2019年浙江省杭州市中考数学试卷

1、2019年浙江省杭州市中考数学试卷、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中,第1页（共23页）只有一项是符合题目要求的;1. （ 3分）计算下列各式，值最小的是（）A . 2X 0+1 - 9B .2+0 X 1 - 9C.2+0 - 1 X 9D . 2+0+1 - 92. （ 3分）在平面直角坐标系中，点A （ m, 2）与点B （3, n）关于y轴对称，则（）A . m = 3, n = 2B .m =- 3, n = 2C.m= 2, n = 3D. m=- 2, n =- 33. （ 3分）如图，P为圆O外一点，PA, PB分别切圆O于A, B两点

2、，若PA = 3,贝U PB =A . 2B . 3C. 4D. 54. （ 3分）已知九年级某班 30位学生种树72棵，男生每人种3棵树，女生每人种 2棵树, 设男生有x人，则（）A . 2x+3 （ 72 - x）= 30B . 3x+2 （72 - x）= 30C . 2x+3 （30 - x）= 72D . 3x+2 （30 - x）= 725. （ 3分）点点同学对数据 26, 36, 46, 5口，52进行统计分析，发现其中一个两位数的个 位数字被黑水涂污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是（）A.平均数B .中位数C.方差D.标准差（3分）如图，在 ABC中，点D, E分别在

3、AB 和 AC 上, DE / BC, M 为 BC 边上一点（不与点B, C重合），连接AM交DE于点N，则（）CE7. （ 3分）在厶ABC中，若一个内角等于另外两个内角的差，则（A .必有一个内角等于 30B 必有一个内角等于45C .必有一个内角等于 60D .必有一个内角等于 90（3分）已知一次函数 y1 = ax+b和y2= bx+a （a丰b）,函数y1和y2的图象可能是 （）9.A .1 、A、1AOB.（3分）如图，一块矩形木板 ABCD斜靠在墙边（OC丄OB，点A, B, C, D, O在同一平面内），已知AB = a, AD = b，/ BCO = x,则点A到OC的距

4、离等于（A . asinx+bsinxB. acosx+bcosxC. asinx+ bcosxD. acosx+bsinx10. （3分）在平面直角坐标系中，已知a丰b，设函数y=（ x+a） （x+b）的图象与 x轴有 M个交点，函数y=（ ax+1） （bx+1 ）的图象与x轴有N个交点，则（A . M = N - 1 或 M = N + 1B . M = N - 1 或 M = N +2C . M= N 或 M= N +1D . M = N 或 M = N - 1二、填空题：本大题有 6个小题，每小题 4分，共24分；211. （4分）因式分解：1 - x =.12. （4分）某计算机

5、程序第一次算得m个数据的平均数为x，第二次算得另外 n个数据的平均数为y,则这m+n个数据的平均数等于 .第2页（共23页）第5页（共23页）13. （4分）如图是一个圆锥形冰淇淋外壳（不计厚度），已知其母线长为 12cm，底面圆半2径为3cm，则这个冰淇淋外壳的侧面积等于 cm （结果精确到个位）14. （4分）在直角三角形 ABC中，若2AB = AC,贝U cosC =.15. （4分）某函数满足当自变量 x= 1时，函数值y= 0,当自变量x= 0时，函数值y= 1, 写出一个满足条件的函数表达式 .16. （4分）如图，把某矩形纸片 ABCD沿EF , GH折叠（点E, H在AD边上

6、，点F, G在BC边上），使点B和点C落在AD边上同一点P处，A点的对称点为 A点，D点的对 称点为D点，若/ FPG = 90, A EP的面积为4,A D PH的面积为1,则矩形ABCD的面积等于三、解答题：本小题 7个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤4v17. （6 分）化简： 一-1x2-4 宀圆圆的解答如下：2 2 - 1 = 4x- 2 （x+2） -（ x2 - 4）=- x2+2x:.:圆圆的解答正确吗？如果不正确，写出正确的答案.18. （8分）称量五筐水果的质量，若每筐以50千克为基准，超过基准部分的千克数记为正数，不足基准部分的千克数记为负数，甲组为

