两条直线的夹角

1、精品文档11.3(2)两条直线的夹角教学目标设计理解直线夹角公式的推导，能正确使用夹角公式求两条直线的夹 角.进一步理解运用平行、垂直、夹角等概念求直线方程的一般方法. 通过两条直线夹角公式的推导，形成运用数形结合、分类讨论的思想 解决问题的能力教学重点及难点理解两条直线夹角公式的推导，会求两条直线的夹角.教学用具准备多媒体设备 教学流程设计课堂小结并布置作业一、复习引入1.引例：判断下列各组直线的位置关系，如果相交，则求出交点 的坐标(课本p16例1).（1） li :3x4y120 ,i2 ： 7x 12y 10；（2） 11 :3x4y120,l2 ：x 3;（3） i1 :3x4y12

2、0,i2 :6x 8y 50.解：（参考课本p1617）说明复习判断两直线的平行、重合、相交，以及求相交直线的交点 坐标的方法.由此引出新的课题.思考并回答下列问题1 .（对于上述（1）、（2）这样），当两条直线相交时，用什么“量”来描述两条直线的相对位置呢？教具演示：两条直线相交，使其中一条直线绕定点旋转，让学生观察这两条直线的关系.解答：两条直线的夹角.2 .回顾旧知：在初中平面几何中“两直线夹角”的定义是什么？解答：角是有公共端点的两条射线所组成的a 几何图形（如右图）.说明在复习旧知的基础上引人新课.二、学习新课关于两直线的夹角1、概念形成两条直线的夹角如右图，两条直线相交，一共构成几

3、个角？它们有什么关系？怎样定义两条直线的夹角呢？平面上两条直线11和12相交构成四个角， / 、匕 它 们是两组互补的对顶角，因为相对而言，锐角比较简单 .我们规定两条 相交直线所成的锐角或直角为两条直线的夹角.如果两条直线平行或重合，规定它们的夹角为 0.因此，两条直线的夹角的取值范围是0,-,而两条相交直线夹角的取值范围是2(0,2.现在我们可以用夹角来描述两直线的相对位置关系，当给出两 条直线的方程时，它们的相对位置就确定了，它们的夹角也随之确定, 那么，如何根据直线方程求两直线的夹角呢？ 说明为什么规定锐角或直角为两直线的夹角， 说明其合理性； 提出问题，给学生造成认知冲突，激发学生探

4、索欲2、夹角公式的推导分析：直线的方向一一方向向量一一斜率一一倾斜角一一夹角之 间的关系.由于直线的方向是由直线的方向向量或者斜率决定的，下 面我们借助于这两条直线的方向向量来求得两直线的夹角 .说明引导学生画图分析，寻找夹角、倾斜角、方向向量之间的关 系.通过类比，寻求思路.设两条直线的方程分别为il : ax by ci 0 （a1,bi不全为零） 12 ： a?x b2y c2 0 （a2,b2不全为零）设li与12的夹角为，li与12的一方向向量分别为di与d2,其夹角为di =（bi, ai）,当0,-2时，则| aa2bb |a：匕2、a22 b22如图甲所示；当 （万，冏，则 ,

5、如图乙所示.于是得:cos | cos | | _d1 d2_|di| 0|即为直线ll与12的夹角公式.特别地，当且仅当aia2 bib2 0时，11与12的夹角为一，即11与12垂 2直.也就是说：1112d1垂直d2n1垂直n2a1a2 b也 0（其中n1，出分别为1i与12的一个法向量）而由晒2 bib2 。，易得当bi0也0时，有曳町 1 ,即当两条bi b2直线的斜率都存在时，11与12垂直的充要条件是k1k21,其中k1,k2分别为直线11与12的斜率.说明培养学生周密分析，严格论证的能力.由于直线的夹角与两 个向量的夹角有区别，前者的范围是0-.后者的范围是0,因此2必须考虑两

6、种情况 0,与 （，； 允许学生从斜率的角度考 22虑，但是不作为本课的重点，可留做课后探讨.3、例题分析例1:（回到引例）求下列各组直线的夹角:(1) 11：3x 4y 12 0,12：7x 12y 1 0；8欢在下载12 ： x 3；,则由两条直线的夹角公式得27 193965(2) 11 :3x 4y 12 0, 解：设11与12的夹角为小|3 7 4 ( 12)|(1) cos,32 4272 12227 193arccos 193即为所求;965 cos |3 1(4)0| 3, 3242 j20253 一 一一 .arccos-即为所求.5说明解决本课开头提出的问题，本环节的设计目

7、的是使学生熟 悉夹角公式的初步应用；鼓励学生一题多解，对于小题(2),由于直 线12的斜率不存在，还可以数形结合(图略)，求得11的倾斜角arctan3 ,得出 11与 12 的夹角为 一 arctan-). 424例2：若直线li： y ax 1与12： 2x (a 1)y 1 0互相垂直，求实数a 33的值.(补充)解：先把直线li的方程化为一般形式li： ax 3y 1 0.;两直线垂直， 2a 3(a 1) 0 , a3为所求.5说明通过练习强调两条直线垂直的充要条件，指出公式适合的前提条件是把直线的方程化成一般式方程，以便确定系数.例3：已知直线l过点p(4,1),且与直线m:3x

