.（ 1）求证：

10、bmd cne；（ 2）当 bd 为何值时，以 m 为圆心，以 mf 为半径的圆与 bc 相切？（ 3）设 bd x，五边形 anedm 的面积为 y，求 y 与 x 之间的函数解析式（要求写出自变量 x 的取值范围）；当x 为何值时， y 有最大值？并求y 的最大值 .fanmbdec【解析】（ 1）由 ab=ac ， b=30 ，根据等边对等角， 可求得 c= b=30 ，又由 def是等边三角形，根据等边三角形的性质，易求得mdb= nec=120 ， bmd= b= c= cne=30 ，即可判定：bmd cne ；（2）首先过点m 作 mh bc，设 bd=x ，由以 m 为圆心，以

11、mf 为半径的圆与bc 相切，可得 mh=mf=4-x ，由（ 1）可得 md=bd ，然后在 rt dmh 中，利用正弦函数，即可求得答案；（ 3）首先求得 abc 的面积，继而求得 bdm 的面积，然后由相似三角形的性质，可求得 bcn 的面积，再利用二次函数的最值问题，即可求得答案【答案】（ 1）证明： ab=ac， b= c=30 . def是等边三角形， fde= fed=60， mdb=nec=120， bmd= b= c= cne=30， bmd cne；（ 2）过点 m作 mhbc，以 m为圆心，以 mf为半径的圆与 bc相切， mh=mf，设 bd=x， def是等边三角形，

12、 fde=60， b=30， bmd= fde- b=60 -30 =30 =b， dm=bd=x，mh=mf=df-md=4，-x在 rt dmh中，sin mdh=sin60 = mh= 4-x =3 ，解得：x=168 3 ，mdx2当 bd=83时，以 m为圆心， 以 mf为半径的圆与bc相切；（ 3）过点 m作 mh bc于 h，16过点 a 作 ak bc于 k， ab=ac， bk=1bc=1 8=4。 b=30， ak=bk?tan b=4223 = 43 ， s abc=1bc?ak=1 8 43 = 16 3 ，由（ 2）得： md=bd=x， mh=md?sin33223

13、3 mdh=3 x， s bdm= 1 ?x?3 x=3 x2 . def 是等边三角形且de=4， bc=8，2224x2ec=bc-bd-de=8-x-4=4-x ， bmd cne， s bdm： s cen= ( bd ) 2=2， s ce(4x)3(4x)2， y=s-s-s=1633x232=(4x)cenabccenbdm34443 x223x2 3 =3 (x2)28 3 （0 x 4），当 x=2 时， y 有最大值，最大值为23238 3 3【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等边三角形的性质、二次函数的性质以及三角函数等知识此题综合性较强， 注意

14、数形结合思想与方程思想的应用(2012重庆， 12， 4 分 ) 已知 abc def， abc的周长为 3， def的周长为1，则 abc与 def的面积之比为 _解析： 相似三角形的周长比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方，故可求出答案。答案： 9： 1点评：本题考查相似三角形的基本性质。（2012 浙江省衢州， 15，4 分）如图， abcd 中， e 是 cd 的延长线上一点，be 与 ad 交于点 f ， cd=2de. 若 def 的面积为 a，则 abcd 中的面积为.( 用 a 的代数式表示 )【解析】根据四边形abcd 是平行四边形，利用已知得出def ceb，

15、def abf ，进而利用相似三角形的性质分别得出ceb、abf 的面积为4a、9a，然后推出四边形bcdf的面积为8a 即可 .【答案】 12a【点评】此题主要考查相似三角形的判定、 性质和平行四边形的性质等知识点的理解和掌握，解答此题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理和性质定理（ 2012 山 东 省 荷 泽 市 ， 16(1),6 ） (1) 如 图 ， dab= cae ， 请 你 再 补 充 一 个 条 件_,使得 abc ade，并说明理由.【解析】 从已知条件中可得出一组角对应相等，要判定两个三角形相似，可以增加另外一组对应相等或者是这两角的两边对应成比.【答案】db或 aed