7、实际称量读数，乙组为记录数据，并把所得数据整理成如下统计表和未完成的统计图（单位：千克）实际称量读数和记录数据统计表序号12345数据(1)补充完成乙组数据的折线统计图.(2)甲，乙两组数据的平均数分别为写出；与，一之间的等量关系.2 2 2 2甲，乙两组数据的方差分别为 S甲,S乙2,比较S甲2与S乙2的大小，并说明理由.19. (8 分)如图，在 ABC 中，AC v ABv BC.(1 )已知线段 AB的垂直平分线与 BC边交于点P,连接AP，求证：/ APC= 2/ B.(2)以点B为圆心，线段 AB的长为半径画弧，与 BC边交于点Q,连接AQ.若/ AQC=3/ B,求/ B的度数.

8、20. (10分)方方驾驶小汽车匀速地从A地行驶到B地，行驶里程为480千米，设小汽车的行驶时间为t (单位：小时)，行驶速度为v (单位：千米/小时)，且全程速度限定为不超 过120千米/小时.(1 )求v关于t的函数表达式；(2)方方上午8点驾驶小汽车从 A地出发. 方方需在当天12点48分至14点（含12点48分和14点）间到达B地，求小汽车行 驶速度v的范围. 方方能否在当天11点30分前到达B地？说明理由.21. （10分）如图，已知正方形 ABCD的边长为1,正方形CEFG的面积为S1,点E在DC 边上，点G在BC的延长线上，设以线段 AD和DE为邻边的矩形的面积为 S2,且S1

9、=S2.（1）求线段CE的长；（2）若点H为BC边的中点，连接 HD，求证：HD = HG .22. （12 分）设二次函数 y=（ x-X1）（x-x?） （X1, x?是实数）.（1 ）甲求得当x= 0时，y= 0;当x= 1时，y= 0;乙求得当x= 时，y=-.若甲求2 2得的结果都正确，你认为乙求得的结果正确吗？说明理由.（2） 写出二次函数图象的对称轴，并求该函数的最小值（用含X1, X2的代数式表示）.（3）已知二次函数的图象经过（0, 口）和（1, n）两点（m, n是实数），当0v x1x2 v 1 时，求证：0 mn.1623. （12分）如图，已知锐角三角形 ABC内接于

10、圆O, 0D丄BC于点D，连接OA.（1）若/ BAC = 60, 求证：OD = 1 OA .2 当OA= 1时，求 ABC面积的最大值.（2）点 E 在线段 OA 上，OE = OD，连接 DE，设/ ABC = mZ OED，/ ACB = n/OED（m, n 是正数），若Z ABC 0, b 0.直线经过一、二、三象限，故 A正确;B、由可知：av 0, b0.直线经过一、二、三象限，故 B错误;C、由可知：av 0, b0.直线经过一、二、四象限，交点不对，故C错误;D、由可知：av 0, bv 0,直线经过二、三、四象限，故 D错误.故选：A.【点评】 本题主要考查的是一次函数的

11、图象和性质，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键.9. （ 3分）如图，一块矩形木板 ABCD斜靠在墙边（0C丄OB，点A, B, C, D, O在同一A . asinx+bsinxC. asinx+ bcosx平面内），已知AB = a, AD = b，/ BCO = x,则点A到OC的距离等于（）B. acosx+bcosxD. acosx+bsinx【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后利用锐角三角函数即可表示出点A到0C的距离，本题得以解决.【解答】 解：作AE丄0C于点E,作AF丄0B于点F ,四边形ABCD是矩形，/ ABC= 90 ,/ ABC=Z AEC ,Z BCO = x

12、,/ EAB = x,/ FBA = x,AB= a, AD = b, FO = FB+BO= a?cosx+b?si nx,故选：D.【点评】 本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.10. (3分)在平面直角坐标系中，已知a丰b，设函数y=( x+a) (x+b)的图象与x轴有M个交点，函数y=( ax+1) (bx+1 )的图象与x轴有N个交点，则()A . M = N - 1 或 M = N + 1B . M = N - 1 或 M = N +2C . M= N 或 M= N +1D . M = N 或 M = N - 1

