实变函数与泛函分析

1、1 序言 2 )()()(xfdttfR dx d x a l若f(x)在a,b上连续，则 )()()( )(aFxFdttFR x a l若F (x) 在a,b上连续，则 导数（切线斜率） xi-1 xi 定积分（面积） 3 创立（17世纪）：Newton（力学）Leibniz（几何） (无穷小) 严格化（19世纪）: Cauchy, Riemann, Weierstrass (极限理论(-N, -语言)，实数理论) 外微分形式（20世纪初）：Grassmann, Poincare, Cartan （微积分基本定理如何在高维空间得到体现） 4 l外微分形式 (整体微分几何) （微积分基本定理

2、如何在高维空间得到体现） l复数域上的微积分（复变函数） l微积分的深化和拓展（实变函数） 5 (1) Riemann积分的定义 积分与分割、介点集的取法无关 几何意义（非负函数）： 函数图象下方图形的面积。 xi-1 xi i n i i T b a xfdxxfR 1 0| )(lim)()( 其中 iii iii xx xxx 1 1 6 f(x)在a,b上Riemann可积 i n i i T b a xMdxxf 1 0|lim )(dxxfxm b a i n i i T )(lim 1 0| : )(inf : )(sup 1 1 iii iii xxxxfm xxxxfM 其中

3、： xi-1 xi xi-1 xi 7 f(x)在a,b上Riemann可积 i n i i xT 1 , 0，使得分划 iii iii iii mM xxxxfm xxxxfM : )(inf : )(sup 1 1 其中： xi-1 xi 8 f(x)在a,b上Riemann可积 注：连续函数、 只有有限个间 断点的有界函 数和闭区间上 的单调函数 Riemann可积 的总长度不超过的小区间 ，使得所有振幅分划， i i T , 0 iiiii n i i xxx ii 1 上的振幅在为其中,),(baffba ii xxfba ii ),( xi-1 xi )(),(abfba 9 注：

4、D(x)的下方图形 可看成由0,1中每个 有理点长出的单位线 段组成。 1 1 i n i i xT，有分划 1lim)( 1 0| i n i i T b a xMdxxf上积分 0lim)( 1 0| i n i i T b a xmdxxf 下积分 Qx Qx xD 1 ,01 1 ,00 )( 0 1 10 ( )( )( ) x a f t dtf xf a 注：推荐大家看看龚升写的 l话说微积分， 简明微积分, l数学历史的启示（数学教学，2001.1）, l微积分严格化后(高等数学研究,2002,1-3） 1881年Volterra作出一可微函数，导函数有界但不Riemann可积

5、； 11 例：设rn为0,1中全体有理数(因为其为可数集，故可把它排成序 列)，作0,1上的函数列 , 3 , 2 , 1)( ,1 , 1 , 00 321 321 nxf n n rrrrx rrrrxn dxxfdxxf n n b a n b an )(lim)(lim Qx Qxn n xDxf 1 , 01 1 , 00 )()(lim 则 fn(x)在a,b上Riemann可积,但 不Riemann可积。 12 Riemann积分 i n i i T b a xfdxxfR 1 0| )(lim)()( xi-1 xi 为使f(x)在a,b上Riemann可积， 按Riemann

6、积分思想，必须使得 分划后在多数小区间上的振幅 足够小，这迫使在较多地方振动 的函数不可积。Lebesgue提出， 不从分割定义域入手， 而从分割值域入手； (积分与分割、介点集的取法无关) 13 1902年Lebesgue在其论文“积分、长度与面积”中 提出（参见：Lebesgue积分的产生及其影响，数学 进展，2002.1） i n i i ba mEdxxfL 1 0, lim)()( yi yi-1 )(: 1iii yxfyxE iii yy 1 用 mEi 表示 Ei 的“长度” 14 i n i i ba mEdxxfL 1 0, lim)()( 取“极限” )(: 1iii y

7、xfyxE 取点集 yi yi-1 f(x)在 Ei上的振幅不会大于 i n i i mEs 1 作和 iii yy 1其中 mEi 表示 Ei 的“长度”， Mxfmyy ii )(, 1 其中 Myyyym n 210 , 0 作分划 即： 15 对此Lebesgue自己曾经作过一个比喻，他说： l假如我欠人家一笔钱，现在要还，此时按钞票的面值 的大小分类，然后计算每一类的面额总值，再相加， 这就是Lebesgue积分思想； l如不按面额大小分类，而是按从钱袋取出的先后次序 来计算总数，那就是Riemann积分思想 （参见：周性伟，实变函数教学的点滴体会， 高等理科教学，2000.1） 即

8、采取对值域作分划，相应得到对定义域的分划 （每一块不一定是区间）， 使得在每一块上的振幅都很小， 即按函数值的大小对定义域的点加以归类 yi yi-1 0 1 16 l(1) 集合Ei 的“长度”如何定义（第三章 测度论）； l(2)怎样的函数可使 Ei 都有“长度”（第四章 可测函数）； l(3)定义Lebesgue积分并研究其性质（第五章 积分论）； 第一章 集合， 第二章 点集， 第六章 微分与不定积分 yi yi-1 )(: 1iii yxfyxE 17 (1) Achilles追龟 问题：时间由时刻组成，每一时刻，甲、乙都在一确定点上由于 甲、乙跑完相应路程所用时间一样，故甲、乙所用

9、“时刻数”一 样，从而跑过的点的“个数”也一样。 2 1 1111 1 2222 nn n 0(甲) （乙） 3/4 7/8 15/16 1 甲的速度为1，乙的速度为1/2 18 1, 2, 3, 4, 5, 6, a1, a2, a3, a4, a5, a6, 问下列情况是否能把新来的人安排下： 1 又来了有限个人b1, b2, b3, ，bn 3 每个人带无限多个亲戚（亲戚可排个队） 4 又来了0,1个人 2 每个人带一个亲戚b1, b2, b3, , bn, 19 1 b1, b2, b3 , , bn , a1 , a2 , a3 , 1, 2, 3, 4, 5, 6, a1 , a2

10、 , a3 , a4 , a5 , a6 , 4 不能安排进去 （0,1是不可数集） 2 b1, a1 , b2, a2 , b3, a3 , 3 a1 , a2 , a3 , a4 , a11, a12, a13, a14, a21, a22, a23, a24, a31, a32, a33, a34, 20 l周民强，实变函数(论)，北京大学出版社，1995.6(2001) l周性伟，实变函数，科学出版社，1998.9 l胡适耕，实变函数，高等教育出版社，1999.7 l徐森林，实变函数论，中国科学技术大学出版社，2002 l郑维行等，实变函数论与泛函分析概要，高等教育出版社,1987 l夏道行等，实变函数论与泛函分析，高等教育出版社，1983.2 lHalmos