8、y 1 0的夹角为arccos310 ,求直线l的方程.(补充)10解：(方法一)设l的方程为a(x 4) b(y 1) 0 (其中n (a,b)为l的一法向量)，则|3a* 三也,即3后力|3a b|a2 b2 32 ( 1)210化简为b(3a 4b) 0解方程，得b 0, 3a 4b当b 0时，则a 0,此时方程为x 4当 3a 4b 0 时，方程为 4(x 4) 3(y 1) 0,即 4x 3y 19 0综上，l的方程是x 4或4x 3y 19 0.(方法二)设点斜式，按直线l的斜率是否存在分两类讨论若直线l的斜率不存在，则过点p( 4,1)直线l的方程为x 4 ,设它与直线m：3x

9、y 1 0的夹角，则|3 1 (1) 0|3 103j0醴目日而.cos ,， 22 一， 22 ，arccos-,湎足延息.31,101010若直线l的斜率存在，那么设直线l的方程为y 1 k(x 4),即kx y 4k 1 0,设它与直线m:3x y 1 0的夹角，则则|3k|皿，即3、忆1 13k 1,解得k -,所以.k2 ( 1)2 32 ( 1)2103直线l的方程为y 1 4(x 4),化简得4x 3y 19 0, 3由可知，l的方程是x 4或4x 3y 19 0.说明启发学生探讨“求过某定点p,且与已知直线夹角为的直线方程”这类基本问题的处理方法；一般地，求直线方程时，往往采用

10、待定系数法：先设出的直线方程，再利用直线的夹角公式列式， 求解；分析思路，启发学生一题多解.若设点斜式，学生可能只求 出一条直线，启发学生从平面几何分析，应有两条直线.但为什么有的学生求到只有一条呢？让学生在矛盾中顿悟：需要按斜率是否存在分两类讨论，而且利用直线的夹角公式时，都必须先化为直线方程的 一般形式.例3类同于教材中的例4,教材中例4给出的夹角为特f殊值一，本例为arccos生也，目的让学生熟悉反三角的表示. 310例4：已知 abc的三个顶点为a(2,1), b(6,1), c(5,5)(1)求abc中a的大小；(2)求a的平分线所在直线的方程.(补 充)解：(1)方法一：直线ab的

11、方程为：y 1,直线ac的方程为：4x 3y 5 0,设它们的夹角为，又a为锐角，所以a=,则cosa 3, a arccos3即为所求；55方法二：数形结合，因为kab 0,kac 4, a arctanf即为所求.33(2)方法一：设角平分线所在直线方程a(x 2) b(y 1) 0,即ax by 2a b 0 .由角平分线与两边ab, ac成等角，运用夹角公式得1b1|4a 3bl 51b114a 3b |,2,22,2.a b 5、a b解得a 2b或2a b,由题意，舍a 2b所以角平分线的方程为：x 2y 0.方法二：数形结合，利用半角公式先求角平分线所在直线的斜率为k tan：2

12、或1(舍2) , k 1,又已知它过点(2, 1),所以，角平分线的方程为：x 2y 0说明巩固提高.因为本题中，直线ab的方程为：y 1,因此采用方 法二更简洁些.但是方法一却是解决此类问题的基本方法.小题(1)，求三角形的内角，一般先求过a的两条边所在直线方程， 由夹角公式可求得.需要注意夹角公式所得的角是三角形内角或其补 角；小题(2),注意结合图形，正确取舍.三、巩固练习练习 11.3 (2) -1,3四、课堂小结1 .本节课研究了两条直线的夹角，推导出两条直线的夹角公式的方法，要理解、体会其中的思想方法；2 .会用两条直线垂直的充要条件解决与垂直有关的问题；3 .熟练运用夹角公式求两

13、条直线的夹角.注意不垂直的两条相交 直线的夹角为锐角；4 .进一步讨论了求直线方程的方法：运用待定系数法时，可设 直线方程为点法向式、或点斜式方程，而在用点斜式方程时，需要分 类讨论.五、作业布置 1、书面作业：练习11.3 (2) -2,4习题 11.3 a 组-10,11,122、思考题：光线沿直线11： 2x y 2 0照射到直线12： x 2y 2 0上后反射，求反射线所在直线13的方程.x9.,八解由2x y 2 0得反射点的坐标为(2, 2).3x 2y 2 0a设13的 方程为a(x 2) b(y 2) 0 (其中、一n (a,b)为一法向量，a, b不同时为零)-ay一r由反射原理，直线11与12的夹角等于12与13的夹角，得2 2-a, 2b a 2b或11a2b,舍去a 2b (否则与11展指在va2 b2重合)，所以a2b,得13的方程为2x