13、【分析】先把两个函数化成一般形式，若为二次函数，再计算根的判别式，从而确定图象与x轴的交点个数，若一次函数，则与x轴只有一个交点，据此解答.【解答】解：t y=( x+a) (x+b), a* b,函数y=( x+a) (x+b)的图象与x轴有2个交点， M = 2,2函数 y=( ax+1) (bx+1) = abx + (a+b) x+1 ,22当 ab* 0 时，=( a+b) - 4ab=( a- b) 0,函数 y=( ax+1) (bx+1 )的图象与 x轴有2个交点，即 N = 2，此时M = N ;当 ab = 0 时，不妨令 a = 0,t a* b,. b*0,函数 y=(

14、 ax+1) (bx+1) = bx+1 为一次函 数，与x轴有一个交点，即 N = 1,此时M = N +1;综上可知，M= N或M = N+1 .故选：C.【点评】本题主要考查一次函数与二次函数与x轴的交点问题，关键是根据根的判别式的取值确定抛物线与 x轴的交点个数，二次项系数为字母的代数式时，要根据系数是否 为0，确定它是什么函数，进而确定与x轴的交点个数.二、填空题：本大题有 6个小题，每小题 4分，共24分；211. (4 分)因式分解： 1 - x =(1 - x) (1+x).【分析】根据平方差公式可以将题目中的式子进行因式分解.【解答】解： 1- x2=( 1-x) (1+x)

15、,故答案为：(1 - x) (1+x).【点评】 本题考查因式分解-运用公式法，解题的关键是明确平方差公式，会运用平方差公式进行因式分解.12. (4分)某计算机程序第一次算得m个数据的平均数为x，第二次算得另外 n个数据的平均数为y,则这m+n个数据的平均数等于：:【分析】直接利用已知表示出两组数据的总和，进而求出平均数.【解答】解：某计算机程序第一次算得m个数据的平均数为 x,第二次算得另外 n个数据的平均数为y,则这m+n个数据的平均数等于：|故答案为：竺二:【点评】此题主要考查了加权平均数，正确得出两组数据的总和是解题关键.13. （4分）如图是一个圆锥形冰淇淋外壳（不计厚度），已知其

16、母线长为 12cm，底面圆半径为3cm，则这个冰淇淋外壳的侧面积等于113 cm2 （结果精确到个位）.【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形 的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算.【解答】 解：这个冰淇淋外壳的侧面积=I X 2nX 3 X 12 = 36 n 113 （ cm2）.故答案为113.【点评】 本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长.14. （4分）在直角三角形 ABC中，若2AB = AC,贝U cosC【分析】讨论：若/ B = 90，设AB= x,贝U AC

17、= 2x,利用勾股定理计算出BC = :x,然后根据余弦的定义求 cosC的值；若/ A= 90，设AB = x,则AC= 2x,利用勾股定理 计算出BC =二x,然后根据余弦的定义求 cosC的值.【解答】解：若/ B= 90，设 AB= x,则 AC = 2x，所以 BC=丨：，=VCx, 所若/ A= 90c0SC =5第15页（共23页）综上所述，cosC的值为或25故答案为或厶：.25【点评】本题考查了锐角三角函数的定义：熟练掌握锐角三角函数的定义，灵活运用它 们进行几何计算.15. （4分）某函数满足当自变量 x= 1时，函数值y= 0,当自变量x= 0时，函数值y= 1, 写出一

18、个满足条件的函数表达式y=- x+1 .【分析】根据题意写出一个一次函数即可.【解答】解：设该函数的解析式为y= kx+b,函数满足当自变量 x= 1时，函数值y= 0,当自变量x= 0时，函数值y= 1,.k+b=OWLb=l解得： ,lb=l所以函数的解析式为 y=- x+1,故答案为：y=- x+1.【点评】本题考查了各种函数的性质，题目中x、y均可以取0，故不能是反比例函数.16. （4分）如图，把某矩形纸片 ABCD沿EF , GH折叠（点E, H在AD边上，点F, G在BC边上），使点B和点C落在AD边上同一点P处，A点的对称点为A点，D点的对称点为D点，若/ FPG = 90,

