(人教版数学)七年级竞赛专题讲解：第三十二讲最大公约数与最小公倍数

1、精品资源第三十二讲最大公约数与最小公倍数a孔出发，逆时针方如图，一个圆圈上有 n (n 100 =个孔.小明像玩跳棋一样，从 向将一枚棋子跳动，每步跨过若干个孔，希望跳一圈后回到a孔.他先每步跳过2个孔，结果只能跳到 b孔；他又试着每步跳过 4个孔， 结果还是跳到 b;最后他每步跳过 6孔，正好回到 a孔.问这个圆圈 上一共有多少个孔？思路点拨 依题意，每步跳过 2孔，连起点一共要跳过 3个孔，故除掉b孔外，圆圈上 的孔数是3的倍数，有3 n-1;每步跳过4个孔，连起点一步要跳过 5个孔，故除掉b孔 外，圆圈上的孔数是 5的倍数，因此，有 5 n1;又每步跳过6个孔时，可回到 a孔，这 表明7

2、 n.因(3, 5)=1,故 15 1 n-1 .因 nb, 0 ri+2+- -+23=276.因此，4845=d(bi+ b2+ - + b23) 276d, 4845 5i -dw =i7一 .27692又因为4845=i9x i7x i5,因此d的最大值可能是 i7.当 ai=i7, a2=i7x 2, a3=i7x3,，a22=i7x22, a23=i7x32 时，得a i+a2+ - +a23=i7(i+2+ -+22)十 i7x 32=4845.注 本题的解题思路是：可设这23个不同的正整数为 ai,a2，a23,且ai=dbi,a2=db2,， a23=db2,贝u 4845=

3、d(b i+ b2+ b23).要使d最大，贝u bi+ b2+ b23应最小.故可求出 d的 取值范围，再根据 d i4845,求出d的值.【例2】(希望杯初一数学竞赛试题)古人用天干和地支记次序，其中天干有 i0个：甲、 乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，地支有 i2个：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、 申、酉、戌、亥.将天干的i0个汉字和地支的i2个汉字分别循环排列成如下两行：甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁戊己庚辛壬癸 子丑寅卯辰巳午未申酉戌女子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥从左向右数，第i列是甲子，第2列是乙丑，第3列是丙寅则当第 2次甲和子在 同一列时，该列的序号是 ()a . 3i b .

4、 6l c . 9i d . i2i思路点拨“甲”在第一行出现的位置是l0m+i, m=q i, 2,，“子”在第二行出现的位置是i2n+i, n=0, i, 2,.甲和子在同一列时应有10m十i=i2n十l :,即 10m=i2n当m=n=0时是第一次“甲” “子”同列，第二次“甲”“子”同列时应是使得10m=12n成立的最小正整数 m和n,即m=g n=5.应是第61号位置.故选b.注：“甲” “于”在同一列时，它们的序号相同，这是解题的关键.【例3】(北京市竞赛试趣)张华、李亮、王民三位同学分别发出新年贺卡x、y、z张.如果已知x, y, z的最小公倍数为 60, x和y的最大公约数为

5、4, y和z的最大公约数为 3, 那么张华发出的新年贺卡是多少张？思路点拨 由题意可知，y不仅是3的倍数，而且是 4的倍数，即y是12的倍数.同 时y是60的约数，故而可求 y. (x , y)=4 , (y , z)=3 ,y是3与4的倍数，而3与4互质，故y是12的倍数.又 x , y, z=60 ,y=12 , 60.进而可求出 x.x , y, z =60=3 x4x5.当y=12时，x、z中至少有一个含有因数 5.若x中有因 数5,又x中有因数4,且4与5互质，x中有因数20.而x , y, z=60 , (x , y)=4 ,故 x=20.当x中没有因数5,x中有因数4,且x是60

6、的约数，x=4,或x=12,而(x , y)=4 ,故 x=4.当 y=60 时，(x , y)=4 ,而 x 中没有因数 5,且x , y, z =60=3 x 4x 5,故 x=4. 因此，张华发出的贺年卡为4张或20张.注(1)本题的切入点是最大公约数和最小公倍数；(2)注意答案的两种可能性.【例4】在一间屋子里有100盏电灯排成一横行，依从左到右的顺序编上号码1,2, 3,，100.每盏电灯上有一根拉线开关，最初所有电灯全是关的，现有100个学生在门外排着队，第一个学生走进屋来，把编号是1的倍数的电灯的开关拉一下；接着第二个学生走进屋来，把凡是编号是2的倍数的电灯开关拉了一下；最后第

7、100个学生走进屋来，把编号是 100的倍数的电灯的开关拉了一下，这样做过以后，问哪些电灯是亮的？思路点拨由于最初所有电灯是关着的，所以只有那些拉了奇数次开关的电灯才是亮的，而每一盏电灯的拉线开关被拉了多少次取决于这盏灯的编号的数字有多少个不同的正约 数，最后亮着的灯的编号只有为完全平方数.所以，只有编号为 1,4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100的电灯最后是亮着的.注：本题的一个重要条件是最初时灯都是关着的.然后对每个编号分解质因数.【例5】 两个正整数的和是 60,它们的最小公倍数是 273,则它们的乘积是()a. 273 b . 819 c . 1911 r

8、3549思路点拨设两个正整数为a与b,则 a+b=60=22 x 3 x 5,a , b=273=3 x7x 13.显然，a, b的最大公约数是1或3.如果(a , b)=1 ,则a , b=a x b.a 、b 只能取 21、13, 7、39, 1、273, 3、91,其和均不为 60.因此，(a , b)=3 ,于是 a=3 x7, b=3 x 13,a x b=(3 x 7) x (3x x 3)=819 . 故选 b.注：本题的精妙之处在于由a+b和a , b的两个质因式的分解，确定出a和b的最大公为数是1或3.【例6】用整元的人民币购物，若用多于7元的任意元钱去买单价为3元和5元的两