16、c -2分理由：两角对应相等，两三角形相似-6分【点评】 判断两个三角形相似的条件中两角对应相等两三角形相似比较常用，在选择方法一定要根据题目中或图形中所给提供的条件进行添加.（ 2012 山东泰安， 17， 3 分） 如图，将矩形纸片abcd 沿 ef 折叠，使点b 与 cd 的中点重合，若 ab=2 ， bc=3 ，则 fc b 与 b dg的面积之比为（）a.9 ： 4b.3： 2c.4： 3d.16： 9【解析】设cf=x ，则 bf=3-x ，由折叠得 b f=bf=3-x, 在 rt fcb 中，由由勾股定理得cf2+c b 2=f b 2， x2+12=(3-x) 2,解得 x=

17、4,由已知可证 rt fcb rt b dg， ar 所以 sfc b 与 s b dg 的面积为（ 4163： 1） 2=.39【答案】 d.【点评】 本题综合考查了折叠的性质、 勾股定理、 相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方。（2012 年四川省德阳市，第11 题、 3 分） 如图，点 d 是abc的边 ab 的延长线上一点，点 f 是边 bc上的一个动点 （不与点 b 重合） . 以 bd、bf 为邻边作平行四边形bdef，又 apbe（点 p、e 在直线 ab 的同侧），如果/abd1pab ，那么pbc 的面积与 abc面积之4gbc比为fde1a.b.4c. 1d

18、.53534【解析】 连接 fp, 延长 ap 交 bc 的延长线于h, 过点 a 、 p 分别作 ambc, pnbc ,垂足 m 、n. 四边形 bdef 是平行四边形， efad ,又ap/ be， e、f、p共线，即 pfab ,四边形 apeb是平行四边形，ep=ab，又 bd1 ab ef=db=1 ab=1 pf, pf= 3 ab, 4434abhpfh,pnpf3spbcpn3.amab4, sabcam4【答案】 d.【点评】 此题应用了平行四边形， 相似三角形和三角形面积的相关知识， 能够合理作出辅助线是解决本题的关键，（ 2012 山东省荷泽市， 18,10 ）如图，在

19、边长为 1 的小正方形组成的网格中， abc和 def 的顶点都在格点上， p1， p2， p3， p4， p5 是 def边上的 5 个格点，请按要求完成下列各题：（ 1）试证明三角形 abc为直角三角形；（ 2）判断 abc和 def是否相似，并说明理由；（ 3）画一个三角形， 它的三个顶点为中的 3 个格点并且与 abc相似；（要求： 用尺规作图，保留痕迹，不写作法与证明）【解析】在网格中借助勾股定理求abc三边的长， 然后利用勾股定理的逆定理来判断abc的形状 .【答案】 解：（ 1）根据勾股定理，得ab2 5 ， ac5 ， bc=5 ；显然有 ab2ac 2bc2 ，根据勾股定理的

20、逆定理得abc 为直角三角形（ 1） abc 和 def 相似根据勾股定理，得ab2 5 ， ac5 ， bc=5de 4 2 ， df2 2 ， ef 2 10 abacbc5，dedfef22bdp 5p1fp2cp3p4ae abc def （ 3）如图： p2p4 p5【点评】 在网格中计算线段的长，勾股定理是首先的计算方法，在网格中证明三角形相似，常用的方法是两边对应成比且夹角相等或者三边对应成比例.（2012安徽， 22， 12 分）如图1，在 abc中， d、 e、 f 分别为三边的中点，g 点在边ab 上， bdg 与四边形（1）求线段bg 的长；解：acdg的周长相等，设bc

21、=a 、ac=b 、 ab=c.（ 2）求证： dg 平分 edf;证：（3）连接 cg，如图 2，若 bdg 与 dfg 相似，求证： bg cg.证：解析：已知三角形三边中点连线，利用三角形中位线性质计算证明.（1）已知 abc 的边长，由三角形中位线性质知 df1 b de1 c，根据 bdg 与四边形 acdg 周长相等，,22bc. （ 3）利用可得 bg.（2）由（ 1）的结论，利用等腰三角形性质和平行线性质可证2两个三角形相似，对应角相等，从而等角对等边，bd=dg=cd ，即可证明 .解（ 1） d 、 c、 f 分别是 abc 三边中点de 1 ab,df 1 ac，22又