19、A EP的面积为4,A D PH的面积为1，则矩形ABCD的面积等于10+6 - 【分析】 设AB= CD = x,由翻折可知：PA= AB = x, PD= CD = x,因为 A EP的 面积为4,A D PH的面积为1,推出 A E = 4D H，设D H = a,贝U A E = 4a,由 A EP D PH，推出.，推出二=，可得x= 2a，再利用三角形的PA EAx 4a面积公式求出a即可解决问题.【解答】解：四边形 ABC是矩形， AB= CD , AD = BC,设 AB= CD = x,由翻折可知：PA = AB = x, PD= CD = x, A EP的面积为4, D P

20、H的面积为1, A E= 4D H，设 D H= a,贝U A E= 4a,/ A EPs D PH ,li 月= PA， EX a = x2 , 2 x = 4a , x= 2a 或-2a （舍弃），pa = pd = 2a,丄?a?2a = 1,2 a = 1, x= 2, AB= CD = 2, PE=2t= 2, PH = =, AD = 4+27+ =+1 = 5+3 二，矩形 ABCD 的面积=2 (5+3 _)= 10+6故答案为10+6 -【点评】本题考查翻折变换，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识, 解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题.

21、三、解答题：本小题 7个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤4x 217. (6 分)化简： 一 -1宀 X-2圆圆的解答如下：2 2i - 1 = 4x - 2 (x+2) -( x - 4)=- x +2x圆圆的解答正确吗？如果不正确，写出正确的答案.【分析】直接将分式进行通分，进而化简得出答案.【解答】解：圆圆的解答错误,4v2正确解法： 一 -1葢吃=I:- -（x2）Cx+2）（x_2）（x+2）（x2）（计2）o=二-工:-4 -r（7-2）（x+2）X=,【点评】此题主要考查了分式的加减运算，正确进行通分运算是解题关键18. （8分）称量五筐水果的质量，若每筐以

22、50千克为基准，超过基准部分的千克数记为正数，不足基准部分的千克数记为负数，甲组为实际称量读数，乙组为记录数据，并把所I质量（千売）IIIiIIitIIIIil1FI1IU2345序号12345序号得数据整理成如下统计表和未完成的统计图（单位：千克）序号数据12345甲组4852474954乙组-22-3-14实际称量读数和记录数据统计表实更称量读数护蛙注汁图记录数据折践统计图 肆（千克）第15页(共23页)（1）补充完成乙组数据的折线统计图（2）甲，乙两组数据的平均数分别为口，.，与出：;与之间的等量关系.2 2 2 2甲，乙两组数据的方差分别为S甲，S乙，比较S甲与S乙的大小，并说明理由.

23、【分析】（1）利用描点法画出折线图即可(2 )利用方差公式计算即可判断.【解答】解：(1)乙组数据的折线统计图如图所示:记录賀据折线统计图i I1234 i第仃页(共23页)s甲2= S乙2.理由： S甲(48 - 50)2+ ( 52 - 50) 2+ (47 - 50) 2+ (49 - 50) 2+ ( 54 - 50)=6.8.2 2 2 2 2 2S 乙= (- 2- 0) + (2 - 0) + (- 3 - 0) + (- 1 - 0) + (4- 0) = 6.8,5c2c2S甲 =S乙.【点评】本题考查折线统计图，算术平均数，方差等知识，解题的关键是熟练掌握基本 知识，属于中

24、考常考题型.19. (8 分)如图，在 ABC 中，AC v ABv BC.(1 )已知线段 AB的垂直平分线与 BC边交于点P,连接AP，求证：/ APC= 2/ B.(2)以点B为圆心，线段 AB的长为半径画弧，与 BC边交于点Q,连接AQ.若/ AQC=3/ B,求/ B的度数.【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质可知PA= PB,根据等腰三角形的性质可得/B=Z BAP，根据三角形的外角性质即可证得APC = 2 / B;（2）根据题意可知 BA= BQ,根据等腰三角形的性质可得/BAQ = Z BQA，再根据三角形的内角和公式即可解答.【解答】解：（1）证明：线段 AB的垂直平分线

25、与 BC边交于点P, PA = PB,/ B=Z BAP,/ APC=Z B+ / BAP,/ APC= 2/ B;（2）根据题意可知 BA= BQ ,/ BAQ=Z BQA,/AQC= 3/ B，/ AQC = Z B+Z BAQ ,/ BQA= 2Z B,vZ BAQ+ Z BQA+ Z B = 180, 5 Z B= 180, Z B= 36.【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质、垂直平分线的性质以及三角形的外角性质，难度适中.20. （10分）方方驾驶小汽车匀速地从 A地行驶到B地，行驶里程为480千米，设小汽车的 行驶时间为t （单位：小时），行驶速度为v （单位：千米/小时），且