9、种雪糕，一定可以把钱花完，请证明这一结论.思路点拨用任意元钱n （n 7）去买单价为3元的雪糕，只能余l元或2元.若余2元时，少买一根3元雪糕，余数就为 2+3=5元，恰能买一块5元的雪糕.若余1元时，少买 3根3元的雪糕，余数为1+3x3=10元，恰能买2根5元雪糕.若n能被3整除，就用所有 钱去买3元的雪糕，恰合题意.注：由3的同余数入手分类，结合拼凑法使问题得到证明.84,求此二数.【例7】已知两数和是 60,它们的最大公约数与最小公倍数之和是思路点拨设所求二数为x, y,且(x , y)=d ,令 x=ad,y=bd,则（a , b）=1 .根据题意有 60 a +b = 一d4由于(

10、601 ab=84 d而当 d: 1, 2, 3, 4, 6 时,84)=12 ,所以 d=l ,2, 3, 4, 6, 12.方程组无解.a+b=5a=2 a=3当d = 12时，方程组变为3,解之得3 或3佐：.,ab = 6b = 3 b = 2jl工故所求的两数为x=24, y=36.例8（“五羊杯竞赛题）设a与b是正整数，且a+b=33,最小公倍数a, b=90 ,则最大公约数（a , b）=（）a . 1 b . 3 c.11 d . 9思路点拨 令（a , b）=x ,则x是a, b, a+b及a , b的公约数，故x是33和90的公约 数，知x=1或x=3 .当x=1时，a与b

11、互质，而a+b=33,当a不能被3整除，则b不能被3整除，而a , b=90 , 说明a、b至少有一个能被 3整除.当b能被3整除，由a+b=33,则b也能被3整除，故（a , b） w 1,即 xw 1.当 x=3 时，即有（a , b）=3 , ab=a , b , （a , b）=3 x 90=32 x 5 x 6,而 a+b=33,，a=15, b=18, （a , b）=3 .故选 b.学力训练（a级）1 .（ “希望杯”培训题）2001的正约数的个数是（）a . 3 b . 4 c.6 d.82 .（希望杯”竞赛题）下面的四句话中正确的是（）a.正整数a和b的最大公约数大于等于 a

12、b.正整数a和b的最小公倍数大于等于 abc正整数a和b的最大公约数小于等于ad.正整数a和b的公倍数大于等于 ab3. 360x473和172x 361这两个积的最大公约数是 （）a. 43 b . 86 c . 172 d . 44 .（北京市竞赛题）a, b是彼此不相等的非零数字，则 ababab与4017的最大公约数是.5 .（上海市竞赛题）写出一组4个连续自然数，使它们从小到大顺次是5的倍数、7的倍数、9的倍数、11的倍数，这组自然数依次为 .6 .甲、乙、丙三人到李老师那里求学，甲每6天去一次，乙每 8天去一次，丙每 9天去一次，如果8月17日他们三人在李老师处见面，那么下一次在李

13、老师处见面的时间是几月几 日呢？（b级）1所有形如abcabc的六位数（a, b, c分别是09这十个数之一，可以相同，但aw。）的最大公约数是（）a . 1001 b . 101 c .13 d .112用长为45cm,宽为30cm的一批砖，铺成一块正方形，至少需要（） 块.a . 6 b . 8 c . 12 d . 163.祖孙两人的年龄都是合数，明年他们的岁数相乘是1610,那么祖孙两人今年的年龄分别是（）a . 70 岁、23 岁 b . 69 岁、22 岁 c . 115 岁、14 岁 d . 114 岁、13 岁4在正整数1, 2, 3,，100中，能被2整除但不能被3整除的数的

14、个数是（）a . 33 b . 34 c . 35 d . 375（2000年“希望杯”竞赛题）设m和n为大于0的整数，且3m+2n=225.（1） 如果m和n的最大公约数为15,则m+n=;（2） 如果m和n的最小公倍数为 45,则m+n=.6 .个正整数之和为 667,其最小公倍数是它们扣最大公约数的120倍，那么满足条件的正整数有 组.7 . a, b表示两个正整数 a和b的最小公倍数，例如14, 35=70 ,则满足x , y=-6 , y , z=15的正整数组（x , y, z）共有 组.8 .甲地到乙地原来每隔 45m要安装一根电线杆， 加上两端的两根一共有 53根电线杆.现在

15、改成每隔60m安装一根电线杆，除两端两根不需移动外，中途还有多少根不必移动？欢迎下载参考答案32最大公约数与最小公倍数l d 2. c 3, c4. 39.提示：*+， ababab = at x 10* + x 102 + o6 = 10101 xab =3 x7 x 11 x37 kab, 又t 4017=3x13x103,而正是两位数.5. 3465m-1730,3465-1729,*651728,3465n-1727（n 为正整数）&下一次再见,面需隔的天数是6、8、9的最小公倍数72,故下次再见面的时间是10月28日.6. 4提示:令嬴=叫则这个六位数为1000/+*=1001居7. a.朝：45t30 =90,90x90(45 x 30) =6(块)，8. b.提示：1610 =2 x5 x7 x23,即1610 -70 x23.9. b.提示:在正整数133、joo中，能被2整除的数有50个,既能被2整除又能被3整除,即能被6 整除的数有6,12,18,96,共16个，所以能被2整除但不能被3整除的数有50-6=34个.10. (1) 105：(2) 9a11. 2,提示t设所求两个数为。由已知得=120 * (%6).:、a *b = (a,s) *b =120 * (at4)j,又丫 a+6 =667 =23 x29,当(。,b) =23 时，1