22、bdg 与四边形acdg 周长相等即 bd+dg+bg=ac+cd+dg+agbg=ac+agbg=ab agbg= abac = b2c2（2）证明：bcb ccbbg=， fg=bg bf=2222 fg=df, fdg=fgd又 de ab edg=fgdfdg= edgdg平分 edf（ 3）在 dfg中， fdg= fgd, dfg是等腰三角形 , bdg 与 dfg 相似 , bdg是等腰三角形 , b= bgd, bd=dg,则 cd= bd=dg, b、cg、三点共圆 , bgc=90 , bg cg点评：这是一道几何综合题，在计算证明时，根据题中已知条件，结合图形性质来完成.

23、 后面的问题可以结合前面问题来做.（ 2012 山东泰安， 28，10 分）如图， e 是矩形 abce的边 bc上一点， ef ae，ef 分别交 ac、cd于点 m、f， bg ac，垂足为 g， bg交 ae于点 h。（ 1）求证： abe ecf；（ 2）找出与 abh相似的三角形，并证明；（ 3）若 e是 bc中点， bc=2ab， ab=2，求 em的长。【解析】（ 1）由四边形 abcd 是矩形，可得 abe= ecf=90 ，又由 efae ，利用同角的余角相等，可得 bae= cef，然后利用有两组角对应相等的两个三角形相似，即可证得：abe ecf；（ 2）由 bg ac

24、，易证得 abh= ecm ，又由（ 1）中 bah= cem ，即可证得 abh ecm ；（3）首先作 mr bc ，垂足为 r，由 ab ： bc=mr ：rc=2，aeb=45 ，即可求得 mr 的长，又由 em=mr，即可求得答案sin 45【答案】（1）证明：四边形abcd 是矩形，abe= ecf=90 ae ef， aeb+ fec=90 aeb+ bea=90 ， bae= cef， abe ecf.（ 2） abh ecm 证明： bg ac ， abg+ bag=90 ， abh= ecm ，由（ 1）知，bah= cem ， abh ecm. （ 3）解：作 mr bc

25、 ，垂足为 r， ab=be=ec=2 ， ab ： bc=mr ： rc=2 ， aeb=45 ， mer=45 ， cr=2mr ， mr=er= rc= ，mrem=sin 45【点评】 考查了矩形的性质， 直角三角形的性质、 相似三角形的判定与性质以及三角函数等知识解题时注意数形结合思想的应用，注意掌握“有两组角对应相等的两个三角形相似”定理的应用（ 2012 贵州铜仁， 8， 4 分如图，六边形abcdef 六边形ghijkl ，相似比为2:1，则下列结论正确的是（）a e=2 kb. bc=2hic. 六边形 abcdef 的周长 = 六边形ghijkl 的周长8 题图d. s 六

26、边形 abcdef =2s 六边形 ghijk【解析】 a 、六边形 abcdef 六边形 ghijkl ，e=k ，故本选项错误；b 、六边形 abcdef 六边形 ghijkl ，相似比为2：1，bc=2hi ，故本选项正确；c、六边形 abcdef 六边形 ghijkl ，相似比为 2： 1，六边形 abcdef 的周长 =六边形 ghijkl 的周长 2，故本选项错误；d、六边形 abcdef 六边形 ghijkl ，相似比为 2： 1，s 六边形 abcdef =4s 六边形 ghijkl ，故本选项错误【解答】 b.【点评】 本题考查相似图形的性质. 两个图形相似，对应角相等，边长

27、的比和周长的比都等于相似比，面积比等于相似比的平方 . 解答此题应注意相似图形边长的比、周长的比、面积比与相似比之间的关系 .（2012 陕西 5， 3 分）如图，在abc中，ad, be 是两条中线，则 s edc : s abc（）a 1 2b 2 3c1 3d 1 4【解析】由题意可知，ed 为abc 的中位线，则 ced cab s ed c : s abc( ed ) 2(1) 21 : 4 ，故选 d ab2【答案】 d【点评】本题主要考查了三角形的中线的定义、中位线的性质、相似三角形的性质等 .难度中等 .（ 2012 湖北咸宁， 6，3 分）如图，正方形oabc 与正方形ode