26、全程速度限定为不超 过120千米/小时.（1 ）求v关于t的函数表达式；（2）方方上午8点驾驶小汽车从 A地出发.方方需在当天12点48分至14点（含12点48分和14点）间到达B地，求小汽车行第18页（共23页）驶速度v的范围.方方能否在当天11点30分前到达B地？说明理由.【分析】(1)由速度乘以时间等于路程，变形即可得速度等于路程比时间，从而得解；(2)8点至12点48分时间长为-小时，8点至14点时间长为6小时，将它们分别5代入v关于t的函数表达式，即可得小汽车行驶的速度范围；8点至11点30分时间长为厂小时，将其代入 v关于t的函数表达式，可得速度大于2120千米/时，从而得答案.【

27、解答】解：(1)v vt= 480,且全程速度限定为不超过120千米/小时， v关于t的函数表达式为：v=, (t4).t(2)8点至12点48分时间长为二小时，8点至14点时间长为6小时5将t = 6代入v =上匚得v= 80;将t =代入v= 得v= 100.t5t小汽车行驶速度 v的范围为：80Wvw 100.方方不能在当天11点30分前到达B地.理由如下：774S09608点至11点30分时间长为=小时，将t=代入v =得v= 120千米/小时，超速了.故方方不能在当天11点30分前到达B地.【点评】本题是反比例函数在行程问题中的应用，根据时间速度和路程的关系可以求解，本题属于中档题.

28、21. (10分)如图，已知正方形 ABCD的边长为1,正方形CEFG的面积为S1,点E在DC边上，点G在BC的延长线上，设以线段 AD和DE为邻边的矩形的面积为 S2,且S1 =S2.(1) 求线段CE的长；(2) 若点H为BC边的中点，连接 HD，求证：HD = HG .卫DF F【分析】(1)设出正方形CEFG的边长，然后根据 Si= S2,即可求得线段 CE的长;HD和HG的长，即可证(2)根据(1)中的结果可以题目中的条件，可以分别计算出明结论成立.【解答】解：(1)设正方形CEFG的边长为a,正方形ABCD的边长为1, DE = 1 - a, S1= S2,2- a = 1x( 1

29、 - a),解得，1- (舍去)，1 2 2即线段CE的长是亠一-;2 2(2)证明：点 H为BC边的中点，BC= 1 , CH = 0.5, DH =-.：=-;-，CH =碍 CG =， HG =,2 HD = HG .【点评】 本题考查正方形的性质、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，禾U用数形结合的思想解答.22. (12 分)设二次函数 y=( x- X1)(x- X2)(X1, X2是实数).(1 )甲求得当x= 0时，y= 0;当x= 1时，y= 0;乙求得当x= 时，y=-丄.若甲求2 2得的结果都正确，你认为乙求得的结果正确吗？说明理由.(2) 写出二次函数图象的对称轴，并

30、求该函数的最小值(用含X1, X2的代数式表示).(3) 已知二次函数的图象经过(0, 口)和(1, n)两点(m, n是实数)，当0v x1x2v 1 时，求证：0 mn【分析】(1 )将(0, 0), (1, 0)代入y=( x-X1) (x-X2)求出函数解析式即可求解;2(2)对称轴为x=，当x=时，y=- I ,是函数的最小值;第23页(共23页)(3 ) 将已知两点代入求出 m = xix2, n = 1 - xi - x2+xix2 ,再表示出 mn =-由已知0vxiX2 1,可求出0v-ki4)24第23页（共23页）1。-：-，即可求解.【解答】 解：（1）当x= 0时，y= 0;当x= 1时，y= 0;二次函数经过点（0, 0）, （1，0）, X1 = 0, x2= 1 ,2 y一x (x - 1)= x - x, 当 x = 一时，y=-,24乙说点的不对；（2）对称轴为x=,2当x 时，y=-I是函数的最小值;24（3）二次函