(人教版数学)七年级竞赛专题讲解：第三十一讲代数式的值

1、精品资源第三十一讲代数式的值某同学做一道代数题：求代数式l0x 9+9x8+8x7+7x6+6x5+5x4+4x3+3x2+2x+1,当 x=1 时的值.由于将式中某一项的“+”错看成“一”，误得代数式的值为 7,那么，该同学看错了几次项前的符号？思路点拨 设着错的是 n次项前的符号，那么，它计算的代数式实际上是l0x9+9x8+-+2x+1-2(n+1)x n的值，由题意可得： 10( 1) 9十 9( 1)8+十 2( 1)+1 2(n+1)( -1)n=7, 即(n+1)( -1)n=-6,解得n=5,即该同学看错的是 5次项前的符号.一、直接代入求值代数式的值是指代数式中的字母取某数值

2、时，按照代数式中的运算要求求出的值，如果已知代数式中的字母的值，将其代入就可以求出代数式的值.例 1 a = 4 ,求代数式 3a3 _(a+a3 -2a2 2) 2(1 + a2 + a3 -6a)的值. 5思路点拨原式=11a=_445二、整体代入求值在有些求代数式的值的问题中，往往题目中并没有直接告诉我们字母的值，而且通过已知条件很难求出未知数的值来，我们通常进行整体代入，求得代数式的值.【例2】已知11=2,求代数式 3 +4ab +3b的值.a b2a -3ab-2b思路点拨a _b = _2ab，原式=-3(a b) +4ab = _竺2(a-b) -3ab7例3当x= 5时，代数

3、式ax4+bx2+c的值是3,求当x=5时，代数式ax4+bx2+c的值.思路点拨a(-5)4 +b(5)2 + c = 3,即 54a+52b+c = 3，当 x=5 时，代数式 ax4+bx2+c = 54a+52 b+c = 3 .【例 4】已知 a2 +bc=14,b2 2bc = 6,则 3a2 +4b2 -5bc=.思路点拨 原式=3(a2 +bc)+4(b2 -2bc) =42 24 = 18【例5】已知(2x1)5 =a5x5 +a4x4 +a3x3 +a2x2 +a1x + a0是关于x的恒等式.求:(1) a0 +a1 +a2 +a3 +a4+a5 的值；(2) ao a1

4、 +a2 -a3 +a4一a5的值;(3) ao +a2 +a4的值.思路点拨 (1)令 x=1,得 a0 +a1 +a2 +a3 +a4+a5=1；(2) 令 x=-i ,得 a0 -a1 +a2 -a3 +a4a5=243；将上面两式相加，得 a0+a2 +a4 =- 121【例5】(1999年第10届“希望杯”竞赛试题)已知x=1999,则4x2 -5x +1 -4 x2 +2x+2 +3x +7思路点拨 当 x=1999 时，原式=4x2 -5x+1 -4(x2 +2x+2) +3x + 7 = 10x = 19990三、逆用乘法运算律对代数式进行变形求值【例6】 已知x2+4x 1=

5、0,求代数式2x4+8x34x28x1的值.思路点拨原式=2x2(x2+4x1)-2(x 2+4x1)-1= -1四、运用乘法公式对代数式进行变形求值乘法公式是我们在研究整式的乘法时总结出来的，具有普遍意义，可以简化运算的一些结论.在求代数式式的值时，对已知条件或所求代数式利用乘法公式进行适当变形，可以使一些问题简化，并得以解决.【例 7】 已知 a+b+c=3, (a 1) 3+(b 1) 3+(c 1)3=0,且 a=2,求代数式 a2+b2+c2 的值.思路点拨把a=2代人到前两个式子中，可得 b+c=1, (b -1)3+(c-1)3=-1(1)运用立方和公式将(1)式进行变形，得 b

6、c=0, . a2+b2+c2=22+(b+c) 2-2bc=5注：在求代数式的值时，对代数式的相关知识要非常熟练，有时代数式不一定是公 式所具有的形式，我们可以采取差什么添什么.添后再减的方法对代数式进行变形.例8若a、b、c都是有理数，且 a+b+c=0, a3+b3+c3=0,求代数式a5+b5+c5的值.思路点拨 a 3+b3+c3-3abc=(a+b+c)( a 2十 b2十 c2abbcac)=0 ,得 abc=0a5+b5+c5=0五、利用一些特殊的代数式形式求代数式的值2【例8】已知 t一 =1,试求代数式4 a 2 的值.a a 16a a 丁1思路点拨由已知条件知aw0,a

7、 _1 a2 a 1 6a2 a 1aa【例9】(1999年北京市竞赛题)若3x3x=1 ,则9x4+12x33x2-7x + 1999的值等于(a. 1997 b . 1999 c . 2001 d . 2003思路点拨用竖式除法可得原式 二(3x3x 1) (3x+4) +2003= 2003,故选d.学力训练1.已知 a-b=5, ab=-1,求代数式(2a+3b 2ab) (a+4b+ab) (3ab+2b-2a)的值.22x y2 .右 x+7y=y-3x ,求不j 的值.x2y23 .若a、b、c、d为互不相等的整数，且 abcd=25,求a+b+c+d的值.4 .已知1+2=2,

8、求代数式 4x+3xy+2y的值.x y一4x+8xy _2y5 .已知关于x的二次多项式 a(x3x2+3x)十b(2x2+x)+x3-5 ,当x=2时的值为一17,求当x= 2时，该多项式的值.6 .把(x2-x-i)n展开得 a2nx2n+a2nx2n，+a2x2+a1x + a0,求 a0+a2+a4十十a2n的值.7 .若 x =y_ =z,求 x+y+z 的值. a -b b -c c -a8 .设 100 个实数 ai、a2、a3,、a满足(n-2)a n-(n -1)a n-i+1=0(2 n 0, x _a b b +_c ,y=a( +)+b( + ) + c(十) a b |cb c c a b a求代数式x2000- 6xy+y3的值.a -b c -a b cba(a 地)(b+c)(c+a)的值abc18.19.20.21.17 .已知a+b+c=0, a2+b2+c2=1,求代数式 a(b十c)十b(a十c)十c(a十b)的值.2已知_2a =1，试求代数式42a 2 的值.2a2 a 2 32a4 a2 2已知a是方程2x2+3x1=0的一个根，求代数式2a543a4 +3/49一5a41的值.3a -1已知 a=2003x+2004 , b=2003x+2003 , c=2003x+2005 ,求代数式 a2十 b2 十 c2abbc ac的值