28、f 是位似图形， o 为位似中心，相似比为12 ，点 a 的坐标为 (1， 0)，则 e 点的坐标为（）yfecboa dx（第 6 题）a ( 2 ， 0)b ( 3 ， 3 )c ( 2 ， 2 )d (2， 2)22【解析】 由已知得， e 点的坐标就是点 a 坐标的2 倍【答案】 c【点评】 本题着重考查了位似图形的坐标特点，注意本题是同向位似(2012 山东日照， 8，3分 )在菱形 abcd 中，e是 bc边上的点， 连接 ae交bd 于点 f,若ec=2be,则 bf 的值是（）fdadfbeca.1111b.3c.d.245解析：如图，由菱形abcd 得 ad be,，所以 b

29、ef adf, 又由 ec=2be, 得 ad=bc=3be,故 bf = be = 1 . fd ad 3解答：选 b 点评：本题主要考查了棱形的性质、相似三角形的判定与性质，正确画出图形是解题的关键 .（2012 湖南省张家界市10 题 3则 abc 与 def 的相似比为分）已知 abc与 def相似且面积比为4 25，【分析】相似三角形相似比等于面积比的算术平方根.【解答】 abc 与 def的相似比为4 = 2 .255【点评】相似三角形面积比等于相似比的平方.（2012 山东省滨州， 18， 4 分）如图，锐角三角形相交于点 d ，请写出图中的两对相似三角形：abc的边ab ， a

30、c 上的高线 ce 和（用相似符号连接） bf【解析】（）由于 bde= cdf bed= cfd=90 ，可得 bde cdf 。由于 a= a ， afb= aec=90 ，可得 abf ace 。解：（ 1）在 bde 和 cdf 中 bde= cdf bed= cfd=90 ， bde cdf （ 2）在 abf 和 ace 中， a= a ， afb= aec=90 ， abf ace 【答案 】 bde cdf， abf ace【点评】 本题考查相似三角形的判定方法三角形相似的判定方法有，aa ， aas 、 asa 、sas 等(2012 贵州黔西南州， 17， 3 分 )如图

31、5，在梯形 abcd 中， ad bc ，对角线 ac 、 bd 相交于点 o，若 ad=1 ， bc=3 ， aod 的面积为 3，则 boc 的面积为 _【解析】由题意知 ad bc ，所以 oad= ocb，oda= obc ，所以 oad ocb 又 ad=1 ， bc=3 ，所以 oad 与 ocb 的相似比为 1:3，面积之比为 1:9，而 aod 的面积为 3，所以 boc 的面积为 27【答案】 27【点评】理解相似三角形的相似比与周长比、面积比之间的关系，是解决本题的关键（2012 贵州遵义， 7,3 分）如图，在 abc 中， efbc，= ， s 四边形 bcfe=8，则

32、 s=abc（）a 9b 10c 12d 13解析：求出的值，推出 aef abc ，得出=，把 s 四边形 bcfe=8 代入求出即可解：=， = ，efbc ，aef abc ，=，9saef=sabc ，s 四边形 bcfe=8，9（ sabc 8） =sabc ，解得： sabc =9 故选 a答案： a点评：本题考查了相似三角形的性质和判定的应用，注意：相似三角形的面积比等于相似比的平方，题型较好，但是一道比较容易出错的题目（2012 湖北省恩施市，题号20 分值 8 ）如图 8，用纸折出黄金分割点：裁一张正方形纸片 abcd，先折出 bc的中点 e，再折出线段ae，然后通过折叠使e

33、b 落在线段ea上，折出点b 的新位置 b1，因而 eb1=eb。类似的，在 ab 上折出点 b11 使 ab11=ab1。这是 b11 就是 ab 的黄金分割点。请你证明这个结论。【解析】设 be=1，可知 bc=ab=2， ae=5 ，由 eb1=eb得 ab11=ab1=5 -1, 根据黄金分割意义 ab11： ab=（5 -1 ）： 2，问题得证。1111【答案】证明：设 be=1，则 bc=ab=2，ae= ab 2 be 2 = 5 ， eb =eb， ab =ab= 5 -1,ab11： ab=（5 -1 ）： 2， b11 是 ab 的黄金分割点。【点评本题既考查学生阅读理解能

34、力，又考查考查黄金分割点的意义，难度中等。 数学新课程标准非常重视培养学生的动手操作能力，提倡让学生在操作中感受和体验数学知识的形成和发展把握折叠过程中的等边是解答此类问题的关键，勾股定理是计算折叠问题中线段长度的重要工具。（2012 南京市， 15，2）如图，在平行四边形abcd 中， ad=10 厘米， cd=6 厘米， e 为ad 上一点，且 be=bc,ce=cd ，则 de=厘米 .aedbc解析： bce 与 cde 均为等腰三角形，且两个底角 dec= bce ， bce cde， bc = ce ,cdde10 = 6 , de=3.6 厘米 .6de答案： 3.6.点评：在图

35、形中，利用相似，得出比例式，可以求出线段的长.（2012 湖北黄冈， 25， 14）如图，已知抛物线的方程c1:y=-1 (x+2)(x-m)(m0) 与 x 轴相交m于点 b、 c，与 y轴相交于点 e，且点 b在点 c的左侧 .(1) 若抛物线 c1过点 m(2， 2) ，求实数 m的值(2) 在 (1) 的条件下，求 bce 的面积(3) 在 (1) 的条件下， 在抛物线的对称轴上找一点h，使bh+eh 最小，并求出点 h 的坐标(4) 在第四象限内，抛物线 c1上是否存在点 f，使得以点 b、c、f 为顶点的三角与 bce相似 ?若存在，求 m的值；若不存在，请说明理由【解析】（ 1）

36、把 m(2， 2) 代入 y=-1 (x+2)(x-m) 即可求出 m；（ 2）求出 b、 c、e 三点坐标m即可求出s bce；（ 3）利用“两点之间，线段最短”和轴对称的性质可探索解题思路；（4）分两种情况来探讨解题过程，最后利用相似三角形的性质和方程思想来解决问题.【答案】解：（ 1）依题意把m(2，2) 代入 y=- 1 (x+2)(x-m)得：2=- 1 (2+2)(2-m)，解得m=4.mm（ 2）由 y=0 得： - 1 (x+2)(x-4)=0得 x 1=-2 ， x2=4 b（ -2 ， 0） c （4， 0） .4由 x=0 得： y=2 e（ 0， 2） s bce= 1

37、 bcoe= 1 6 2=6.1221（ -2+4） =1，点 b 、c 关于直线 x=1 对称 .连（ 3）当 m=4时， c的对称轴为 x=2ec 交对称轴于点h，则 h 点使得 bh+eh 最小 .设直线 ec 的解析式为 y=kx+b ，把 e（ 0， 2）、 c（ 4， 0）代入得 y=- 1 x+2，把 x=1 代入得 h （ 1， 3 ） .22（ 4 ）分两种情况：当bec bcf 时，则 ebc=cbf=45， bebcbcbf即 bc 2bebf ，作 ft x 轴于点 t，可设 f（ x，-x-2 ）（x 0），则-x-2=-1 (x+2)(x-m) x+2 0 x=2m

38、，f（ 2m，-2m -2 ）.m bf=2m22m22 2 m1 ，be=22 ，22bc=m+2 .2m= 2 2 2m 22 2 2 2 m 1解得，又 ，m 0m= 2 2 2 . 当 bec fcb 时 ， 则 bcec ， ebc= cfb， btf coe， bfbctfoe2 ，btocm可设 f（ x， -2 （x+2 ）（ x0）， -2 （ x+2） =-1(x+2)(x-m) ，mmm x+2 0 x=m+2， f（ m+2， -2m4）， ec= m24， bc=m+2 ，m2bf=24 m 4m 2 2m24 m42 m22m24m 2 222，整理得 0=16，显然不成立 .m综上：在第四象限内，抛物线上存在点f，使得以点 b、 c、 f 为顶点的三角与bce相似，m=22 2 .【点评】本题综合考查了二次函数性质、轴对称性质、相似三角形性质等知识，但解题的关键要充分运用方程思想和分类思想，同时解题过程中大量的数学计算和代数式变形也是不小的考验 . 难度较大 .（ 2012 河南， 22， 10 分）类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整.原题：如图 1